1.4.2 三角形的内角平分线 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
新知导入
画一画：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的三个内角的平分线相交于一点.
第一章 三角形的证明
4 角平分线
（第2课时）
1.能够证明三角形的三条角平分线交于一点且这一点到三条边的距离相等.
2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
学习目标
1. 角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
C
B
1
A
2
P
D
E
O
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E，
∴PD=PE.
知识回顾
2.角平分线的判定定理
在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E, 且PD=PE,
∴点P在∠AOB的平分线上.
C
B
1
A
2
P
D
E
O
课程讲授
1
三角形的三条内角平分线相交于一点
A
B
C
P
N
M
D
E
F
证明：∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，且PD⊥ABPE⊥BC，
垂足分别为D，E，
∴PD=PE.（角平分线上的点到这
个角的两边的距离相等）.
同理，PE=PF.
∴PD=PE=PF.
∴点P在∠A的平分线上（在一个角
的内部，到角的两边距离相等的点
在这个角的角平分线上），即∠A
的平分线经过点P.
课程讲授
1
三角形的三条内角平分线相交于一点
三角形的平分线：
三角形的三条角平分线_________，并且这点到三边的距离______.
即PD=____=_____.
交于一点
相等
A
B
C
P
N
M
D
E
F
PE
PF
课程讲授
1
三角形的三条内角平分线相交于一点
练一练：如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是（ ）
A.∠1>∠2
B.∠1=∠2
C.∠1<∠2
D.不能确定
B
课程讲授
2
角平分线的性质和判定的实际应用
例 如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)已知CD=4cm,AC的长;
E
D
A
B
C
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线,
DE⊥AB,垂足为E，
∴DE=CD=4cm.
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
∵∠C=90°,∴∠B=45°. ∴BE=DE.
在等腰直角三角形BDE中，
课程讲授
2
角平分线的性质和判定的实际应用
例 如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(2)求证:AB=AC+CD.
E
D
A
B
C
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
课程讲授
2
角平分线的性质和判定的实际应用
练一练：如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.
M
(∠AOB的角平分线与AB的交点)
随堂练习
1.如图，△ABC的三边AB,BC,AC的长分别为4,6,8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OBC：S△OAC=（ ）
A.1∶1∶1
B.6∶4∶3
C.2∶3∶4
D.4∶3∶2
C
随堂练习
2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
随堂练习
3.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置.
A
B
C
D
课堂小结
三角形的内角平分线
性质
三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
应用
判断一个点是否在角的平分线上；
解决实际问题
剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.
观察这三条角平分线, 你发现了什么
结论: 三角形三个角的平分线相交于一点.
猜想：这一点到三条边的距离相等.
新知探究
已知：如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.
求证：∠BAC的平分线经过点P,且PD=PE=PF.
证一证
P
D
E
F
A
B
C
M
N
定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的
三条角平分线,且PD⊥AB,
PE⊥BC,PF⊥AC(已知),
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
A
B
C
P
M
N
D
E
F
提示: 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫作三角形的内心.
例 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为E.
(1)如果CD=4 cm, 求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
正确地解答并规范地写出其过程.
典型例题
谢谢
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