双曲线及其标准方程
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课件41张PPT。双曲线及其标准方程
2.3.1 双曲线及其标准方程复习与问题1，椭圆的第一定义是什么？平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。F1F2M|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）a2=b2+c2 (－c,0), (c,0)(0, －c) ,(0, c)（a>b>0）（a>b>0）探究新知平面内M与两定点F1、F2的距离的差等于非零常数2a的点的轨迹是什么图形？思考：探求轨迹 平面内到两个定点F1、F2的距离的差等于常数的动点的轨迹又是怎样的？新知探究上面两条曲线合起来叫做双曲线思考：上述试验中，曲线上的点M满足的几何 条件是什么？ 12归纳总结双曲线的定义（1）2a<2c ；（2）2a >0 ；注意 双曲线的定义
把平面内与两个定点F1、F2的距离的___________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这_________叫做双曲线的焦点， _______________叫做双曲线的焦距．
自学导引1．差的绝对值两个定点两焦点间的距离理解定义 ||MF1|－|MF2||=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P，F2Q 上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。②常数大于|F1F2 |时①常数等于|F1F2|时PMQM 是不可能的，因为三角形两边之差小于第三边。此时无轨迹。此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。则|MF1|=|MF2|③常数等于0时提示 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在．
(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
自学导引试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
（F1、F2是两定点, |F1F2| =2c (0 当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 ；
当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 ；
因此，在应用定义时，首先要考查 .双曲线的右支双曲线的左支以F1、F2为端点的两条射线不存在2a与2c的大小线段F1F2的垂直平分线F1F2若a=0，动点M的是轨迹_______________________. 若a=c，动点M的轨迹 ；
若a>c，动点M的轨迹 . 已知A（0，﹣4），B（0，4），
︱PA︱－︱PB︱=2a,当a=3和4时，点 p 轨迹分别为（ ）
A、双曲线和一条直线 B、双曲线和两条射线
C、双曲线一支和一条直线 D、双曲线一支和一条射
线D练一练:如何求双曲线的方程呢？oF1PF2以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中垂线为 y轴建立直角坐标系,则F1(-C,0),F2(C,0)2C师生互动二、双曲线的标准方程设点列条件建系P(x，y)双曲线的标准方程：方程叫做双曲线的标准方程 它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2双曲线的标准方程 F1F2双曲线的标准方程：(a>0,b>0)方程叫做双曲线的标准方程 它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2x2y2方程叫做双曲线的标准方程它表示的双曲线焦点在y轴上，焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2如果x2的系数是正时，那么焦点在x轴上P如果y2的系数是正时，那么焦点在y轴上双曲线的标准方程
2．a2＋b2自学导引提示 如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
自学导引F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系：||MF1|－|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a F（0，±c）F（0，±c）已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是____________.解：若此方程表示椭圆， 的取值范围？解：练一练:练一练:求下列双曲线的焦点坐标及a:y29-x216=1(1)(2) x2 - 3 y2 = 3课本 55页 练习 1课本 55页 练习 2课本 55页 练习 3例题分析解：由双曲线的定义知点 的轨迹是双曲线.因为双曲线的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为所求双曲线的方程为：例1. 已知 , 动点 到 、 的距离之差的绝对值为6，求点 的轨迹方程.例题分析所求轨迹的方程为：例1. 已知 , 动点 到 、 的距离之差的绝对值为6，求点 的轨迹方程.两条射线轨迹不存在BA例2 一炮弹在某处爆炸，在 A处听到的时 间比在 B处晚2S，（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知 A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建 立 根据本题题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处 ,这里声速取定值. 数学模型晚2s联系实际，数学建模 P解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为定值，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点 更远，所以爆炸点应在靠近 处的一支上．
离A处比离B处 B四、联系实际，数学建模 （2）已知 A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程．.o (2)如图：建立直角坐标系，使A、B两点在轴 上，并且点O与线段AB的中点重合.又|AB|=800,∴2c=800,c=400， ∵|PA|－|PB|＝680＞0，所求双曲线的方程为:四、联系实际，数学建模 本题若|AB|=680m，曲线的方程是什么？A到B的距离恰好等于680米解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为定值，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处 更远，所以爆炸点应在靠近 B 处的一支上．解：(1) 若A、B两处距离差恰为2秒×声速，则爆炸点应在以B为端点的射线上.
