1.5三角函数的应用 同步教案
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文档简介
5 三角函数的应用
教学目标
一、基本目标
1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用．
2．把直角三角形的边角关系与实际问题联系起来，在解决实际问题时，养成“先画图，再求值”的习惯．
二、重难点目标
【教学重点】
1．理解方向角的概念．
2．用解直角三角形解决航海问题、仰角、俯角、坡度等实际问题．
【教学难点】
建立直角三角函数模型，解决实际问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P19～P21的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)方向角
1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．
2．如图，我们说点A在点O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者说点B在点O的西南方向．
(二)仰角、俯角
1．在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质，解直角三角形；
(3)得到数学答案；
(4)得到实际问题的答案．
(三)坡度、坡角
1．坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝＝tan α.
2．如图，斜坡AB和水平面的夹角为α，下列说法不正确的是( B )
A．斜坡AB的坡角为α
B．斜坡AB的坡度为
C．斜坡AB的坡度为tan α
D．斜坡AB的坡度为
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
(一)航海问题
【例1】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD的长并与10海里比较→得出结论．
【解答】如题图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，
∴BD＝AD·tan 55°.
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，
∴CD＝AD·tan 25°.
∵BD＝BC＋CD，
∴AD·tan 55°＝20＋AD·tan 25°，
∴AD＝≈20.79(海里)．
而20.79海里>10海里，
∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．
(二)仰角、俯角问题
【例2】如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)
【互动探索】(引发学生思考)理解仰角的含义→解直角三角形即可得解．
【解答】∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，
∴BD＝AB＝50 m，
∴DC＝BD·sin 60°＝50×＝25≈43(m)．
即该塔高约为43 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决这类问题时，找出仰角并解含这个仰角的直角三角形是解题的关键．
(三)坡度问题
【例3】某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占了多长一段地面？(结果精确到0.01 m)
【互动探索】(引发学生思考)画出示意图→在直角三角形中分别求出CD、BD、AC的长→得出结论．
【解答】根据题意可得图形，如图所示：
在Rt△ABD中，∵sin 40°＝＝，
∴AD＝4sin 40°≈4×0.64＝2.56(m)．
在Rt△ACD中，∵tan 35°＝＝，
∴CD＝≈3.66(m)．
∵tan 40°＝＝，
∴BD＝≈3.05(m)，
∴CB＝CD－BD≈3.66－3.05＝0.61(m)，
∴楼梯多占了0.61 m长一段地面．
∵AC＝≈4.46(m)，
∴AC－AB≈4.46－4＝0.46(m)．
即调整后的楼梯会加长0.46 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，利用三角函数求解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为( D )
A．6sin 75°米 B．米
C．米 D．6tan 75°米
2．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为6米．
3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与出发地的垂直距离为6 m，则这个坡面的坡度为3∶4.
4．如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
(1)试说明点B是否在暗礁区域外；
(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，设BC＝x海里．
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，
∴BD＝x海里，CD＝x海里．
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，tan∠CAD＝＝，
∴＝，解得x＝18.
∵18海里>16海里，
∴点B是在暗礁区域外．
(2)∵CD＝×18＝9(海里)，9＜16，
∴若继续向东航行船有触礁的危险．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
三角函数的应用
练习设计
请完成本课时对应练习！
教学目标
一、基本目标
1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用．
2．把直角三角形的边角关系与实际问题联系起来，在解决实际问题时，养成“先画图，再求值”的习惯．
二、重难点目标
【教学重点】
1．理解方向角的概念．
2．用解直角三角形解决航海问题、仰角、俯角、坡度等实际问题．
【教学难点】
建立直角三角函数模型，解决实际问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P19～P21的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)方向角
1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．
2．如图，我们说点A在点O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者说点B在点O的西南方向．
(二)仰角、俯角
1．在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质，解直角三角形；
(3)得到数学答案；
(4)得到实际问题的答案．
(三)坡度、坡角
1．坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝＝tan α.
2．如图，斜坡AB和水平面的夹角为α，下列说法不正确的是( B )
A．斜坡AB的坡角为α
B．斜坡AB的坡度为
C．斜坡AB的坡度为tan α
D．斜坡AB的坡度为
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
(一)航海问题
【例1】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD的长并与10海里比较→得出结论．
【解答】如题图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，
∴BD＝AD·tan 55°.
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，
∴CD＝AD·tan 25°.
∵BD＝BC＋CD，
∴AD·tan 55°＝20＋AD·tan 25°，
∴AD＝≈20.79(海里)．
而20.79海里>10海里，
∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．
(二)仰角、俯角问题
【例2】如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)
【互动探索】(引发学生思考)理解仰角的含义→解直角三角形即可得解．
【解答】∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，
∴BD＝AB＝50 m，
∴DC＝BD·sin 60°＝50×＝25≈43(m)．
即该塔高约为43 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决这类问题时，找出仰角并解含这个仰角的直角三角形是解题的关键．
(三)坡度问题
【例3】某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占了多长一段地面？(结果精确到0.01 m)
【互动探索】(引发学生思考)画出示意图→在直角三角形中分别求出CD、BD、AC的长→得出结论．
【解答】根据题意可得图形，如图所示：
在Rt△ABD中，∵sin 40°＝＝，
∴AD＝4sin 40°≈4×0.64＝2.56(m)．
在Rt△ACD中，∵tan 35°＝＝，
∴CD＝≈3.66(m)．
∵tan 40°＝＝，
∴BD＝≈3.05(m)，
∴CB＝CD－BD≈3.66－3.05＝0.61(m)，
∴楼梯多占了0.61 m长一段地面．
∵AC＝≈4.46(m)，
∴AC－AB≈4.46－4＝0.46(m)．
即调整后的楼梯会加长0.46 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，利用三角函数求解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为( D )
A．6sin 75°米 B．米
C．米 D．6tan 75°米
2．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为6米．
3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与出发地的垂直距离为6 m，则这个坡面的坡度为3∶4.
4．如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
(1)试说明点B是否在暗礁区域外；
(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，设BC＝x海里．
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，
∴BD＝x海里，CD＝x海里．
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，tan∠CAD＝＝，
∴＝，解得x＝18.
∵18海里>16海里，
∴点B是在暗礁区域外．
(2)∵CD＝×18＝9(海里)，9＜16，
∴若继续向东航行船有触礁的危险．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
三角函数的应用
练习设计
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