8.6.2直线与平面垂直（第二课时）同步检测-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（Word含解析）

8.6.2 直线与平面垂直（第二课时）（同步检测）
1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　　)
A．B1B⊥l B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直 D．B1B与l相交但不垂直
2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
3.如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝(　　)
A．2　　　　B．3
C. D.
4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
5.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则(　　)
A．α∥β且l∥α B．α∥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线与l垂直 D．α与β相交，且交线与l平行
6.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是(　　)
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
7.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是(　　)
①若m⊥n，n α，则m⊥α；②若m⊥α，n α，则m⊥n；
③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m α，n β，α∥β，则m∥n.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8.线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________
9.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________
10.已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________
11.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件___________时，有
A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
12.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a β，a⊥AB.求证：a∥l.
13.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的 中点，DE⊥平面BCC1B1.
求证：AB＝AC.
14.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，
l⊥平面PCD.
求证：l∥AE.
15.如图，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α)，从点P看地平面上一物体B(不同于A)，直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β.求证：平面β必与平面α相交．
参考答案：
1.B
解析：因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.故选B.
2.C
解析：∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C.
3.D
解析：因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE.
因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.
又CD＝3，所以CE＝＝＝.
4.C
解析：∵BA⊥α，α∩β＝l，l α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.
又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC 平面ABC，∴l⊥AC.故选C.
5.D
解析：若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．
设α∩β＝a，过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.
因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.
因为m⊥α，n⊥β，所以m′⊥α，n′⊥β，所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.
又因为l α，l β，所以l与a不重合．所以l∥a.综上知，选D.
6.C
解析：PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，B、D均正确．故选C.
7.B
解析：①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②是直线与平面垂直的定义的应用，所以②是真命题；③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；④中，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以④不是真命题．故选B.
8.答案：4
解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
9.答案：(1)AB，AC，BC　(2)BC
解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC，所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC.
因为AP 平面PAC，所以BC⊥AP.
10.答案：
解析：如图，设PO⊥平面ABC于O，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接OE，OF，OC.
∵PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，∴PO⊥AC.
又PO∩PE＝P，∴AC⊥平面POE.
又OE 平面POE，∴AC⊥OE.同理有BC⊥OF.∴四边形OECF为矩形．
∵PC＝PC且PE＝PF，∴Rt△PEC≌Rt△PFC.∴EC＝FC＝＝1.
∴四边形OECF是边长为1的正方形．∴OC＝.
在Rt△POC中，PO＝＝.
11.答案：BD⊥AC（答案不唯一）
解析：当BD⊥AC时，又BD⊥AA1，所以BD⊥平面AA1C，从而BD⊥A1C.
又B1D1∥BD，所以A1C⊥B1D1.
12.证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a.
又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
13.证明：取BC的中点F，连接EF，AF.则EF∥B1B且EF＝B1B.
从而EF∥DA且EF＝DA，所以四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE.
因为DE⊥平面BCC1B1，所以AF⊥平面BCC1B1.
所以AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，故AB＝AC.
14.证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.
因为PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
又AE 平面PAD，所以AE⊥CD.
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为l⊥平面PCD，所以l∥AE.
15.证明：假设平面α与平面β平行．
因为PA⊥平面α，所以PA⊥平面β.
因为PB⊥平面β，由线面垂直的性质定理，可得PA∥PB，
与已知PA∩PB＝P矛盾，所以平面β必与平面α相交．