18.2.2 菱形的判定 第2课时 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
2022年春人教版数学
八年级下册数学精品课件
18.2.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
第十八章 平行四边形
情境引入
1.理解并掌握菱形的两个判定定理.（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点）
学习目标
什么是菱形？菱形有哪些性质？
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形.
菱形的性质：1. 轴对称图形. 2. 四边相等.
3. 对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角.
A
B
C
D
思考：通过菱形的定义我们可以确定四边形是否为菱形，那么还有其他的判定方法吗？
导入新课
问题
菱形的判定定理1
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
平行四边形，为什么？
讲授新课
合作探究
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交 于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理
如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，∴AO = OC .
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
典例精析
例1
如图，在平行四边形ABCD中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求AB的长.
解: ∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ △DAO是直角三角形.
∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC.
∴ 平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直
的平行四边形是菱形）
∴
又∵ AD=5，满足
∴ AB=AD=5 .
例2
平行四边形的判定定理2
小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？
2.怎么验证四边形ABCD是菱形？
提示：AB = BC=CD =AD
合作探究
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
四条边相等的四边形是菱形.
定理
下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
练一练
2
已知：如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
1
例3
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？
A
C
D
B
四边形ABCD是菱形，为什么？
D
C
B
A
分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.
E
F
由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，
然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
请补充完整的证明过程
当堂练习
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm
和26cm，那么平行四边形的面积是 .
312cm2
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，
下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当AC=BC时，
平行四边形ACED是菱形．
故选B．
A
B
C
D
O
E
4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形
证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形．
5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形
B
C
A
D
O
E
M
N
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=CE，AD=CD，OA=OC，
∠AOD=∠EOC=90° .再结合CE∥AB，可证得△ADO≌△CEO，从而根据由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形. 再结合∠AOD=90°可证得四边形ADCE为菱形．
证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°. ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形 又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2.四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明.
菱形的判定
定义
判定定理
课后作业
1、完成课本练习题。
2、完成练习册本课习题。
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