2021-2022学年北师大版高二数学必修五第一章数列检测题 (word含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版高二数学必修五第一章数列检测题 (word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-16 10:22:26 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版高二数学必修五第一章数列检测题
一、单选题
1．数列{}的前4项依次是20，11，2，-7，{}的一个通项公式是（ ）
A．B．C． D．
2．已知等差数列{}，，则公差d的值是（ ）
A．4 B．-6 C．8 D．-10
3．已知等比数列中，，则公比为（ ）
A． B． C． D．
4．下列叙述正确的是（ ）
A．数列与是相同的数列
B．数列可以表示为
C．数列是常数列
D．数列是递增数列
5．已知数列满足点在直线上，则数列的前项和
A． B． C． D．
6．在正项等比数列中，若是，两项的等差中项，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，，这三种分解中，因数3与4差的绝对值最小，则称为12的最佳分解，当正整数n的最佳分解为时，记.设，则数列的前99项和为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列中，，，则（ ）
A． B．9 C． D．10
9．等比数列中，，．设为的前项和，若，则的值为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
10．已知等差数列，公差，记，则下列等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．设是某个等差数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知等比数列中，，若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知等差数列中，，，则公差为_______．
14．数列的前项和为，且，且，则___________.
15．《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里．
16．数列且，若为数列的前项和，则__________.
三、解答题
17．（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；
（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
18．已知数列（）是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
19．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．在正项等比数列中，，且，，是等差数列的前三项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．已知等比数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）定义为取整数的个位数，如，求的值 .
22．已知数列中，，，且，记
（1）求证：数列是等比数列；
（2）记数列的前项和为，若，求数列的前项的和.
参考答案
1．B
【分析】
由等差数列的特点以及等差数列的通项公式即可求解．
【详解】
由已知可看出数列{}为等差数列，首项为20，公差为-9，
由等差数列的通项公式可得.
故选：B
2．A
【分析】
等差数列{}的通项公式即可求解．
【详解】
在等差数列{}中，
公差
故选：A
3．B
【分析】
根据等比数列的通项公式，结合递推公式进行求解即可.
【详解】
若，那么，
所以，
所以，解得或，又，
所以，
所以，
故选：B
4．D
【分析】
根据数列的概念逐一判断即可.
【详解】
对于A，数列与不是相同的数列，故A错误；
对于B，数列可以表示为，故B错误；
对于C，数列是摆动数列，故C错误；
对于D，数列是递增数列，故D正确.
故选：D.
5．D
【分析】
把点带入直线方程，即得数列的通项公式，再运用等差数列求和公式即可.
【详解】
因为在直线上，所以
即
故选：D.
6．A
【分析】
设正项等比数列的公比为，进而得，解方程即可得答案.
【详解】
设正项等比数列的公比为，
由题可知，
所以，即，
解得或（舍），所以.
故选：A
7．B
【分析】
由题意可得，利用等比数列的前项和公式，即可求出结果.
【详解】
.
故选：B.
8．A
【分析】
把给定的数列相邻两项间的关系等式变形、整理可得新数列，求其通项即可作答.
【详解】
数列中，因，，显然，
从而有，即数列是等差数列，公差d=2，，
则，即，所以.
故选：A
9．B
【分析】
由已知条件可求出公比，由，结合等比数列的求和公式即可求出.
【详解】
解：设公比为，因为，所以，解得或，
当时，，解得；
当时，，无解，
故选:B.
10．D
【分析】
根据等差数列的通项、求和公式，结合等差中项的性质，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】
因为为等差数列，所以，
所以，
对于A：因为为等差数列，根据等差中项的性质可得，故A正确；
对于B：，，
所以，故B正确；
对于C：若，则，整理得，
因为，所以，
所以当时，满足，此时C正确；
对于D：若，则，
所以，
所以，
解得，不满足，故D错误.
