1.4.1 角平分线 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
新知导入
画一画：试着将下图中的角平分.
45°
30°
15°
22.5°
想一想：除了使用量角器，你还有其他更为准确的方法吗？
1.4 角平分线
第1课时
1、通过“探索一发现一猜想一证明”，进一步体会证明的必要性.
2、通过证明角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.
3、能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.
学习目标
探究一：写出已知求证，并进行证明
己知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.
求证：PD=PE.
探索新知
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
探索新知
探究二：你能写出这个定理的逆命题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.
角平分线的逆命题：
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.
探索新知
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
探索新知
角平分线的判定定理:
在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.
探索新知
（一）角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
（二）角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
归纳总结
课程讲授
1
角平分线的性质
问题2：运用所学知识证明你的猜想。
A
O
B
C
P
D
E
已知：如图,∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
课程讲授
1
角平分线的性质
角平分线的性质定理：
角_________的点到这个角的两边的距离_____.
定理的作用：
证明线段相等.
几何语言：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥____,PE⊥____，
∴PD = ____．
平分线上
相等
OA
OB
PE
B
A
D
O
P
E
C
课程讲授
1
角平分线的性质
练一练：如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=6cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
6
课程讲授
2
角平分线的判定
问题1：“角平分线上的点到角两边的距离相等.”你能写出上面这个定理的逆命题吗
角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。
B
A
D
O
P
E
C
课程讲授
2
角平分线的判定
问题2：它是真命题吗？如果是，请你证明它.
A
O
B
C
P
D
E
已知：如图，在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E，且PD=PE．
求证：OP平分∠AOB.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°.
　 ∵OP=OP，PD=PE，
　 ∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
　 ∴∠POD=∠POE(全等三角形对应角相等)．
∴OP平分∠AOB.
课程讲授
2
角平分线的判定
角平分线的判定定理：
在一个角的_____到角的两边的距离_____的点在这个角的平分线上.
几何语言：
∵ PD⊥____,PE⊥____，
PD = ____．
∴OP 是∠AOB的平分线 .
内部
相等
B
A
D
O
P
E
C
OA
OB
PE
课程讲授
2
角平分线的判定
例 如图,在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F，且DE=DF．求DF的长.
A
B
C
D
E
F
课程讲授
2
角平分线的判定
A
B
C
D
E
F
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为
E，F，且DE=DF,
∴AD平分∠ BAC（在一个角的内部，
到角的两边距离相等的点在这个角的平
分线上）.
又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，
∴DE=
（在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°，那么它所对的直角边等于斜边的
一半）.
课程讲授
2
角平分线的判定
练一练：如图，点P为∠AOB内部的一点，PD⊥OB于点D,PC⊥OA于点C，且PC=PD，则OP平分_______.
∠AOB
针对练习：
1、已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
求证：EB=FC.
2、已知：如图AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若S△ABC=6，AB=4，AC=3，则线段DE的长为 .
学以致用
3、如图，点P是锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且PM=PN，∠BMP+∠BNP=180°.
求证：BP平分∠ABC.
E
F
学以致用
1.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E.
求证：OD=OE.
2.如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD.
求证：OP是CD的垂直平分线.
F
巩固提升
（一）角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
（二）角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
课堂小结
1、DE= 2 .
2、证明：分别过F点作FM⊥AD，FN⊥CB，FH⊥AE
∵CF和BF分别为∠ECB和∠CBD的角平分线
∴FM=FN，FN=FH
∴ FM=FN=FH
即FM=FH
又∵FM⊥AD，FH⊥AE
所以点F在∠EAD的角平分线上.
当堂检测答案
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php