人教版九年级数学下册第二十七章《相似》知识讲解及考前预测卷精讲（第一套）+课件（48张PPT）

(共48张PPT)
人教版九年级数学下册第二十七章
《相似》知识讲解及考前预测卷精讲
（第一套）
专题复习课件
知识讲解
01
第一部分：知识讲解
27．1图形的相似
概述
　　如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。（相似的符号：∽）
判定
　　如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
相似比
　　相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等。
性质
　　相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的周长比等于相似比。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
第一部分：知识讲解
27．2相似三角形
判定
　　1.两个三角形的两个角对应相等
　　2.两边对应成比例,且夹角相等
　　3.三边对应成比例
　　4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
性质
　　1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
　　2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方
第一部分：知识讲解
27．3位似
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
性质
　　位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
位似多边形的对应边平行或共线。
位似可以将一个图形放大或缩小。
位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
　　根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
第一部分：知识讲解
注意
　　1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
　　2、两个位似图形的位似中心只有一个；
　　3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
　　4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
第一部分：知识讲解
考前押题卷精讲
（全解析）
02
第二部分：学习检测
05
01
02
03
选择题
填空题
解答题
讲解流程
一.选择题
1．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，若∠1=40°，则∠2的度数 （ ）
A．100° B．140° C．80° D．40°
B
一.选择题
【解答】解：如图∵∠1=40°，∴∠3=140°
∵a∥b，
∴∠2=∠3=140°
故选：B.
【点评】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质与邻补角的性质.
【分析】根据平行线的性质及邻补角的性质即可解出.
一.选择题
2．如图，已知△ABC和△ABD都是 的内接三角形，AC和BD相交于点E，则△ADE与的相似的三角形是（ ）
A．△BCE B．△ABC C．△ABD D．△ABE
A
一.选择题
【解答】解：∠BCE= ∠BDA，∠CEB=∠DEA
∴△ADE∽△BCE
故选：A
【点评】考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．
【分析】根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB弧所对的圆周角∠BCE=∠BDA， ∠CEB和 ∠DEA是对顶角，所以△ADE∽△BCE．
一.选择题
3．如图，在四边形ABCD中，AB//BC，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（　 ）
A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD BC D．
D
一.选择题
【解答】解：A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA；
B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA；
C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD BC变形为 ，则△ABC∽△DCA；
D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当时 ，不能判断△ABC∽△DCA．
故选择：D．
【点评】本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键．
【分析】利用相似三角形的判定定理，在AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可．
一.选择题
4．等边三角形ABC 中，BD是角平分线，点E在BC边的延长线上，且CD=CE，则∠BDE的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．无法确定
C
一.选择题
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形底角相等的性质，本题中求出∠CED=30°是解题的关键．
【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB=60°，∠DBC=30°，根据CD=CE可得∠CDE=∠CED，根据∠CDE+∠CED=∠ACB即可求得∠CED=30°．进而可得到∠BDE的度数.
一.选择题
一.选择题
【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ACB=60°，∠DBC= ∠ABC= 30°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE+∠CED=∠ACB
∴∠CED=30°，
∴∠BDE=180°-∠DBC-∠CED
=180°-30°-30°
=120°
故选：C
一.选择题
5．如图,已知BC∥DE，则下列说法不正确的是( )
A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心
C．AE∶AD是相似比 D．点B与点E，点C与点D是对应位似点
C
一.选择题
【解答】解：A.∵BC∥DE，且BE与CD相交于点A，
∴两个三角形是位似图形，正确，不符合题意；
B.点A是两个三角形的位似中心，正确，不符合题意；
C. AE︰AB是相似比，故此选项错误，符合题意；
D. 点B与点E，点C与点D分别是对应点，正确，不符合题意.
故选：C.
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义与性质是解题的关键.
【分析】直接利用位似图形的性质与定义分别进行分析可得答案.
一.选择题
6．已知△ABC与△DEF相似，又∠A=40°， ∠B=60° ，那么不可能是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
D
一.选择题
【解答】解：∵△ABC中，∠A=40°， ∠B=60° ，
∴∠C=180°－∠A－∠B=80°
∵ △ABC与△DEF相似
∴∠D=∠A=40°或∠D=∠B=60°或∠D=∠C=80°
∴∠D不可能是100°
故选：D．
【点评】此题考查的是相似三角形的性质和三角形内角和定理，根据相似三角形的性质分类讨论是解题关键．
【分析】利用三角形的内角和定理即可求出∠C，然后根据相似三角形的性质和对应情况分类讨论即可得出∠D可能的度数，从而作出判断．
一.选择题
7．如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上. 若BF＝3，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C．1 D．6
B
一.选择题
【点评】解题的关键是熟练掌握正方形的四个角都是直角，相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.