故选：D
【点睛】
解题的关键是熟练掌握等差数列的通项、求和公式，等差中项的性质等知识，考查分析理解，计算化简的能力.
11．A
【分析】
由题设易得且，利用等差数列前n项和公式，由求d，即可求.
【详解】
由题意知：即，且，
∴，故，
∴.
故选：A
12．A
【分析】
由条件求得等比数列通项，将恒成立不等式移项，利用单调性来判断最值情况，从而求得参数最大值.
【详解】
因为，所以，
又，所以，解得，所以，
所以恒成立等价于恒成立，
令，则，
当时，；当时，；
当时，，
所以，
所以，所以，即实数的最大值为，
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：求得等比数列通项公式，作差法求得bn=2n-8n的单调性，从而求解参数最值.
13．
【分析】
根据等差数列的通项公式和性质，准确运算，即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，
可得，解得．
故答案为：.
14．
【分析】
由求得，又可得，根据，求出，又因为，代入数据求解即可．
【详解】
由，又，得
故答案为：
15．
【分析】
由题意，良马与驽马日行里数分别构成等差数列，由等差数列通项公式可得.
【详解】
良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以97为首项，-0.5为公差的等差数列，
则两马同时出发后第8日，良马日行里数里)，
而驽马日行里数(里)，
所以良马较驽马日行里数多1908-762=1146里．
故答案为：1146.
【点睛】
本题考查等差数列的应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题，理解题意是解题的关键.
16．
【分析】
由题意，当为奇数时，；当为偶数时，.然后根据分组求和法、裂项相消求和法及三角函数的周期性即可求解.
【详解】
解：数列且，
①当为奇数时，，
②当为偶数时，，，则偶数项和为，
所以
，
故答案为:.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是，将分成所有的奇数项的和与偶数项的和相加，然后利用裂项相消求和法求所有奇数项的和，利用周期性求所有偶数项的和.
17．（1）an＝－ (n∈N*)；（2）an＝ (n∈N*)．
【分析】
（1）由已知条件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通项公式an.
（2）由an＝an－1，可得＝，然后利用累乘法可求出通项公式
【详解】
（1）∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∴an＋1＝1－，
∴an＝－ (n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－ (n∈N*)．
（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝ (n∈N*)．
18．（1）（2）
【分析】
（1）根据条件，代入等差数列的基本量列方程求解即可；
（2）用裂项相消法求和.
【详解】
解：（1）设的公差为.
因为成等比数列，所以，
即，
化简得，
又，且，解得，
所以有；
（2）由（1）得：，
所以.
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算以及裂项相消法求和，考查计算能力，是基础题.
19．（1）；（2）
【分析】
（1）根据的关系，可得结果.
（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果.
【详解】
（1）
当时，，解得；
当时，
，
，
两式相减可得，，
解得，易知也符合上式，
综上所述，，.
（2）依题意：，
下面先求数列的前项和；
，
，
两式相减可得，
，
即
所以，
化简可得，，
故.
【点睛】
本题考查了的关系，还考查了错位相减法求和，要掌握一些常见的求和方法，比如：错位相减，裂项相消，倒序相加等，属中档题.
20．（1），；（2）.
【分析】
（1）设出公比，根据已知列出式子即可求得公比，即可求得和的通项公式；
（2）分别利用等差数列和等比数列的求和公式分组求和即可.
【详解】
解：（1）设数列的公比为，
则由题可知，∴
∴或，∵，∴，
∴，
∵的前三项分别是8，16，24，∴.
（2）∵，
∴，
∴.
21．（1）；（2）495.
【分析】
（1）根据等比数列及与的关系求解；
（2）归纳规律，利用周期性求和即可.
【详解】
（1）
是等比数列
（2），
易知，从第二项起，是周期为4的数列
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）化简得，数列是等比数列即得证；
（2）由题得，再对分类讨论得解.
【详解】
（1）证明：由，得，
又，即，
即数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）解：由（1）知：，，
则，故，
则当时，
，
当时，
，
则.
