北师大版八年级数学下册 1.4 三角形中的角平分线 教案

1.4 角平分线
教材分析
本节课的内容是北师版《义务教育教科书·数学》八年级下册第一章第四节“角平分线”的第2课时,是上节课所学习的角平分线的性质定理和判定定理的应用.角平分线的性质定理和判定定理为我们证明线段相等、三角形全等提供了另一条途径，是平面几何中的重要内容，在解决几何问题时有十分广泛的应用。
猜想证明是初中几何的重要组成部分，是培养学生思维严谨的重要载体.在本节课的探究过程中体现了我们研究几何问题的一般过程“探索---猜想---验证”，并类比三角形的三边垂直平分线交于一点的方法来验证,体现了类比的数学思想。因此本节课不论是从知识上、还是研究方法上都起着承上的作用.通过本节课的学习，学生将进一步体会如何利用角平分线的性质定理和判定定理解决几何问题,并学会遇到角平分线向角两边做垂线的辅助线方法，培养学生的几何图形能力以及分析问题能力。
学情分析
本节课的教学对象是八年级的学生，学生已经初步具备了逻辑推理的能力、用数学语言规范表达自己的想法的能力，对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握，同时也积累了一些解决几何问题的经验及方法.通过前面的几何部分的学习，学生思维活跃、参与意识强，对图形性质的探究非常感兴趣，喜欢参与探究性活动，也特别乐于解决一些有挑战性的问题.所以本节课学生对角平分线的性质定理和判定定理能够准确把握，但在添辅助线时会遇到困难.
教学目标
能够利用角平分线的性质定理和判定定理证明三角形三条角平分线交于一点的结论，能灵活应用角平分线的性质定理和判定定理；
进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力；
在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
四、教学重难点
重点：角平分线的性质定理和判定定理的灵活应用.
难点：添加辅助线利用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.
五、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、复习回顾 复习回顾：角平分线的性质定理的文字语言及符号语言.角平分线判定定理的文字语言及符号语言. 独立回答。 温故知新，通过复习回顾，关注学生符号语言表达的准确性。
二、动手操作，发现问题 操作一：请同学们利用尺规作图做出三角形三个内角的角平分线，完成之后同桌互相比对、交流，观察这三条角平分线有什么特征呢？请完成学利用尺规作图作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？2、操作二：请同学们利用手中的三角形，通过折纸的方法找到三角形的三个内角角平分线，观察并和同桌交流这三条角平分线是否还交于一点呢？ 独立操作，互相比对，独立回答。 通过动手操作发现三角形三条角平分线交于一点，培养学生动手操作能力。
三、证明猜想，归纳总结 活动1：将猜想的条件和结论分别用符号语言表述出来.活动2：完成猜想的证明.教师提示学生类比三角形三边垂直平分线交于一点的证明方法完成猜想的证明，教师在黑板上板书证明的完整过程。例1、 已知：如图，在中，角平分线 与角平分线相交于点，求证：点在的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE(角平分线上的性质定理)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上(角平分线的判定定理)．∴△ABC的三条角平分线相交于点P．归纳总结遇角平分线问题时可向角两边做垂线解决问题。内心定义以及三角形角分线性质 学生独立思考，并上台展示自己的思路，最后将证明过程整理在学案上。 使学生经历“动手操作—猜想—画图—改写—证明”这一系列的探究过程，培养学生分析问题能力、表达能力，规范学生的几何书写能力。
四、例题讲解 例2、如图,在中,已知，是的角平分线,，垂足为.（1）如果，求的长;（2）求证:.解：过点D做DE⊥AB交AB与 点E.∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB．∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE中BD==cm(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=()cm．(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD． 学生独立思考并和同学们分享思路，然后独立完成解答，最后与教材解答进行比对、更改。 本题与课本例题设置稍有不同，目的是为了培养学生遇到角平分线如何添加辅助线的能力。通过该例题培养学生分析问题、解决问题的能力，增强几何直观能力。
五、小结反思 本节课我们主要学习了哪些知识呢？掌握了哪些方法呢？让我们畅所欲言、盘点收获。 合作交流 回顾学习过程，多方位多角度归纳总结对所学的知识、方法、思维方法提炼内化，使其成为自己的一种能力.
六、课后作业 作业布置：必做：课本习题1.10 ：1、2、3、选做：课本习题1.10 ：4，学案上的课后思考 学生独立完成。 分层作业的布置让各个层次的学生都能巩固本节课所学地知识，更好地提升自己的学习能力和兴趣.
教学反思：
本节课节对学生能力的要求很高，如例2中问题作为教师要善于利用这个典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。如果课堂时间允许还可以将该题加以改变，用多种方法证明和求解。由于有了上节课的三角形的三边垂直平分线交于一点的证明经历，学生本节课的学习还比较顺利，因此有了时间来完成本节课的一道备用题目。
A
B
C