29.1 投影 课时练习3
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29.1 投影
专题一 太阳光下的投影
1．如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是（ ）
A．①②③④ B．④①③② C．②③①④ D．④③②①
2．兴趣小组的同学要测量某棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的直立竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.3米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.8米，则树高为多少米？
3．某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8 m．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8 m，树影落在斜坡上的部分CD＝3.2 m．已知斜坡CD的坡比i＝1:，求树高AB.（结果保留整数，参考数据：1.7）
专题二 灯光下的投影
4．如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m＝AC；
③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是 ．
5．如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB，CD．
（1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；
（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段EF表示）.
6．如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯．
（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；
（2）若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574）
专题三 正投影
7．如图，投影面上垂直立一线段AB，线段长为2 cm.
（1）当投影线垂直照射投影面时，线段在地面上的投影是什么图形？请在左图中画出来.
（2）当投影线与投影面的倾斜角为60°时，线段在投影面上的投影是什么图形？并画出投影示意图.
（3）上面（1）、（2）问题中的投影都是正投影吗？为什么？
8．在正投影中，正方形倾斜于投影面放置时，它的投影是什么图形？若正方形的面积为10，它的正投影的面积是5，你知道正方形与投影面的倾斜角是多少度吗？
专题四 规律探究题
9．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律.如图，在同一时刻，身高为1.6 m的小明（AB）的影子BC的长是3 m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6 m.
（1）请你在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；
（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；
（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH的中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下路程的到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的到B3处时，……,按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到Bn处时，其影子BnCn的长为 m（用含n的代数式表示）.
【知识要点】
1．投影：一个物体放在阳光下或灯光前,就会在地面上或墙壁上留下它的影子，这个影子称为物体的投影.投影要有照射光线和形成影子的地方,这就是投影线和投影面.
2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影.
3．中心投影：由同一个点（点光源）发出的光线所形成的投影为中心投影.
4．正投影的概念：在平行投影中,如果投射线垂直于投影面,那么这种投影称为正投影.几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图.
5．(1)当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段AB与它的投影的大小关
系为AB＝A1B1；(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,线段AB与它的投影的大小关系为AB＞A2B2；(3)当线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是一个点.
6．(1)当纸板Q平行于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小一样；
(2)当纸板Q倾斜于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小发生变化；
(3)当纸板Q垂直于投影面P时，Q的正投影成为一条线段.
故当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
【温馨提示】
1．平行投影与中心投影的区别与联系.
区别 联系
光线 物体与投影面平行时的投影
平行投影 平行的投影线 全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子（即都是投影）
中心投影 从一点出发的投影线 放大（位似变换）
2．在平行投影下,一个图形上的点被投影后，对应点的连线互相平行.同一时刻，平行投影的影子方向和大小不随物体位置的变化而变化.
3．中心投影的投射光线相交于一点,同一时刻，中心投影的影子方向随物体位置的变化而发生变化.
4．正投影是平行投影的一种特例，正投影的特征是每条投影线都垂直于投影面.
【方法技巧】
1．因为一天之中，太阳东升西落，所以早晨物体的影子朝西，傍晚物体的影子朝东，但因为地处北半球，即使是夏天的正午，也由于太阳直射点的关系，物体的影子略微向北偏移，故一天之中影子方向的变化顺序为：正西→北偏西→正北→北偏东→正东；一天之中影子的长度的变化规律为：长→短→长．
2．确定点光源的位置的方法：两个物体影子的顶端与物体的顶端的连线的交点为点光源的位置．
3．分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线平行，则为平行投影；若两直线相交，则为中心投影，其交点是光源的位置.
参考答案
1．C 【解析】太阳由东升起的过程中，物体的影子投向西侧，且由长到短，太阳偏西，物体的影子也转投向东侧，且由短到长．
故选Ｃ.
2．解：画出示意图如图所示.
从图中我们看到小树在一组平行光的照射下，影子分成了三部分AC、CD、DG.因为小树和竖直台阶是水平的，所以四边形CDEF是平行四边形，EF＝CD，因为同一时刻，不同物体的物高与影长之比相等，所以.
