中小学教育资源及组卷应用平台
第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形（第一课时 矩形的性质）
精选练习
一．选择题（共10小题）
1．如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．如图所示，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠DBC＝30°，BE＝1cm，则AE的长为（ ）
A．3cm B．2cm C．2cm D．cm
3．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（ ）
A．70° B．60° C．80° D．45°
4．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为16cm，则这个矩形较短边的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
5．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A的坐标为（0，2），顶点B在第二象限．若长方形OABC的面积为6，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣3，﹣2）
6．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（ ）
A．16 B．20 C．29 D．34
7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为（ ）
A．10 B．5 C．2.5 D．2.25
8．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠ACM＝∠BCD B．∠ACD＝∠B C．∠ACD＝∠BCM D．∠ACD＝∠MCD
10．直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（ ）
A．6 B．6.5 C．10 D．13
二．填空题（共5小题）
11．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝6，则GH的长为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，AE＜BE，AD＝4，AB＝10，则DE长为________．
13．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5cm，则矩形对角线BD的长为 cm．
14．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上一点，ED平分∠AEC，则DE长为 ．
15．矩形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一部分是平行四边形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为 ．
三．解答题（共2小题）
16．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝12，P，Q分别为AO，AD的中点，求PQ的长度．
17．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形（第一课时 矩形的性质）
精选练习答案
一．选择题（共10小题）
1．如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图：
则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝，
∴S阴＝+＝3，
故选：A．
2．如图所示，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠DBC＝30°，BE＝1cm，则AE的长为（ ）
A．3cm B．2cm C．2cm D．cm
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝30°，
∴AE＝BE＝cm，
故选：D．
3．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（ ）
A．70° B．60° C．80° D．45°
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．
∴∠FGA＝∠DAB＝90°，CD∥AB，
∴∠DGA＝∠BAG＝20°，
∴∠DGF＝90°﹣∠DGA＝90°﹣20°＝70°．
故选：A．
4．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为16cm，则这个矩形较短边的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝16cm，AO＝AC＝8cm，BO＝BD＝8cm，
∴OA＝OB，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝OB＝8cm．
故选：C．
5．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A的坐标为（0，2），顶点B在第二象限．若长方形OABC的面积为6，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣3，﹣2）
【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），
∴OA＝2，
∵长方形OABC的面积为6，
∴AB×AO＝6，
∴AB＝3，
∵AB∥CO，BC∥AO，
∴点B（﹣3，2），
故选：A．
6．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（ ）
A．16 B．20 C．29 D．34
【解答】解：∵AB＝5，
∴CD＝5，
∵AD＝12，∠D＝90°，
∴AC＝13，
∵点O和点M分别是AC和AD的中点，
∴OB＝6.5，AM＝AD＝6，OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD＝2.5，
∴C四边形ABOM＝AB+BO+OM+MA＝5+6.5+2.5+6＝20．
故选：B．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为（ ）
A．10 B．5 C．2.5 D．2.25
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD，
∴DO＝BD＝5，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ＝DO＝2.5，
故选：C．
8．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC＝6，AB＝DC＝3，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，
∴DM＝AD﹣AM＝AD﹣CM＝6﹣CM，
在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM2+DC2＝CM2，
即（6﹣CM）2+32＝CM2，
解得：CM＝，
故选：A．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠ACM＝∠BCD B．∠ACD＝∠B C．∠ACD＝∠BCM D．∠ACD＝∠MCD
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
故B选项正确；
∵∠ACB＝90°，CM是斜边的中线，
∴CM＝BM，
∴∠MCB＝∠B＝∠ACD，
∴∠ACM＝∠BCD，
故A选项正确；
∵∠MCB＝∠B＝∠ACD，故C选项正确；
∵AC不一定等于CM，
∴∠ACD与∠MCD不一定相等，故D选项错误．
故选：D．
10．直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（ ）
A．6 B．6.5 C．10 D．13
【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边＝＝13，
∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝6，则GH的长为 6 ．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∵F为BE的中点，AF＝6，
∴BE＝2AF＝12．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH＝BE＝6，
故答案为：6．
12．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，AE＜BE，AD＝4，AB＝10，则DE长为________．
【详解】
解：设AE＝x，则BE＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠A＝∠B＝90°，
∴AD2＋AE2＝DE2，BC2＋BE2＝CE2，
∵DE⊥CE，
∴∠DEC＝90°，
∴DE2＋CE2＝CD2，
∴AD2＋AE2＋BC2＋BE2＝CD2，
即42＋x2＋42＋（10﹣x）2＝102，
解得：x＝2或x＝8（不合题意，舍去），
∴AE＝2，
∴DE＝＝＝2，
故答案为：2．
13．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5cm，则矩形对角线BD的长为 cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，∠ADB＝30°，
∴AC＝BD＝2AB＝5（cm）．
故答案为：5．
14．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上一点，ED平分∠AEC，则DE长为 2 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
又∵∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝10，
在直角△ABE中，BE＝＝＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
在直角△CED中，DE＝＝＝2，
故答案为：2．
15．矩形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一部分是平行四边形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为 ab﹣bc﹣ac+c2 ．
【解答】解：∵矩形ABCD的面积是ab，
阴影部分的面积是：ac+bc﹣c2，
∴图中空白部分的面积是：ab﹣（ac+bc﹣c2）＝ab﹣bc﹣ac+c2．
故答案为：ab﹣bc﹣ac+c2．
三．解答题（共2小题）
16．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝12，P，Q分别为AO，AD的中点，求PQ的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝12，，
∴，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴．
17．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为 ．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（4﹣DM）2＝22+DM2，
解得DM＝．
故答案为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
