1.1.1 《全等三角形与等腰三角形的性质》课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
新知导入
测一测：测量下图三角形的三边，找出其中的等腰三角形.
等腰三角形
等腰三角形
等腰三角形
不是等腰三角形
1 等腰三角形
第1课时 全等三角形与等腰三角形的性质
学习目标
1.进一步了解作为证明依据的八条基本事实的内容；
2.会证明三角形全等的AAS定理、等腰三角形两底角相等、三线合一的性质；
3.明确几何证明的一般思路.
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（ AAS ）
探究新知
你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
F
E
D
C
B
A
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°
（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，
∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， ∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
F
E
D
C
B
A
①画
②译
③析
④写
证明的一般步骤：
学以致用
思考：
等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的性质
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.等腰三角形两底角相等（等边对等角）.
3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）.
4.等腰三角形两底角的平分线相等.
5.等腰三角形两腰上的高相等.
6.等腰三角形两腰上的中线相等.
7.等边三角形三条边相等，三个角都是60°.
......
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证明：等腰三角形两底角相等（等边对等角）.
已知：在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：取BC的中点D，连接AD.
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
D
.
证法一
已知：在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
D
.
证明：作∠BAC的角平分线交BC于D.
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）.
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法二
已知：在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
D
.
证明：作AD⊥BC于D，
则△ABD与△ACD均为直角三角形.
∴
∵AB=AC，AD=AD，
∴BD=CD
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法三
注：只有经过证明为真的命题才能作为证明依据.
课程讲授
2
等边对等角
B
C
D
A
AB=AC
归纳：剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，△ABC所以是等腰三角形.
课程讲授
2
等边对等角
问题2.1：把剪出的等腰三角形沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
B
C
D
A
B
线段 角
AB与______重合 ∠BAD与_______重合
AD与______重合 ∠ABD与_______重合
BD与______重合 ∠ADB与_______重合
AC
AD
CD
∠CAD
∠ACD
∠ADC
课程讲授
2
等边对等角
问题2.2：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
线段 角
AB与______重合 ∠BAD与_______重合
AD与______重合 ∠ABD与_______重合
BD与______重合 ∠ADB与_______重合
AC
AD
CD
∠CAD
∠ACD
∠ADC
猜想：等腰三角形的两个底角相等.
B
C
D
A
课程讲授
2
等边对等角
问题2.3：根据所学知识，证明你的猜想.
A
B
C
D
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边的中线AD，
则BD=CD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ，
BD=CD ，
AD=AD ，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C .
课程讲授
2
等边对等角
等腰三角形的性质1：
等腰三角形的两个_____相等(___________).
A
B
C
D
底角
等边对等角
课程讲授
2
等边对等角
练一练：如图，小聪坐秋千旋转了80°，小聪的位置从P点运动到了P′点，则∠OPP′的度数为（ ）
A.40°
B.50°
C.70°
D.80°
B
课程讲授
3
等腰三角形“三线合一”的性质
问题3.1：由这些重合的线段，你能发现等腰三角形的其他性质吗？说一说你的猜想.
线段 角
AB与______重合 ∠BAD与_______重合
AD与______重合 ∠ABD与_______重合
BD与______重合 ∠ADB与_______重合
AC
AD
CD
∠CAD
∠ACD
∠ADC
猜想：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
B
C
D
A
课程讲授
问题3.2：根据所学知识，证明你的猜想.
A
B
C
D
已知：如图， △BAD≌ △CAD.
求证： AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线.
证明：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得
BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
3
等腰三角形“三线合一”的性质
课程讲授
等腰三角形的性质2：
等腰三角形顶角的_______、底边上的______及底边上的______互相重合(____________）.
A
B
C
D
平分线
三线合一
高线
中线
3
等腰三角形“三线合一”的性质
课程讲授
例 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
3
等腰三角形“三线合一”的性质
A
B
C
D
提示：找出图中所有相等的角,确定等腰三角形的个数，通过三角形内角及外角之间的数量关系解答.
课程讲授
3
等腰三角形“三线合一”的性质
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，
有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 °，
在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
课程讲授
3
等腰三角形“三线合一”的性质
练一练：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（ ）
A.D是BC的中点
B.AD平分∠BAC
C.AB=2BD
D.∠B=∠C
C
随堂练习
1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
2.等腰三角形有一个角是96°，则另两个角分别是____________
A
42°，42°
随堂练习
3.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为________度.
24
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AD=BD=BC, 若∠DBC=28°,求∠ABC和∠C的度数.
∠A=x°.
∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x°,
∴∠BDC=2x°.
∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=2x°.
∵∠DBC=28°,∠BDC+∠C+∠DBC=180°,
∴2x+2x+28=180,
∴x=38,
∴∠C=76°,∠ABC=∠ABD+∠DBC=38°+28°=66°.
解：
随堂练习
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=∠BAD.
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD.
又∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD.
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
谢谢
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