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第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形（第二课时 矩形的判定）
精选练习答案
一．选择题（共10小题）
1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD
【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：B．
2．如图，要使 ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：B．
3．已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∠A＝∠C不能判定 ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BC2+CD2＝AC2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故②正确；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵∠1＝∠2，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故④错误；
能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，
故选：C．
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD
【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C．∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥BC
C．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD
【解答】解：
A．∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；
B．∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
C．∵AO＝OB＝OC＝OD，
∵AC＝BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；
D．∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不是矩形，故本题选项符合题意；
故选：D．
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD
【解答】解：A、∵平行四边形ABCD中，AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、平行四边形ABCD中，AB＝AC，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵平行四边形ABCD中，CA⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
9．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使 ABCD成为矩形，则该条件不可以是（ ）
A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90° D．∠AOB＝90°
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：D．
10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量其中四边形的三个角都为直角
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量两组对边是否分别相等
【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，故选项A不符合题意；
B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故选项B符合题意；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状，故选项C不符合题意；
D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件： ∠A＝90°（答案不唯一） ，使四边形DFAE是矩形．
【解答】解：添加条件：∠A＝90°；理由如下：
∵E、D、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AE＝AB，AF＝AC，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，
故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．
12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是 AC＝BD或∠ABC＝90° （写出一种情况即可）．
【解答】解：若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
∠ABC＝90°．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝ 45 °时，四边形AEDF是矩形．
【解答】解：当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形．
∵DF∥AB，DE∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
故答案为45．
14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：
（1）测量得出AC的中点E；
（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；
（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是 有一个角是直角的平行四边形为矩形 ．
【解答】解：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵ED＝BE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，
故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．
15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加 AC⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．
【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，
∴HG∥BD，EH∥AC，
∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠EHG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG＝90°，
∴∠2＝90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．
三．解答题（共2小题）
16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．
【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，
∵GF＝GC，
∴∠C＝∠GFC，∠B＝∠GFC，
∴AB∥GF，即AE∥GF，
∵AE＝GF，
∴四边形AEFG是平行四边形．
（2）解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，
理由：∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180o，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，
∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，
∴∠BFE+∠GFC＝90°．
∴∠EFG＝90°．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴四边形AEFG是矩形．
17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．
【解答】解：（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，
∴AE＝DE，BD＝CD，
∵AF∥CD，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，AE＝DE
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD为平行四边形；
（2）当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，
证明：∵AB＝AC，D为BC中点，即AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
∵四边形AFBD为平行四边形，
∴四边形AFBD为矩形．
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第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形（第二课时 矩形的判定）
精选练习
一．选择题（共10小题）
1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD
2．如图，要使 ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
3．已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
5．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD
7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥BC
C．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD
9．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使 ABCD成为矩形，则该条件不可以是（ ）
A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90° D．∠AOB＝90°
10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量其中四边形的三个角都为直角
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量两组对边是否分别相等
二．填空题（共5小题）
11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件： ，使四边形DFAE是矩形．
12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是 （写出一种情况即可）．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝ °时，四边形AEDF是矩形．
14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：
（1）测量得出AC的中点E；
（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；
（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是 ．
15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．
三．解答题（共2小题）
16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．
17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．
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