1.3 《线段的垂直平分线》 课件1(共22张PPT)

(共22张PPT)
问题1：你能用学过的知识帮助小明和小强吗？
美丽的“蝶湖桥”已经成为经开区网红打卡地了。周末，小明和小强相约在蝴蝶桥见面。下图是小明家、小强家和蝶湖桥的位置，为使两人走得距离之和最短，小明和小强应该在哪儿会面？
情境导入
为使两人走得距离之和最短，小明和小强应该在哪儿会面？请说出每一步用到的知识并给出理由！
第一步：做点A的对称点A'；
第二步：连接A'、B，交l厅点P；
l
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
A'
P
情境导入
3 线段的垂直平分线
学习目标
1.能证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.
2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.
3.已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形.
4.能用尺规过一点作已知直线的垂线.
想一想：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
A
B
C
M
N
P
探究新知
逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
证明思路:
1.PA=PB能判定△PAB为何种特殊形状；
2.等腰三角形 “三线合一”；
3.顶角顶点P一定在线段AB的垂直平分线上.
A
B
C
M
N
P
垂直平分线的判定定理
定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
几何语言描述：
如图，∵PA=PB(已知)，
∴点P在AB的垂直平分线上
A
B
C
M
N
P
典型例题
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
C
A
B
O
你还有其他证明方法吗？
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.
观察这三条垂直平分线，你发现了什么
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
如何证明这个结论呢？
证明思路：我们知道，两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.
可应用垂直平分线的逆定理来证明.
A
B
C
P
a
b
c
探究新知
例2 求证：三角形三条边的垂直平分线相交与一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
证明：连接AP，BP，CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB .
同理，PB=PC.
∴PA=PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上，
∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于一点.
C
A
B
P
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
如图，在△ABC中，
∵c，a，b分别是AB，BC，AC的垂直平分线(已知)
∴c，a，b相交于一点P，且PA=PB=PC
A
B
C
P
a
b
c
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗
议一议
如果能，能作出几个 所作出的三角形都全等吗
（2）已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗 能作几个
议一议
例3 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
a
h
已知：如图，线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
h
a
B
C
A
D
m
作法:（1）作线段BC=a(如图)
（2）作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D
（3）在m上作线段DA，使DA=h
（4）连接AB，AC
△ABC为所求的等腰三角形
做一做
已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.
大家思考一下，如何在刚刚学习的尺规作图的基础解决这个问题呢？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
应用新知
在线段AB为底边的所有等腰三角形中，他们另一个顶点的位置有什么共同特征？
线段垂直平分线判定定理的价值：
判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
想一想
为使两人走得距离之和最短，小明和小强应该在哪儿会面？请说出每一步用到的知识并给出理由！
l
线段垂直平分线性质定理的价值:
PA=PB实现了线段之间的相互转化.
回顾解决
谈谈你本节课的收获吧！
命题的证明
性质定理
判定定理
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
实现线段之间的相互转化
体会文字、图形、符号语言的关系和作用
课堂小结
活学活用，一起来挑战！！
1.如图，AB是线段CD的垂直平分线，EF是AB上的两点. 求证：∠ECF∠EDF.
2.如图，在△ABC中，AB=AG，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交B于点F，连接AF，求∠AFG的度数.
3.如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交A于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.
活学活用
谢谢
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