2021-2022学年苏科版九年级下册数学6.7用相似三角形解决问题同步测试（Word版含答案）

6.7用相似三角形解决问题 同步测试
一．选择题
1．有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm，∠B＝90°的Rt△ABC的铁片，现要按照如图所示方式截一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
2. 下列投影中属于中心投影的是（ ）
A.阳光下跑动的运动员的影子 B.阳光下木杆的影子
C.阳光下汽车的影子 D.路灯下行人的影子
3.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有杆不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺.同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为(　 　)
A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺
4.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4 m，AB=1.6 m，CO=1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　 　)
A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m
5.如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m．当短臂外端A下降0.5m时，
长臂外端B升高（　　）
A.2m B.4m C.4.5m D.8m
6．（2020春 工业园区期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为（　　）
A．3m B．3.2m C．3.4m D．3.6m
7．（2019 临朐县一模）路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC＝5米，长方形广告牌的长HF＝4米，高HC＝3米，DE＝4米，则电线杆AB的高度是（　　）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
8.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为( )
A. B. C. 11m D.
9.如图，路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌（不用考虑牌子的厚度）．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点，已知BC=5米，正方形边长为2米，DE=4米．则此时电线杆的高度是（　　）米．
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，2)，⊙C的圆心为点C(-1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E ， 则△ABE面积的最大值是
二．填空题
11．如图，小明与大树之间放置了一面平面镜，平面镜到小明的距离是2米、到大树的距离是6米时，小明恰好能从平面镜中看见大树的树尖，若小明的眼睛距离地面1.5米，则大树的高为　 　米．
12．（2020 泰州二模）如图，身高1.6米的小林从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为　　米．
13．（2020春 大丰区期中）小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，旗杆AB的高度为　　米．
14．（2019秋 高邮市期末）已知小明身高1.8m，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m．若当他把手臂竖直举起时，测得影长为0.78m，则小明举起的手臂超出头顶　　m．
15．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长　 　米．
三．解答题
16（2020 灌云县模拟）如图，在阳光下，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为20m，在墙面上的影长CD为4m，同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为0.8m，求旗杆AB的高度，
17．（2020 泰州模拟）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处，自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测自己的影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
18（2019秋 建湖县期末）如图，小超想要测量窗外的路灯PH的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点C落在地板B处、窗户的最低点落在地板是A处，小超测得窗户距地面的高度QD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得AQ＝1m，AB＝2m．请根据以上测量数据，求窗外的路灯PH的高度．
19如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
20.李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C点（如图所示），人在F点正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在 处，人在 处正好看到树尖A.已知李师傅眼睛距地面的高度为 ，量得 为 ， 为 ， 为 ，求树高.
21学习了相似三角形的知识后，爱探究的小明下晚自习后利用路灯的光线去测量了一路灯的高度，并作出了示意图：如图，路灯（点P）距地面若干米，身高1.6米的小明站在距路灯的底部（O点）20米的A点时，身影的长度AM为5米；
（1）请帮助小明求出路灯距地面的高度；
（2）若另一名身高为1.5米小龙站在直线OA上的C点时，测得他与小明的距离AC为7米，求小龙的身影的长度．
参考答案
一．选择题
1．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝ AB BC＝ AC BP，
∴BP＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE＝x，则有：，
解得x＝，
故选：D．
2.
【答案】
D
【解答】
解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有选项得到的投影为中心投影．
故选：．
3.答案为：B
4.答案为：C
5.答案为：B．
6．（2020春 工业园区期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为（　　）
A．3m B．3.2m C．3.4m D．3.6m
【分析】直接利用同一时刻物体影子与实际高度成比例，进而得出答案．
【解析】连接AC，过点M作MF⊥PF，
∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，
∴，
解得：PF＝2.4，
∴PQ＝PF+FQ＝PF+MN＝2.4+0.8＝3.2（m），
故选：B．
7．（2019 临朐县一模）路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC＝5米，长方形广告牌的长HF＝4米，高HC＝3米，DE＝4米，则电线杆AB的高度是（　　）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
【分析】过点G作GQ⊥BE于点Q，GP⊥AB于点P，可得四边形BQGP是矩形，然后且△APG与△FDE相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AP的长度，再加上CH即可．
【解析】过点G作GQ⊥BE于点Q，GP⊥AB于点P，
根据题意，四边形BQGP是矩形，
∴BP＝GQ＝3米，
△APG∽△FDE，
∴，
∴AP，
∴AB3＝8.25（米），
故选：C．
8.【答案】 A
解：如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A.
