1.6 利用三角函数测高 同步教案
图片预览
文档简介
6 利用三角函数测高
教学目标
一、基本目标
1．经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，能够对所得到的数据进行分析．
2．能够对测倾器进行调整及对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．
3．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．
二、重难点目标
【教学重点】
认识测倾器并掌握测量倾斜角的方法．
【教学难点】
掌握测量底部可以达到及底部不可以达到的物体的高度的方法．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P22～P23的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．测量倾斜角可以用测倾器．简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成．
2．测倾器测量倾斜角的依据是同角的余角相等．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
(一)测量底部可以到达的物体的高度
【例1】如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B处6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米，≈1.732)
【互动探索】(引发学生思考)由题意可得四边形BCED是矩形，所以BC＝DE，然后在Rt△ACE中，根据tan∠AEC＝，即可求出AC的长．
【解答】由题意可得四边形BCED是矩形，
∴BC＝DE.
∵BD＝CE＝6米，∠AEC＝60°，
∴AC＝CE·tan 60°＝6×≈6×1.732≈10.4(米)，
∴AB＝AC＋CB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9(米)．
即旗杆AB的高度约为11.9米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解题．
(二)测量底部不可以到达的物体的高度
【例2】如图，小山上有一座铁塔AB，在D处测得点A的仰角为∠ADC＝60°，点B的仰角为∠BDC＝45°；在E处测得点A的仰角为∠E＝30°，并测得DE＝90米，求小山高BC和铁塔高AB.(精确到0.1米)
【互动探索】(引发学生思考)在△ADE中根据三角形的外角性质，可证得∠E、∠DAE都是30°，由此可得出AD、DE的长；在Rt△ACD中，根据仰角∠ADC的度数及斜边AD的长，即可求出AC、CD的值，同理可在Rt△BCD中求出BC的长，由此得解．
【解答】∵在△ADE中，∠E＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠E＝∠DAE＝30°，
∴AD＝DE＝90米．
∵在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，
∴CD＝AD＝45米，AC＝AD·sin∠ADC＝AD·sin 60°＝45米．
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝CD＝45米，
∴AB＝AC－BC＝45－45≈32.9(米)．
即小山高BC为45米，铁塔高AB约为32.9米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查仰角的定义，能够根据题意将实际问题转化为解直角三角形问题是解决此类题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，甲楼AB的高度为20米，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼CD的高度是(20＋20)米．
2．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进10 m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，那么建筑物AB的高度是5 m.
3．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC.
解：由题意，得α＝30°，β＝60°，AD＝100米，∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝100米，
∴tan α＝＝＝，
∴BD＝米．
在Rt△ADC中，∵β＝60°，AD＝100米，
∴tan β＝＝＝，
∴CD＝100米，
∴BC＝BD＋CD＝＋100＝(米)．
即这栋楼的高度BC是米．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：
实践一：根据《自然科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图1的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7米，观察者目高CD＝1.6米，请你计算树AB的高度(精确到0.1米)．
实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪一架．请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是____；
(2)在图2中画出你的测量方案示意图；
(3)你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、α等表示测得的数据；
(4)写出求树高的算式：AB＝________.
图1
图2
【互动探索】实践一根据三角形相似即可求解；实践二根据仰角的定义构造直角三角形求解．
【解答】实践一：∵∠CED＝∠AEB，CD⊥DB，AB⊥BD，
∴△CED∽△AEB，
∴＝.
∵CD＝1.6米，DE＝2.7米，BE＝8.7米，
∴AB＝≈5.2(米)．
实践二：(1)①④
(2)如图．
(3)在距离树AB的a米的C处，用测角仪测得仰角α，测角仪CD＝1.5米．
再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE，求得树高出测角仪的高度AE，则树高为AE＋BE.