【分析】先根据正方形的性质结合相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出DF的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
一.选择题
一.选择题
【解答】解：在△BEF与△CFD中
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3
∵∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CFD，
∵BF=3，BC=12，
∴CF=BC-BF=12-3=9，
解得
故选：B.
一.选择题
8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC= ，AC=3，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
C
一.选择题
【解答】解：∵∠DBC=∠A，∠DCB=∠ACB
∴△CBD∽△CAB
∴
∵BC= ，AC=3
∴求得：CD=2
故选：C．
【点评】本题考查相似，注意必须要得出2组对应角相等，才能说明两个三角形相似．
【分析】先推导出△CBD∽△CAB，然后根据边之间成比例的关系，可得出CD的长．
一.选择题
9．如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DBC＝30°，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若CD＝2，则BF的长为（　 ）
A． B． C． D．
C
一.选择题
【点评】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质、直角三角形30度角的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
【分析】连接DE，根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出BD，再求出AB，根据DE∥AB，得到 ，把已知数据代入计算，得到答案．
一.选择题
一.选择题
【解答】解：连接DE，
∵∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，CD＝2，
∴BC＝2CD＝4，
由勾股定理得，
∵E是BC的中点，
∴DE＝ BC＝BE＝2，
∴∠BDE＝∠CBD＝30°，
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BDE，
∴DE∥AB，
∴ ，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，
∴AD＝ BD＝ ，
∴AB＝ ＝3，
∴
即
解得，BF＝
故选：C．
②
一.选择题
10．如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽ △A1B1C1 ，则△ABC与△A1B1C1的相似比是
（ ）
A． B．2:1 C． D．
A
一.选择题
【解答】解：由图可知 ，A1C1=1，
∴△ABC与△A1B1C1的相似比是
故选：A.
【点评】本题考查了对相似三角形性质的理解，相似三角形边长的比等于相似比．解答此题的关键是找出相似三角形的对应边．
【分析】先利用勾股定理求出AC，那么AC：A′C′即是相似比．
一.选择题
11．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2=0的两根a、b满足a2﹣b2=0，双曲线 （x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），则S△OBC为（　 ）
A．3 B． C．6 D．3或
B
一.选择题
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等多个知识点，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活运用.
【分析】首先由一元二次方程根的判别式得出k的取值范围,然后由a2﹣b2=0得出a+b=0或a-b=0,再运用一元二次方程根与系数的关系求出k的值,由k的几何意义,可知S△OBA= .如果过D作DE⊥OA于E,则S△OCA= .易证△ODE∽△OBA,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,得出S△OBA,最后由S△OBC=S△OBA-S△OCA,得出结果.
一.选择题
一.选择题
【解答】解：∵x2+（2k-1）x+k2=0有两根，
∴△=（2k-1）2-4k2≥0，
即k≤ ．
由a2﹣b2=0得：（a-b）（a+b）=0．
当a+b=0时，-（2k-1）=0，解得k= ，不合题意，舍去；
当a-b=0时，a=b，△=（2k-1）2-4k2=0，
解得：k= 符合题意．
∵，
∴双曲线的解析式为： ．
过D作DE⊥OA于E，则S△ODE=S△OCA= ×1= ．
∵DE⊥OA，BA⊥OA，
∴DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，
∴ ，∴S△OBA=4× =2，
∴S△OBC=S△OBA-S△OCA=2- = ．
故选：B.