故本题答案若为：爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线靠近 B 处的一支上或在线段AB的延长线上，就更完美了。联系实际，
数学建模 A到B的距离恰好等于680米归纳应用：本例（2）利用两个不同的观测点得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置，如果再增设一个观测点C ，利用 A、C或（B、 C ）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用．课本 54页 练习 5活页规范训练4．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k的值为________．
解析 因为双曲线焦点在y轴上，所以双曲线的标
准方程为 ，
所以k<0，又(0，3)是双曲线的一个焦点，
则c＝3，于是有 ，解得k＝－1.
答案 －15．已知P是双曲线 上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．
解析 由双曲线方程 知，
a＝8，b＝6，则c .
∵P是双曲线上一点，
∴||PF1|－|PF2||＝2a＝16，
又|PF1|＝17，
∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.
又|PF2|≥c－a＝2，
∴|PF2|＝33.
答案 336．(2)已知双曲线与椭圆 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．
解 (2)因为椭圆 的焦点为(0，－3)，(0，3)，A点的坐标为(± ，4)，
设双曲线的标准方程为 (a>0，b>0)，
所以 解得
所以所求的双曲线的标准方程为 .9．双曲线 的一个焦点到中心的距离
为3，那么m＝________.
解析 (1)当焦点在x轴上，有m>5，
则c2＝m＋m－5＝9，
∴m＝7；
(2)当焦点在y轴上，有m<0，
则c2＝－m＋5－m＝9，
∴m＝－2；
综上述，m＝7或m＝－2.
答案 7或－210．已知椭圆 与双曲线
有相同的焦点，则实数a＝________.
解析 由双曲线 可知a>0，且焦点在x轴上．
根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，
解得a＝1或a＝－2(舍去)，
故实数a＝1.
答案 1
2.3.1 双曲线及其标准方程复习与问题1，椭圆的第一定义是什么？平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。F1F2M|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）a2=b2+c2 (－c,0), (c,0)(0, －c) ,(0, c)（a>b>0）（a>b>0）探究新知平面内M与两定点F1、F2的距离的差等于非零常数2a的点的轨迹是什么图形？思考：探求轨迹 平面内到两个定点F1、F2的距离的差等于常数的动点的轨迹又是怎样的？新知探究上面两条曲线合起来叫做双曲线思考：上述试验中，曲线上的点M满足的几何 条件是什么？ 12归纳总结双曲线的定义（1）2a<2c ；（2）2a >0 ；注意 双曲线的定义
把平面内与两个定点F1、F2的距离的___________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这_________叫做双曲线的焦点， _______________叫做双曲线的焦距．
自学导引1．差的绝对值两个定点两焦点间的距离理解定义 ||MF1|－|MF2||=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P，F2Q 上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。②常数大于|F1F2 |时①常数等于|F1F2|时PMQM 是不可能的，因为三角形两边之差小于第三边。此时无轨迹。此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。则|MF1|=|MF2|③常数等于0时提示 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在．
(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
自学导引试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
（F1、F2是两定点, |F1F2| =2c (0
当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 ；
因此，在应用定义时，首先要考查 .双曲线的右支双曲线的左支以F1、F2为端点的两条射线不存在2a与2c的大小线段F1F2的垂直平分线F1F2若a=0，动点M的是轨迹_______________________. 若a=c，动点M的轨迹 ；
若a>c，动点M的轨迹 . 已知A（0，﹣4），B（0，4），
︱PA︱－︱PB︱=2a,当a=3和4时，点 p 轨迹分别为（ ）
A、双曲线和一条直线 B、双曲线和两条射线
C、双曲线一支和一条直线 D、双曲线一支和一条射
线D练一练:如何求双曲线的方程呢？oF1PF2以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中垂线为 y轴建立直角坐标系,则F1(-C,0),F2(C,0)2C师生互动二、双曲线的标准方程设点列条件建系P(x，y)双曲线的标准方程：方程叫做双曲线的标准方程 它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2双曲线的标准方程 F1F2双曲线的标准方程：(a>0,b>0)方程叫做双曲线的标准方程 它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2x2y2方程叫做双曲线的标准方程它表示的双曲线焦点在y轴上，焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2如果x2的系数是正时，那么焦点在x轴上P如果y2的系数是正时，那么焦点在y轴上双曲线的标准方程