(4)a·tan α＋1.5
【互动总结】(学生总结，老师点评)将实际问题抽象为数学问题，构造出直角三角形，转化为解直角三角形问题．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
教学目标
一、基本目标
1．经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，能够对所得到的数据进行分析．
2．能够对测倾器进行调整及对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．
3．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题．
二、重难点目标
【教学重点】
认识测倾器并掌握测量倾斜角的方法．
【教学难点】
掌握测量底部可以达到及底部不可以达到的物体的高度的方法．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P22～P23的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．测量倾斜角可以用测倾器．简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成．
2．测倾器测量倾斜角的依据是同角的余角相等．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
(一)测量底部可以到达的物体的高度
【例1】如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B处6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米，≈1.732)
【互动探索】(引发学生思考)由题意可得四边形BCED是矩形，所以BC＝DE，然后在Rt△ACE中，根据tan∠AEC＝，即可求出AC的长．
【解答】由题意可得四边形BCED是矩形，
∴BC＝DE.
∵BD＝CE＝6米，∠AEC＝60°，
∴AC＝CE·tan 60°＝6×≈6×1.732≈10.4(米)，
∴AB＝AC＋CB＝AC＋DE＝10.4＋1.5＝11.9(米)．
即旗杆AB的高度约为11.9米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解题．
(二)测量底部不可以到达的物体的高度
【例2】如图，小山上有一座铁塔AB，在D处测得点A的仰角为∠ADC＝60°，点B的仰角为∠BDC＝45°；在E处测得点A的仰角为∠E＝30°，并测得DE＝90米，求小山高BC和铁塔高AB.(精确到0.1米)
【互动探索】(引发学生思考)在△ADE中根据三角形的外角性质，可证得∠E、∠DAE都是30°，由此可得出AD、DE的长；在Rt△ACD中，根据仰角∠ADC的度数及斜边AD的长，即可求出AC、CD的值，同理可在Rt△BCD中求出BC的长，由此得解．
【解答】∵在△ADE中，∠E＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠E＝∠DAE＝30°，
∴AD＝DE＝90米．
∵在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，
∴CD＝AD＝45米，AC＝AD·sin∠ADC＝AD·sin 60°＝45米．
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝CD＝45米，
∴AB＝AC－BC＝45－45≈32.9(米)．
即小山高BC为45米，铁塔高AB约为32.9米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查仰角的定义，能够根据题意将实际问题转化为解直角三角形问题是解决此类题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，甲楼AB的高度为20米，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼CD的高度是(20＋20)米．
2．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进10 m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，那么建筑物AB的高度是5 m.
3．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC.
解：由题意，得α＝30°，β＝60°，AD＝100米，∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝100米，
∴tan α＝＝＝，
∴BD＝米．
在Rt△ADC中，∵β＝60°，AD＝100米，
∴tan β＝＝＝，
∴CD＝100米，
∴BC＝BD＋CD＝＋100＝(米)．
即这栋楼的高度BC是米．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：
实践一：根据《自然科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图1的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7米，观察者目高CD＝1.6米，请你计算树AB的高度(精确到0.1米)．
实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪一架．请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是____；
(2)在图2中画出你的测量方案示意图；
(3)你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、α等表示测得的数据；
(4)写出求树高的算式：AB＝________.
图1
图2
【互动探索】实践一根据三角形相似即可求解；实践二根据仰角的定义构造直角三角形求解．
【解答】实践一：∵∠CED＝∠AEB，CD⊥DB，AB⊥BD，
∴△CED∽△AEB，
∴＝.
∵CD＝1.6米，DE＝2.7米，BE＝8.7米，
∴AB＝≈5.2(米)．
实践二：(1)①④
(2)如图．
(3)在距离树AB的a米的C处，用测角仪测得仰角α，测角仪CD＝1.5米．
再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE，求得树高出测角仪的高度AE，则树高为AE＋BE.
(4)a·tan α＋1.5
【互动总结】(学生总结，老师点评)将实际问题抽象为数学问题，构造出直角三角形，转化为解直角三角形问题．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！