1.1锐角三角函数（2课时） 同步教案

1　锐角三角函数
第1课时　正　切
教学目标
一、基本目标
1．理解正切(tan A)的意义及与现实生活的联系．
2．运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算．
3．从实践中引导学生学会观察、思考，探索发现客观事物中存在的数学规律．
二、重难点目标
【教学重点】
理解正切的意义．
【教学难点】
会根据已知条件计算某个角的正切值．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P2～P4的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如图，在Rt△ABC中，∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tan A＝.
2．正切经常用来描述山坡的坡度．坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)．
3．如图，下面四个梯子最陡的是(　B　)
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，AB＝13，求tan A、tan B的值．
解：tan A＝＝，
tan B＝＝.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图是甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
【互动探索】(引发学生思考)分别求出tan α、tan β的值→比较大小，值越大，扶梯就越陡．
【解答】甲梯中，tan α＝＝，
乙梯中，tan β＝＝.
∵tan β＞tan α，
∴乙梯更陡．
【互动总结】(学生总结，老师点评)tan A的值越大，梯子越陡．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值(　C　)
A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．不能确定
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则tan A的值是(　C　)
A． B．
C． D．
3．在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则tan B的值为2.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D为AC的中点，求tan∠ABD的值．
【互动探索】设AC＝BC＝2a，根据勾股定理可求得AB＝2a，再根据等腰直角三角形的性质，可得DE与AE的长，根据线段的和差，可得BE的长，最后根据正切的定义，可得答案．
【解答】如题图，过点D作DE⊥AB于点E.
设AC＝BC＝2a.
根据勾股定理，得AB＝2a.
∵D为AC中点，
∴AD＝AC＝a.
∵∠A＝∠ABC＝45°， DE⊥AB，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝，
∴BE＝AB－AE＝，
∴tan∠ABD＝＝＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角不在直角三角形内时，可作辅助线构造直角三角形进行解答．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系)．
2．如图，tan A＝.
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时　正弦与余弦
教学目标
一、基本目标
1．理解正弦与余弦的意义，根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法．
2．经历探索直角三角形中边角关系的过程，进一步理解当锐角度数一定，其对边、邻边、斜边三边比值也一定．能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．
二、重难点目标
【教学重点】
理解正弦与余弦的意义．
【教学难点】
会用正弦、余弦正确地进行计算．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P5～P6的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如图，在Rt△ABC中．
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sin A＝；
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cos A＝.
2．锐角A的正弦、余弦和正切叫做∠A的三角函数．
3．sin A的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，AC＝12，求sin A、cos A.
解：sin A＝＝，
cos A＝＝.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sin A＝0.6，求BC的长．
【互动探索】(引发学生思考)根据正弦的意义，有sin A＝，代入数据即可求出BC的值．
【解答】在Rt△ABC中，∵sin A＝，即＝0.6，
∴BC＝200×0.6＝120.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在直角三角形中，已知正弦、余弦或正切，需要先找出对应的边角关系，再代入数据进行求解．
【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，求cos A、sin B、tan B的值．
【互动探索】(引发学生思考)画出直角三角形草图→由sin A＝，表示出三角形各边长→得出AC长→由三角函数定义解题．
【解答】在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，sin A＝＝，
∴设AB＝13x，BC＝12x，
∴由勾股定理，得AC＝＝＝5x，
∴cos A＝＝，
sin B＝＝，
tan B＝＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据sin A＝能得到BC与AB的关系，进而通过设未知数，根据勾股定理求出AC，最后根据正弦、余弦、正切的定义求解．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，那么sin B的值是(　A　)
A． B．2
C． D．3
2．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是(　A　)
A． B．
C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．
解：∵∠C＝90°，MN⊥AB，
∴∠C＝∠ANM＝90°.
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AMN，
∴＝＝.
设AC＝3x，AB＝4x.
由勾股定理，得BC＝＝x，
∴在Rt△ABC中，cos B＝＝＝.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据三角函数定义尝试说明：
(1)sin2A＋cos2A＝1；
(2)sin A＝cos B；
(3)tan A＝.
【互动探索】用定义表示出sin A、cos A、cos B、tan A→计算等式的左边与右边→得出结论．
【证明】(1)由勾股定理，得a2＋b2＝c2，
∴sin2A＋cos2A＝＋＝＝1.
(2)∵sin A＝，cos B＝，
∴sin A＝cos B.
(3)∵tan A＝，＝＝，
∴tan A＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．题目中的三个结论应熟记．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
sin A＝，cos A＝.
练习设计
请完成本课时对应练习！