第一章 轴对称图形 学案

第一章 轴对称图形 学案
考点1：轴对称的概念和性质
【知识梳理】
知识点1：轴对称的概念
把一个图形沿着某一条直线折叠后，如果能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
知识点2：轴对称图形的概念
把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
知识点3：轴对称与轴对称图形的区别与联系:
区别：①轴对称是对二个图形而言，是两个图形的位置关系。轴对称图形是对一个图形而言，是一个具有
特殊形状的图形。②轴对称的对称轴只有一条，轴对称图形的对称轴不一定只有一条。　
联系：①都具有折叠后互相重合的性质。②如果把轴对称的两个图形看成一个图形，那么它就是一个轴对
称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称。
知识点4：常见的轴对称图形
轴对称图形
对称轴
对称轴条数
直线
①直线本身②过直线上任一点的直线
无数
线段
①线段所在直线②过线段中点的垂线
2
角
角平分线所在直线
1
等腰三角形
过底边中点的垂线
1
等边三角形
过每条边中点的垂线
3
圆
直径所在直线
无数
正n边形
n
知识点5：轴对称的性质
（1）成轴对称的两个图形全等
（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
【典例精析】
1．在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（　　 ）
2．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

A. B. C. D.
3．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（　　）
4．如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出变换后的图形（图中每个小正方形的边长为个单位）：
（1）向右平移个单位；（2）关于轴对称；（3）绕点顺时针方向旋转．
5．已知：点A、B分别在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最短。

变形1：正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，在对角线AC上找一点P，使PE+PB最短。
变形2：已知点A（1，6）、点B（6，4），在x轴和y轴上各找一点C、D，使四边形ACDB的周长最短。

考点2：折叠问题
【知识梳理】
常见的折叠问题有两种类型：一种是将一个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置，这时候，这条直线两旁的图形全等；另一种是将一个图形沿着某一条直线折叠，使两个点重合，此时，这折痕所在的直线是这两点连线的垂直平分线。
【典例精析】
1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）
2．如图将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为( ) A. B. 3 C. 2 D.
3．将矩形ABCD沿着对角线AC对折，则三角形AFC是 三角形。

变式：若矩形ABCD中，AB=6，AD=3，求三角形AFC的面积。
4．将矩形ABCD沿着EF对折，使点B与点D重合，若AB=8，AD=10，求折痕EF的长。
5．如图7，矩形纸片的边长分别为．将纸片任意翻折（如图8），折痕为．（在上），使顶点落在四边形内一点，的延长线交直线于，再将纸片的另一部分翻折，使落在直线上一点，且所在直线与所在直线重合（如图9）折痕为．
（1）猜想两折痕之间的位置关系，并加以证明．
（2）若的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕间的距离有何变化？请说明理由．
（3）若的角度在每次翻折的过程中都为（如图10），每次翻折后，非重叠部分的四边形，及四边形的周长与有何关系，为什么？
考点3：线段、角的轴对称性
【知识梳理】
知识点1：线段垂直分线：
（1）定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（2）定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的点。
（3）逆定理：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上。
知识点2：角的平分线：
（1）定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
（2）逆定理：到角两边的距离相等的点在角平分线上。
知识点3：线段的垂直平分线和角的平分线的画法
类别
作法
图形
线段的垂直平分线
1.分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于C、D
2.过C、D两点作直线，直线CD就是线段AB的垂直平分线
角的平分线
1.在AOB的两边OA和OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE
2．分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C
3.作射线OC．射线OC即为所求．
【典例精析】
1．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若AC=6，△ABD的周长是13，，则△ABC的周长是 ；若△ABC的周长是30，△ABD的周长是25，则AC= 。若∠C=30°，则∠ADB= 。

2．如图,在10×10的正方形网格纸中,线段AB、CD的长均等于5．则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C． 4个 D．5个
3.三角形ABC中，DE垂直平分AC，则三角形BCD的周长等于
变式：三角形ABC中，DF、EG分别垂直平分AB和AC，则三角形AFG的周长等于 
4.在中找一点P，使点P到两边的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等。

5.在平面内找一点P，使点P到三条直线的距离相等。
考点4：等腰三角形的轴对称性
【知识梳理】
1．等腰三角形：
（1）定义：如过一个三角形有两条边相等，那么这个三角形叫做等腰三角形。
（2）性质：①等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
②等腰三角形的顶角平分线，底边的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
③底边上任意一点到两腰的距离之和为定值，且等于底角顶点到腰的距离。
（3）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
2．等边三角形：
（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形（或正三角形）
（2）性质：①等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴。
②等边三角形的每个角都等于60°
（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有两个角等于60°的三角形是等边三角形
③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
【典例精析】
1.若等腰三角形一个角为72°，则顶角为 。
若等腰三角形的一个角是另一个角的2倍少10°，则顶角为 。
若等腰三角形的两条边长分别是3、6，则周长是 。
2．在三角形ABC中，AB=AC，点P是BC边上的任意一点，PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M、N，BD是AC边上的高，则PM+PN= 。

变式1：矩形ABCD中，PM⊥BD，PN⊥AC，若AB=3，BC=4，则PM+PN=
变式2：正方形ABCD中，AB=2，BC=BE，PM⊥BD，PN⊥BC，则PM+PN=
3．△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，则△BDE是 三角形。
变式1：BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，MN∥BC，则BM+CN=
变式2：BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角，MN∥BC，则BM-CN=
变式3：BD、CD分别平分∠ABC的外角和∠ACB的外角，MN∥BC，则BM+CN=
4．如图, △ABC中, D、E分别是AC、AB上的点, BD与CE交于点O. 给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.
⑴ 上述三个条件中, 哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)；
⑵ 选择第⑴小题中的一种情形, 证明△ABC是等腰三角形.
5．如图，是等边三角形内的一点，连结，以为边作，且，连结．
（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若，连结，试判断的形状，并说明理由．

6．如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．
考点5：等腰梯形的轴对称性
【知识梳理】
1.等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形
2．等腰梯形的性质：
（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等；
（2）从边看：等腰梯形两腰相等；
（3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等．
3. 等腰梯形的判定：
（1）两条腰相等的梯形是等腰梯形．
（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．
【典例精析】
1．如图，等腰梯形下底与上底的差恰好等于腰长，．则等于（　　）
A． B． C． D．
2．如图，用四个全等的等腰梯形拼成四边形ABCD，则∠A＝ .
3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC, ，．（1）求证：
（2）若，求梯形ABCD的面积．
4．已知：如图，在等腰梯形中，中，点分别在上，且．求证：．
5．如图，梯形中，，，为梯形外一点，分别交线段于点，且．
（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）
（2）选择你在（1）中写出全等三角形中任意一对进行证明．

6．已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，
求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）
思考题
1．操作与探究：
（1）图①是一块直角三角形纸片。将该三角形纸片按如图方法折叠，是点A与点C重合，DE为折痕。试证明△CBE等腰三角形；
（2）再将图①中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图②)。通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”。你能将图③中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕；
（3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；
（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)。请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件是，一定能折成组合矩形？
2．如图，在等腰梯形中，，，，．等腰直角三角形的斜边，点与点重合，和在一条直线上，设等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以的速度向右移动，直到点与点重合为止．
（1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由 形变化为 形；
（2）设当等腰直角三角形移动时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）当时，求等腰直角三角形与等腰梯形重叠部分的面积．