9.【答案】 D
解：过点G作GH∥BC ， GM⊥BE ，
根据题意，四边形BMGH是矩形，
∴BH=GM=2米，
△AHG∽△FDE ，
∴ = ，
∴AH=3，
∴AB=2+3=5米．
故选D ．
10.【答案】 D
【解析】
【解答】若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2；
∴S△ACD=AD CD=；
易证得△AOE∽△ADC，
∴=（)2=（)2=，
即S△AOE=S△ADC=；
∴S△ABE=S△AOB-S△AOE=×2×2-=2-；
故选D．
二．填空题
11．解：根据题意可得：AB＝1.5，AP＝2，CP＝6，∠BPA＝∠DPC，∠A＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
即：＝，
∴AB＝4.5（米），
故答案为：4.5．
12．（2020 泰州二模）如图，身高1.6米的小林从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为　8　米．
【分析】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可．
【解析】由题意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CD∥AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴，即，
解得AB＝8（米），
即路灯的高AB为8米；
故答案为：8米．
13．（2020春 大丰区期中）小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，旗杆AB的高度为　4.2　米．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，再根据同一时刻物高与影长成正比求出AE的长，进而可得出结论．
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，
∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，
∴，即，
解得：AE＝3m，
∴AB＝AE+BE＝3+1.2＝4.2（m）．
故答案为：4.2．
14．（2019秋 高邮市期末）已知小明身高1.8m，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m．若当他把手臂竖直举起时，测得影长为0.78m，则小明举起的手臂超出头顶　0.54　m．
【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小明举起的手臂超出头顶的高度．
【解析】设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：，
解得x＝2.34，
2.34﹣1.8＝0.54m，
所以小明举起的手臂超出头顶的高度为0.54m．
故答案为：0.54．
15．解：如图，延长FB交EA的延长线于T，设TA＝x米，EC＝y米．
由题意，AB＝1.5米，AC＝CD＝3米，EF＝15米．
∵AB∥CD，
∴△TAB∽△TCD，
∴＝，
∴＝，
解得x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
∵CD∥EF，
∴△TCD∽△TEF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝24，
经检验y＝24是分式方程的解，
∴EC＝24（米），
故答案为：24．
三．解答题
16．（2020 灌云县模拟）如图，在阳光下，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为20m，在墙面上的影长CD为4m，同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为0.8m，求旗杆AB的高度，
【分析】作DE⊥AB于E，可得矩形BCDE，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE的长度，加上CD的长度即为旗杆的高度．
【解析】作DE⊥AB于E，
∵DC⊥BC于C，AB⊥BC于B，
∴四边形BCDE为矩形，
∴DE＝BC＝20m，BE＝DC＝4m，
∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，
∴，
解得AE＝25m，
∴AB＝25+4＝29m．
答：旗杆的高度为29m．
17．（2020 泰州模拟）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处，自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测自己的影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．
【解析】∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，，
又∵CD＝EF，
∴，
∵DF＝3，FG＝4，BF＝BD+DF＝BD+3，BG＝BD+DF+FG＝BD+7，
∴，
∴BD＝9，BF＝9+3＝12，
∴，
解得，AB＝6.4m．
答：路灯杆AB的高度为6.4m．
18．（2019秋 建湖县期末）如图，小超想要测量窗外的路灯PH的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点C落在地板B处、窗户的最低点落在地板是A处，小超测得窗户距地面的高度QD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得AQ＝1m，AB＝2m．请根据以上测量数据，求窗外的路灯PH的高度．
【分析】首先根据QD＝QE＝1m，可得∠QAD＝45°，然后证明PH＝PA，再证明△PBH∽△QBC，可得，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
【解析】∵DQ⊥BP，
∴∠CQB＝90°，
∵QD＝1m，QA＝1m，
∴∠QAD＝45°，
∵PH⊥PB，
∴∠HAP＝45°，
∴PH＝PA，
设PH＝PA＝xm，
∵PH⊥PB，CQ⊥PB，
∴PH∥CQ，
∴△PBH∽△QBC，
∴
解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解．
答：窗外的路灯PH的高度是10m．
19【答案】 解：过C作CE⊥AB于E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，
设AE＝x，
∴ ，
解得：x＝14，
∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．
20.【答案】 解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，
设AB＝x，BC＝y
∴
解得 .
∴这棵古树的高为10m.
21.【答案】 （1）∵AB⊥OM，PO⊥OM，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴OP=8，
即路灯距地面的高度为8米
（2）∵CD⊥OM，PO⊥OM，
∴ ，
∴ ，
∵OC=OA-AC=20-7=13，CD=1.5，OP=8，
∴ ，
∴CN=3，
即小龙的身影的长度为3米