17.1.1 变量与函数（1） 课件（共29张PPT）

2022年春华师大版数学
八年级下册数学精品课件
17.1.1 变量与函数（1）
学习目标
了解变量与常量的意义；在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式..
了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系．
能根据简单的实际问题写出函数表达式，并确定自变量的取值范围．
问题1：下图是某地一天内的气温变化图
看图回答：
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．

(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
●
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？
这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低． 　
分别为－1℃、2℃、5℃；
最高气温是5℃．最低气温是－4℃；
问题引入
(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
问题2：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:
请说明你的道理：
60
120
180
240
300
速度×时间
路程 =____________
问题引入
1．在以上这个过程中，变化的量是_______
_________．不变化的量是_____________．
2．试用含t的式子表示s．s=_______
时间t、
速度60千米/时
60 t
s
t
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.
路程s
波长λ(m)
300
500
600
1000
1500
频率f(kHz)
1000
600
500
300
200
问题3：下面是收音机上一些波长与频率的对应的数值：
细心的同学可能会发现：
λ与f的乘积是一个定值，即
λf=300000，或者说f=300000λ；
说明波长λ越大，频率f就越小.
?
问题引入
问题4：圆的面积与半径的关系
圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积.则S与r之间满足下列关系：S＝____________．
利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：
半径r（cm)
1
1.5
2
2.6
3.2
…
圆面积S（ cm2 ）
…
圆的面积S随着半径r的变化而变化.
问题引入
数值发生
变化的量
变量
数值始终
不变的量
常量
　　上述变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
知识精讲
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变.
知识精讲
例1 指出下列事件过程中的常量与变量
(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是 ，变量是 ；
(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ；
(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式 中，其中常量是 ，变量是 ；
5
a，m
2，π
C， r
注意：π是一个确定的数，是常量
S， h
典例解析
【点睛】区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
指出下列事件过程中的变量和常量：
（1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x 升，车主加油付油费为 y 元；
（2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t 天，平均每天所看的页数为 n；
（3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为 x cm，其面积为 S cm2．
（4）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90－α.
针对练习
一般地,在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每 一个值, y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量, y是因变量, 此时也称 y是x的函数.
函数概念包含：
(1)两个变量；
(2)两个变量之间的对应关系．
在数学中,“y是x的函数”这句话常用 y = x的代数式来表示,这里x是自变量,y是x的函数.
知识精讲
函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称为函数的表达式.
知识精讲
例如上面问题中的S=60t；f=????????????????????????????；S＝πr?.
?
例2 下列关于变量x ，y 的关系式：?y =2x+3；?y =x2+3；?y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．
???
【点睛】判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
一个x值有两个y 值与它对应
典例解析
下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.
（1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；
（2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕
地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；
（3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化．
解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量.
（2）y 是n的函数，其中n是自变量.
（3）y 不是x的函数.
例如，到原点的距离为1的点对应实数1或-1,
针对练习
函数关系的三种表示方法
解析法、列表法、图象法
（1）解析法，如问题3中的f= ，问题4中的S＝πr2，这些表达式称为函数的关系式．
?
（2）列表法，如问题2中的表格，问题3中的波长与频率关系表．
?
（3）图象法，问题1中的气温曲线．
知识精讲
1.函数的关系式是等式.
2.通常等式的右边是含有自变量的代数式,左边的一个字母表示函数.
知识精讲
函数的书写：
书写函数关系式的一般步骤：
1.先认真审题，根据题意找出相等关系;
2.按相等关系，写出含有两个变量的等式;
3.将等式变形为用含有自变量的代数式表示函数的式子.
例3 求下列函数中自变量x的取值范围:
分析：用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值.
(4)因为被开方式必须为非负数才有意义,所以x－2≥0 ,自变量x的取值范围是x≥2 .
(1) x取任意实数;
(2) x取任意实数;
(3)因为x=－2时,分式分母为0,没有意义,所以x取不等于－2的任意实数(可表示为 x≠－2).
(1) y ＝ 3x－1 ; (2) y ＝2x?＋7 ;
(3) y ＝ ; (4) y ＝ .
x＋2
1
x－2
解：
典例解析
1.当函数表达式是只含有一个自变量的整式时，
2.当函数表达式是分式时，

3.当函数表达式是二次根式时，
函数表达式是数学式子的自变量取值范围：
自变量的取值范围是全体实数.
自变量的取值范围是使分母不为零的实数.
自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数.
总结提升
例4 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子.
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
0.1x表示的意义是什么？
叫做函数的表达式
典例解析
（2）指出自变量x的取值范围；
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0　
得　0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500
【点睛】确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数表达式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
典例解析
实际问题的函数表达式中自变量取值范围：
1. 函数自变量的取值范围既要使实际问题有意义,同时又要使表达式有意义.
2.实际问题有意义主要指的是：
(1)问题的实际背景(例如自变量表示人数时,应为非负整数等) .
(2)保证几何图形存在(例如等腰三角形底角大于0度小于90度等).
总结提升
1.若球体体积为V，半径为R，则V= 其中变量是 、 ，常量是 .
V
R
2.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)与单价 a（元）的关系式是 ，其中变量是 ，常量是 .
3.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q(升)与行使时间t(小时)的关系是 ，其中的常量是 ，变量是 .
a ，n
50
Q=40-5t
40，5
Q，t
达标检测
4.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x（单位：m）落下时弹跳高度y（单位：m）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是???????????????? ．
y=0.5x
达标检测
5.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.

1
2
3
…
n
y
…
1
1+2
1+2+3
1+2+3+ …+n
完成上表，并写出瓶子总数y 与层数x之间的关系式
x
达标检测
（1）某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式；
（2）已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x（cm），求底边上的高y（cm）关于x的函数关系式；
6.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
（3）在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S（cm2），求S关于r的函数关系式.
y=0.5x x为正整数
y= x正数
40
x
S＝π （102－r2)(0≦x≦10)
达标检测
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