2．a2＋b2自学导引提示 如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
自学导引F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系：||MF1|－|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a F（0，±c）F（0，±c）已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是____________.解：若此方程表示椭圆， 的取值范围？解：练一练:练一练:求下列双曲线的焦点坐标及a:y29-x216=1(1)(2) x2 - 3 y2 = 3课本 55页 练习 1课本 55页 练习 2课本 55页 练习 3例题分析解：由双曲线的定义知点 的轨迹是双曲线.因为双曲线的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为所求双曲线的方程为：例1. 已知 , 动点 到 、 的距离之差的绝对值为6，求点 的轨迹方程.例题分析所求轨迹的方程为：例1. 已知 , 动点 到 、 的距离之差的绝对值为6，求点 的轨迹方程.两条射线轨迹不存在BA例2 一炮弹在某处爆炸，在 A处听到的时 间比在 B处晚2S，（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知 A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建 立 根据本题题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处 ,这里声速取定值. 数学模型晚2s联系实际，数学建模 P解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为定值，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点 更远，所以爆炸点应在靠近 处的一支上．
离A处比离B处 B四、联系实际，数学建模 （2）已知 A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程．.o (2)如图：建立直角坐标系，使A、B两点在轴 上，并且点O与线段AB的中点重合.又|AB|=800,∴2c=800,c=400， ∵|PA|－|PB|＝680＞0，所求双曲线的方程为:四、联系实际，数学建模 本题若|AB|=680m，曲线的方程是什么？A到B的距离恰好等于680米解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为定值，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处 更远，所以爆炸点应在靠近 B 处的一支上．解：(1) 若A、B两处距离差恰为2秒×声速，则爆炸点应在以B为端点的射线上.
故本题答案若为：爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线靠近 B 处的一支上或在线段AB的延长线上，就更完美了。联系实际，
数学建模 A到B的距离恰好等于680米归纳应用：本例（2）利用两个不同的观测点得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置，如果再增设一个观测点C ，利用 A、C或（B、 C ）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用．课本 54页 练习 5活页规范训练4．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k的值为________．
解析 因为双曲线焦点在y轴上，所以双曲线的标
准方程为 ，
所以k<0，又(0，3)是双曲线的一个焦点，
则c＝3，于是有 ，解得k＝－1.
答案 －15．已知P是双曲线 上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．
解析 由双曲线方程 知，
a＝8，b＝6，则c .
∵P是双曲线上一点，
∴||PF1|－|PF2||＝2a＝16，
又|PF1|＝17，
∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.
又|PF2|≥c－a＝2，
∴|PF2|＝33.
答案 336．(2)已知双曲线与椭圆 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．
解 (2)因为椭圆 的焦点为(0，－3)，(0，3)，A点的坐标为(± ，4)，
设双曲线的标准方程为 (a>0，b>0)，
所以 解得
所以所求的双曲线的标准方程为 .9．双曲线 的一个焦点到中心的距离
为3，那么m＝________.
解析 (1)当焦点在x轴上，有m>5，
则c2＝m＋m－5＝9，
∴m＝7；
(2)当焦点在y轴上，有m<0，
则c2＝－m＋5－m＝9，
∴m＝－2；
综上述，m＝7或m＝－2.
答案 7或－210．已知椭圆 与双曲线
有相同的焦点，则实数a＝________.
解析 由双曲线 可知a>0，且焦点在x轴上．
根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，
解得a＝1或a＝－2(舍去)，
故实数a＝1.
答案 1