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）分组求和法；（4）裂项相消法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
试卷第1页，总3页
一、单选题
1．数列{}的前4项依次是20，11，2，-7，{}的一个通项公式是（ ）
A．B．C． D．
2．已知等差数列{}，，则公差d的值是（ ）
A．4 B．-6 C．8 D．-10
3．已知等比数列中，，则公比为（ ）
A． B． C． D．
4．下列叙述正确的是（ ）
A．数列与是相同的数列
B．数列可以表示为
C．数列是常数列
D．数列是递增数列
5．已知数列满足点在直线上，则数列的前项和
A． B． C． D．
6．在正项等比数列中，若是，两项的等差中项，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，，这三种分解中，因数3与4差的绝对值最小，则称为12的最佳分解，当正整数n的最佳分解为时，记.设，则数列的前99项和为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列中，，，则（ ）
A． B．9 C． D．10
9．等比数列中，，．设为的前项和，若，则的值为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
10．已知等差数列，公差，记，则下列等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．设是某个等差数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知等比数列中，，若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知等差数列中，，，则公差为_______．
14．数列的前项和为，且，且，则___________.
15．《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里．
16．数列且，若为数列的前项和，则__________.
三、解答题
17．（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；
（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
18．已知数列（）是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
19．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．在正项等比数列中，，且，，是等差数列的前三项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．已知等比数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）定义为取整数的个位数，如，求的值 .
22．已知数列中，，，且，记
（1）求证：数列是等比数列；
（2）记数列的前项和为，若，求数列的前项的和.
参考答案
1．B
【分析】
由等差数列的特点以及等差数列的通项公式即可求解．
【详解】
由已知可看出数列{}为等差数列，首项为20，公差为-9，
由等差数列的通项公式可得.
故选：B
2．A
【分析】
等差数列{}的通项公式即可求解．
【详解】
在等差数列{}中，
公差
故选：A
3．B
【分析】
根据等比数列的通项公式，结合递推公式进行求解即可.
【详解】
若，那么，
所以，
所以，解得或，又，
所以，
所以，
故选：B
4．D
【分析】
根据数列的概念逐一判断即可.
【详解】
对于A，数列与不是相同的数列，故A错误；
对于B，数列可以表示为，故B错误；
对于C，数列是摆动数列，故C错误；
对于D，数列是递增数列，故D正确.
故选：D.
5．D
【分析】
把点带入直线方程，即得数列的通项公式，再运用等差数列求和公式即可.
【详解】
因为在直线上，所以
即
故选：D.
6．A
【分析】
设正项等比数列的公比为，进而得，解方程即可得答案.
【详解】
设正项等比数列的公比为，
由题可知，
所以，即，
解得或（舍），所以.
故选：A
7．B
【分析】
由题意可得，利用等比数列的前项和公式，即可求出结果.
【详解】
.
故选：B.
8．A
【分析】
把给定的数列相邻两项间的关系等式变形、整理可得新数列，求其通项即可作答.
【详解】
数列中，因，，显然，
从而有，即数列是等差数列，公差d=2，，
则，即，所以.
故选：A
9．B
【分析】
由已知条件可求出公比，由，结合等比数列的求和公式即可求出.
【详解】
解：设公比为，因为，所以，解得或，
当时，，解得；
当时，，无解，
故选:B.
10．D
【分析】
根据等差数列的通项、求和公式，结合等差中项的性质，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】
因为为等差数列，所以，
所以，
对于A：因为为等差数列，根据等差中项的性质可得，故A正确；
对于B：，，
所以，故B正确；
对于C：若，则，整理得，
因为，所以，
所以当时，满足，此时C正确；
对于D：若，则，
所以，
所以，
解得，不满足，故D错误.
故选：D
【点睛】
解题的关键是熟练掌握等差数列的通项、求和公式，等差中项的性质等知识，考查分析理解，计算化简的能力.