即.
解得BE＝0.5，AF＝8.
所以小树的高AB＝AF＋EF＋BE＝8＋0.3＋0.5＝8.8(米).
3．解：如图所示，延长BD与AC的延长线交于点E，过点D作DHAE于点H.
∵i＝tan∠DCH＝＝＝，
∴∠DCH＝30°.
∴DH＝CD＝1.6 m，CH＝DH≈2.7 m.
由题意可知，
∴HE＝0.8DH＝1.28 m.
∴AE＝AC＋CH＋HE≈8.8＋＋1.28＝12.78(m).
∵，所以(m).
4．①③④ 【解析】当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示，m＞AC，①成立；①成立，那么②不成立；当旋转到达地面时，有最短影长，等于AB，③成立；由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立．
5．解：如图所示.
（1）点P就是所求的点；
（2）EF就是小华此时在路灯下的影子．
6．解：（1）如图，线段AC是小敏的影子.
（2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，则PF⊥EQ.
在Rt△PDQ中，∠PQD＝55°，DQ＝EQ－ED＝4.5－1.5＝3（米）.
∵tan55°＝错误！未找到引用源。，
∴PD＝3tan55°≈4.3（米）.
∵DF＝QB＝1.6米，
∴PF＝PD＋DF≈4.3＋1.6＝5.9（米）.
答：照明灯P到地面的距离为5.9米．
7．解：（1）点.（2）线段，这条线段BC的长度为.（3）（1）问中的投影是正投影，（2）问中的投影不是正投影，是平行投影.只有投影线和投影面垂直的投影才是正投影.
8．是一个长方形，当正方形倾斜于投影面放置时，它与投影面平行的一边长等于原来的长度，而与投影面不平行的边长缩小.因为正方形的面积为10，它的正投影的面积是5，所以不平行的一边长的投影等于这边的一半，所以正方形与投影面的倾斜角是60度.
9．解：（1）如图，点G即为所求.
（2）由题意得，
∴，
∴，
∴m.
（3），
∴，
设的长为x m，则，
解得（m），即 m．
同理，
解得（m），．
专题一 太阳光下的投影
1．如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是（ ）
A．①②③④ B．④①③② C．②③①④ D．④③②①
2．兴趣小组的同学要测量某棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的直立竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.3米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.8米，则树高为多少米？
3．某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8 m．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8 m，树影落在斜坡上的部分CD＝3.2 m．已知斜坡CD的坡比i＝1:，求树高AB.（结果保留整数，参考数据：1.7）
专题二 灯光下的投影
4．如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m＝AC；
③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是 ．
5．如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB，CD．
（1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；
（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段EF表示）.
6．如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯．
（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；
（2）若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574）
专题三 正投影
7．如图，投影面上垂直立一线段AB，线段长为2 cm.
（1）当投影线垂直照射投影面时，线段在地面上的投影是什么图形？请在左图中画出来.
（2）当投影线与投影面的倾斜角为60°时，线段在投影面上的投影是什么图形？并画出投影示意图.
（3）上面（1）、（2）问题中的投影都是正投影吗？为什么？
8．在正投影中，正方形倾斜于投影面放置时，它的投影是什么图形？若正方形的面积为10，它的正投影的面积是5，你知道正方形与投影面的倾斜角是多少度吗？
专题四 规律探究题
9．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律.如图，在同一时刻，身高为1.6 m的小明（AB）的影子BC的长是3 m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6 m.
（1）请你在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；
（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；
（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH的中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下路程的到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的到B3处时，……,按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到Bn处时，其影子BnCn的长为 m（用含n的代数式表示）.
【知识要点】
1．投影：一个物体放在阳光下或灯光前,就会在地面上或墙壁上留下它的影子，这个影子称为物体的投影.投影要有照射光线和形成影子的地方,这就是投影线和投影面.
2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影.
3．中心投影：由同一个点（点光源）发出的光线所形成的投影为中心投影.
4．正投影的概念：在平行投影中,如果投射线垂直于投影面,那么这种投影称为正投影.几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图.
