1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
A
B
C
1. 你能说出等边三角形的定义和等边三角形的哪些性质？
2. 根据等边三角形的定义利用圆规和直尺画出一个边长为10cm的等边三角形 .
3. 能否从角的角度出发画出一个同样的等边三角形？
情境导入
1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质
1.能够证明等边三角形的判断方法及含30°直角三角形性质；感受几何语言的魅力；
2.能够运用上述三个定理解决问题.
学习目标
探究新知
三边都相等的三角形是
等边三角形.
你有其它判断等边三角形的方法吗？
三角形的基本元素是“边”和“角”
思考方向：
角
______________的三角形是等边三角形.
探究新知
要探究判断方法，可以反思性质.
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都是60°.
三个角都相等
______________的三角形是等边三角形.
三个角都相等
命题证明：明确条件和结论＝>画出图形＝>书写证明过程.
探究新知
已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
求证：△ABC为等边三角形.
A
B
C
求证：三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
求证：△ABC为等边三角形.
A
B
C
证明：∵∠A＝∠B
∴AC＝BC
∵∠B＝∠C.
∴AB＝AC
∴AB＝AC＝BC
∴△ABC为等边三角形.
定理：
做一做
判断并说明理由：
1.有2个角是60°的三角形是等边三角形.（ ）
2.△ABC是等边三角形，作DE∥BC ，那么△ADE也是等边三角形. （ ）
A
B
C
D
E
做一做
判断并说明理由：
3. △ABC是等边三角形，如果过它的三个顶点作对边的平行线得到一个新的△DEF，那么△DEF也是等边三角形. （ ）
A
B
C
D
E
F
探究新知
等边三角形是特殊的等腰三角形.
特殊在哪儿？
的 三角形是等边三角形.
等
腰
三角形的基本元素是“边”和“角”.
思考方向
要探究判断方法，可以反思性质.
有 个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
一
探究新知
求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
顶角
底角
分类讨论：
当顶角是60°时；
当底角是60°时。
探究新知
180－60
2
已知：△ABC中，AB＝AC，且有一个角为60°.
求证：等腰△ABC为等边三角形.
A
B
C
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵∠A＝60°
∴∠B＝∠C＝60°
∴∠B＝∠C＝∠A
∴等腰△ABC为等边三角形.
证明：①当∠A＝60°时
60°
A
B
C
180－60
2
求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
已知：△ABC中，AB＝AC，且有一个角为60°.
求证：等腰△ABC为等边三角形.
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵∠A＝60°
∴∠B＝∠C＝60°
∴∠B＝∠C＝∠A
∴等腰△ABC为等边三角形.
证明：①当∠A＝60°时
求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
∵AB＝AC，∠B＝60°
∴∠C＝∠B＝60°
∴∠A＝60°
∴∠B＝∠C＝∠A
∴等腰△ABC为等边三角形.
60°
60°
180－60×2
②当∠B＝60°(或∠C＝60°)时.
定理：
做一做
如图，将矩形ABCD一个角沿AE折叠，使得∠BAE＝30°，点B落在B’处，连接BB’ ，判断△ABB’的形状，并说明理由.
A
B
C
D
E
B’
30°
30°
先目测，再推理
探究：30°所对的直角边与斜边的关系。
30°
探究新知
等边三角形
探究：30°所对的直角边与斜边的关系。
探究新知
a
2a
2a
等边三角形
探究：30°所对的直角边与斜边的关系。
探究新知
A
B
C
D
已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°.
求证：BC＝AB.
证明：如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB＝90°,∠BAC＝30°
∴∠ACD＝90°,∠B＝60°
∵AC＝AC
∴△ABC≌△ACD(SAS)
∴AB＝AD
∴△ABD等边三角形
∴BC＝AB.
构造全等
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°
∴BC＝AB.
A
B
C
探究新知
证明：在△ABC 中，
∵　∠C =90°，∠A =30°,
∴　∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，
连接AD，则△ABD 是等边三角形．
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A=30°.
求证：
　BC = AB .
A
B
C
D
由等边三角形的性质可知，AC 也是BD 边上的中线，
∴　BC = BD = AB ．
追问：你还能用其他法证明吗？
经典例题
另证：作∠BCE =60°，交AB于E，连接CE，
则∠ACE =90°-60°=30°．
在△ABC 中，
∵　∠ACB=90°，∠A =30°，
∴　∠B =60°．
在△BCE 中，
∵　∠BCE=60°，∠B =60°，
∴　△BCE 是等边三角形．
∴　BC =BE =CE．
E
A
B
C
经典例题
练习：
1.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=18,则BC = .
9
2.某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图所示，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°,BC=8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是______.
4 m
课堂练习
等边三角形的判定:
定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
特殊的直角三角形的性质:
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
C
B
D
30°
课堂小结
谢谢
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