11．A
【分析】
由题设易得且，利用等差数列前n项和公式，由求d，即可求.
【详解】
由题意知：即，且，
∴，故，
∴.
故选：A
12．A
【分析】
由条件求得等比数列通项，将恒成立不等式移项，利用单调性来判断最值情况，从而求得参数最大值.
【详解】
因为，所以，
又，所以，解得，所以，
所以恒成立等价于恒成立，
令，则，
当时，；当时，；
当时，，
所以，
所以，所以，即实数的最大值为，
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：求得等比数列通项公式，作差法求得bn=2n-8n的单调性，从而求解参数最值.
13．
【分析】
根据等差数列的通项公式和性质，准确运算，即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，
可得，解得．
故答案为：.
14．
【分析】
由求得，又可得，根据，求出，又因为，代入数据求解即可．
【详解】
由，又，得
故答案为：
15．
【分析】
由题意，良马与驽马日行里数分别构成等差数列，由等差数列通项公式可得.
【详解】
良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以97为首项，-0.5为公差的等差数列，
则两马同时出发后第8日，良马日行里数里)，
而驽马日行里数(里)，
所以良马较驽马日行里数多1908-762=1146里．
故答案为：1146.
【点睛】
本题考查等差数列的应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题，理解题意是解题的关键.
16．
【分析】
由题意，当为奇数时，；当为偶数时，.然后根据分组求和法、裂项相消求和法及三角函数的周期性即可求解.
【详解】
解：数列且，
①当为奇数时，，
②当为偶数时，，，则偶数项和为，
所以
，
故答案为:.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是，将分成所有的奇数项的和与偶数项的和相加，然后利用裂项相消求和法求所有奇数项的和，利用周期性求所有偶数项的和.
17．（1）an＝－ (n∈N*)；（2）an＝ (n∈N*)．
【分析】
（1）由已知条件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通项公式an.
（2）由an＝an－1，可得＝，然后利用累乘法可求出通项公式
【详解】
（1）∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∴an＋1＝1－，
∴an＝－ (n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－ (n∈N*)．
（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝ (n∈N*)．
18．（1）（2）
【分析】
（1）根据条件，代入等差数列的基本量列方程求解即可；
（2）用裂项相消法求和.
【详解】
解：（1）设的公差为.
因为成等比数列，所以，
即，
化简得，
又，且，解得，
所以有；
（2）由（1）得：，
所以.
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算以及裂项相消法求和，考查计算能力，是基础题.
19．（1）；（2）
【分析】
（1）根据的关系，可得结果.
（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果.
【详解】
（1）
当时，，解得；
当时，
，
，
两式相减可得，，
解得，易知也符合上式，
综上所述，，.
（2）依题意：，
下面先求数列的前项和；
，
，
两式相减可得，
，
即
所以，
化简可得，，
故.
【点睛】
本题考查了的关系，还考查了错位相减法求和，要掌握一些常见的求和方法，比如：错位相减，裂项相消，倒序相加等，属中档题.
20．（1），；（2）.
【分析】
（1）设出公比，根据已知列出式子即可求得公比，即可求得和的通项公式；
（2）分别利用等差数列和等比数列的求和公式分组求和即可.
【详解】
解：（1）设数列的公比为，
则由题可知，∴
∴或，∵，∴，
∴，
∵的前三项分别是8，16，24，∴.
（2）∵，
∴，
∴.
21．（1）；（2）495.
【分析】
（1）根据等比数列及与的关系求解；
（2）归纳规律，利用周期性求和即可.
【详解】
（1）
是等比数列
（2），
易知，从第二项起，是周期为4的数列
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）化简得，数列是等比数列即得证；
（2）由题得，再对分类讨论得解.
【详解】
（1）证明：由，得，
又，即，
即数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）解：由（1）知：，，
则，故，
则当时，
，
当时，
，
则.
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）分组求和法；（4）裂项相消法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
试卷第1页，总3页