5．(1)当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段AB与它的投影的大小关
系为AB＝A1B1；(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,线段AB与它的投影的大小关系为AB＞A2B2；(3)当线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是一个点.
6．(1)当纸板Q平行于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小一样；
(2)当纸板Q倾斜于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小发生变化；
(3)当纸板Q垂直于投影面P时，Q的正投影成为一条线段.
故当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
【温馨提示】
1．平行投影与中心投影的区别与联系.
区别 联系
光线 物体与投影面平行时的投影
平行投影 平行的投影线 全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子（即都是投影）
中心投影 从一点出发的投影线 放大（位似变换）
2．在平行投影下,一个图形上的点被投影后，对应点的连线互相平行.同一时刻，平行投影的影子方向和大小不随物体位置的变化而变化.
3．中心投影的投射光线相交于一点,同一时刻，中心投影的影子方向随物体位置的变化而发生变化.
4．正投影是平行投影的一种特例，正投影的特征是每条投影线都垂直于投影面.
【方法技巧】
1．因为一天之中，太阳东升西落，所以早晨物体的影子朝西，傍晚物体的影子朝东，但因为地处北半球，即使是夏天的正午，也由于太阳直射点的关系，物体的影子略微向北偏移，故一天之中影子方向的变化顺序为：正西→北偏西→正北→北偏东→正东；一天之中影子的长度的变化规律为：长→短→长．
2．确定点光源的位置的方法：两个物体影子的顶端与物体的顶端的连线的交点为点光源的位置．
3．分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线平行，则为平行投影；若两直线相交，则为中心投影，其交点是光源的位置.
参考答案
1．C 【解析】太阳由东升起的过程中，物体的影子投向西侧，且由长到短，太阳偏西，物体的影子也转投向东侧，且由短到长．
故选Ｃ.
2．解：画出示意图如图所示.
从图中我们看到小树在一组平行光的照射下，影子分成了三部分AC、CD、DG.因为小树和竖直台阶是水平的，所以四边形CDEF是平行四边形，EF＝CD，因为同一时刻，不同物体的物高与影长之比相等，所以.
即.
解得BE＝0.5，AF＝8.
所以小树的高AB＝AF＋EF＋BE＝8＋0.3＋0.5＝8.8(米).
3．解：如图所示，延长BD与AC的延长线交于点E，过点D作DHAE于点H.
∵i＝tan∠DCH＝＝＝，
∴∠DCH＝30°.
∴DH＝CD＝1.6 m，CH＝DH≈2.7 m.
由题意可知，
∴HE＝0.8DH＝1.28 m.
∴AE＝AC＋CH＋HE≈8.8＋＋1.28＝12.78(m).
∵，所以(m).
4．①③④ 【解析】当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示，m＞AC，①成立；①成立，那么②不成立；当旋转到达地面时，有最短影长，等于AB，③成立；由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立．
5．解：如图所示.
（1）点P就是所求的点；
（2）EF就是小华此时在路灯下的影子．
6．解：（1）如图，线段AC是小敏的影子.
（2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，则PF⊥EQ.
在Rt△PDQ中，∠PQD＝55°，DQ＝EQ－ED＝4.5－1.5＝3（米）.
∵tan55°＝错误！未找到引用源。，
∴PD＝3tan55°≈4.3（米）.
∵DF＝QB＝1.6米，
∴PF＝PD＋DF≈4.3＋1.6＝5.9（米）.
答：照明灯P到地面的距离为5.9米．
7．解：（1）点.（2）线段，这条线段BC的长度为.（3）（1）问中的投影是正投影，（2）问中的投影不是正投影，是平行投影.只有投影线和投影面垂直的投影才是正投影.
8．是一个长方形，当正方形倾斜于投影面放置时，它与投影面平行的一边长等于原来的长度，而与投影面不平行的边长缩小.因为正方形的面积为10，它的正投影的面积是5，所以不平行的一边长的投影等于这边的一半，所以正方形与投影面的倾斜角是60度.
9．解：（1）如图，点G即为所求.
（2）由题意得，
∴，
∴，
∴m.
（3），
∴，
设的长为x m，则，
解得（m），即 m．
同理，
解得（m），．