8.6.3平面与平面垂直（第一课时） 同步检测-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

8.6.3 平面与平面垂直（第一课时）（同步检测）
1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(　　)
A．0个　　　　 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
2.从空间一点P向二面角α l β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α l β的平面角的大小是(　　)
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
3.已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
4.在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角B AD C后，BC＝AB，这时二面角B AD C的大小为(　　)
A．60° B．90°
C．45° D．120°
5.(多选)如图，在四棱锥P ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(　　)
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
6.在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A BD C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于(　　)
A．90° B．45°
C．60° D．30°
7.如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m α和m⊥γ，那么必有(　　)
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
8.如图，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A BCDE，则平面ABC与平面ACD的关系是________
9.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，
则AD与平面BCD所成的角是________
10.如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在 AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1 EF C等于45°，则BF＝________.
11.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________
12.如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.求证：平面PQC⊥平面DCQ.
13.如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至
△A′BE的位置，使A′C＝A′D.求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
14.如图所示，平面角为锐角的二面角α EF β，A∈EF，AG α，∠GAE ＝ 45°.若AG与β所成角为30°，求二面角α EF β的大小．
15.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．
(1)求证：BE⊥PD；(2)求二面角P CD A的余弦值．
参考答案：
1.D
解析：当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.
2.C
解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.故选C.
3.D
解析：由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.故选D.
4.A
解析：∠BDC为二面角B AD C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°.故选A.
5.ABD
解析：由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，故平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，故A、B、D正确．
6.A
解析：如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意 可得AF＝CF＝a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．
∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.故选A.
7.A
解析：B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．
8.答案：垂直
解析：因为AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，且平面ADE∩平面BCDE＝DE，所以AD⊥平面BCDE.
因为BC 平面BCDE，所以AD⊥BC.
又BC⊥CD，CD∩AD＝D，所以BC⊥平面ACD.
又BC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD.
9.答案：45°
解析：过A作AO⊥BD于O点，
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.
10.答案：1
解析：由题意知EF⊥BC.∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF.
又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F.∴EF⊥C1F.
故∠C1FC为二面角C1 EF C的平面角，即∠C1FC＝45°.
∵CC1＝AA1＝1，∴CF＝1.又BC＝2，∴BF＝1.
11.答案：1
解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B AD C的平面角．
因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.
连接BC(图略)，则BC＝＝ ＝1.
12.证明：由四边形ABCD为正方形，可得CD⊥AD.
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，PD⊥AD.
又∵PD∩AD＝D，∴CD⊥平面AQPD.∴CD⊥PQ.
如图，取PD的中点E，连接QE.
∵PD∥QA，且QA＝PD，∴DE∥AQ，且DE＝AQ.∴四边形AQED是平行四边形．
∴QE∥AD.∴QE⊥PD.∴DQ＝QP.
设QA＝1，则在△DQP中，DQ＝QP＝，PD＝2.∴DQ2＋QP2＝PD2.∴∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.
又∵CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面DCQ.∵PQ 平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.
13.证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，
连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
∵AB＝AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又∵MN∩A′M＝M，MN 平面A′MN，A′M 平面A′MN，∴CD⊥平面A′MN.
∵A′N 平面A′MN，∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．
又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.
又∵A′N 平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.
14.解：作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角α EF β的平面角．
又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则
GB＝a，GH＝a，sin∠GBH＝＝.
所以∠GBH ＝ 45°，二面角α EF β的大小为45°.
15.解：(1)证明：连接AE.
因为PA⊥底面ABCD，所以∠PDA是PD与底面ABCD 所成的角，所以∠PDA＝45°.所以PA＝DA.
又因为点E是PD的中点，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，AB 底面ABCD，所以PA⊥AB.因为∠BAD＝90°，所以BA⊥AD.
又因为PA∩AD＝A，所以BA⊥平面PDA.
又因为PD 平面PDA，所以BA⊥PD.
因为BA∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
因为BE 平面ABE，所以BE⊥PD.
(2)连接AC.在直角梯形ABCD中，
因为AB＝BC＝1，AD＝2，所以AC＝CD＝.
因为AC2＋CD2＝AD2，所以AC⊥CD.
又因为PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，所以PA⊥CD.
因为AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC.
又因为PC 平面PAC，所以PC⊥CD.所以∠PCA为二面角P CD A的平面角．
在Rt△PCA中，PC＝＝＝. 所以cos∠PCA＝＝＝.
所以所求二面角P CD A的余弦值为.