②
一.选择题
12．如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论中正确是（ ）
①S△ABE= S△OBF； ②四边形EBFD是菱形；
③四边形ABCD的面积为OC×OD; ④∠ABE=∠OBE．
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
A
一.选择题
【点评】本题考查了菱形的判定、性质以及菱形面积的求法，垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
【分析】①先证AE=OF，再根据三角形的面积公式可得到结论；②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确；③根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得；④根据已知无法求得∠ABE=∠OBE．据此判断即可得到答案．
一.选择题
一.选择题
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC, AC⊥BD
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴
∴AE=OF
∵
∴S△ABE=S△OBF，故①正确
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD
∴AC是BD的垂直平分线
∴BE=ED
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．
∴EF⊥OD，OE=OF．
∴BD是EF的垂直平分线
∴DE=DF，BE=BF．
∴DE=DF=BE=BF．
∴四边形BFDE是菱形．②正确
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2AO=2OC，BD=2OB=2OD
∴菱形ABCD的面积
= ，故③不正确；
由已知无法求得∠ABE=∠OBE，故④不正确
所以正确的结论有①②，
故选：A．
②
二.填空题
13．如图，在△ABC中DE∥BC，点D在AB边上，点E在AC边上，且AD：DB＝2：3，四边形DBCE的面积是10.5，则△ADE的面积是_____．
2
二.填空题
【解答】解：∵DE∥BC
∴
∵AD:DB=2:3
∴相似比=2：5
∴面积比为4：25
设△ADE的面积为4x，则△ABC的面积为25x，故四边形DBCE的面积为21x
∴21x=10.5，解得x=0.5
∴△ADE的面积为：4×0.5=2
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了相似三角形，熟练面积比等于相似比的平方以及准确的列出方程是解决本题的关键．
【分析】由AD：DB＝2：3，可以得到相似比为2：5，所以得到面积比为4：25，设△ADE的面积为4x，则△ABC的面积为25x，故四边形DBCE的面积为21x，根据题意四边形的面积为10.5，可以求出x，即可求出△ADE的面积．
二.填空题
14．正方形ABCD的边长为3，点E为射线AD上一点连接CE，设直线CE与BD交于点F，若AD＝2DE，则BF的长为____________．
二.填空题
【点评】本题主要考查相似形的判定与性质及正方形的性质，分类讨论是解题的关键．
【分析】分两种情况：如图1，当DE在AD的延长线上时，②如图2，当DE在线段AD上时，根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：①如图1，当DE在AD的延长线上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝3，
∴BD＝ AB＝3
∵AD＝2DE，
∴DE＝ BC，
∵DE∥BC，
∴△FED∽△FCB，
∴
∴BF＝2DF＝2BD＝ ；
②如图2，当DE在线段AD上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝3，
∴BD＝ AB＝3 ，
∵AD＝2DE，
∴DE＝ BC，
∵DE∥BC，
∴△FED∽△FCB，
二.填空题
二.填空题
∴
∴BF＝2DF＝ BD＝2 ，
综上所述，BF的长为
故答案为： ．
②
③
二.填空题
15．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，添加一条件能使△ABC∽△ADE的是__________________________________．
∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C或
二.填空题
【解答】解：∵∠A＝∠A，
∴添加∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C或 ，
∴△ABC∽△ADE，
故答案为：∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C或 ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可．
二.填空题
16．如图，正方形纸片ABCD的边长为4，E是边CD的中点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，则BE的长为_______．
二.填空题
【点评】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
【分析】先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据△ABM~△ADE，求出AM 的长，从而得出AG继而得出GE的长．
二.填空题
二.填空题
【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAD=∠D =90°，
∴∠BAM+∠FAM=90°，
又∵E是边CD的中点，
∴DE=2，
在Rt△ADE中，AE=
∵由折叠的性质可得△ABF △GBF，
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG
∴BF垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠FAM
∴△ABM~△ADE，
∴
∴
∴AM=

∴AG=
∴GE=AE-AG= ．
②
二.填空题
17．若 ，则 =_______．
-11
二.填空题
【解答】解：∵
∴
故答案为：-11
【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是能够用一个未知数表示另一个未知数，难度不大．
【分析】根据 得到 ，代入 后即可求解．
二.填空题
18．如图所示，△ABC是由△ABC通过平移得到的，且点B,E,C,F在同一条直线上，若BF=14，EC=8，则从△ABC到△DEF的平移距离为______．
3
二.填空题
【解答】解：由图可知平移的距离为BE或CF，
故BE=CF= =3
故答案为：3．
【点评】此题主要考查平移的性质，解题的关键是熟知平移的特点．
【分析】根据平移的性质得到BE=CF，故可求出平移的距离．
二.填空题
19．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点，则AO的长为_______．
二.填空题
【解答】解：如图所示，∵∠CEB=∠DBF=90°，∠CFE=∠DFB，CE=DB=1，
∴△CEF≌△DBF，
∴BF=EF= BE= ，
∵BF∥AD，
∴△BOF∽△AOD，
∴
∴
∵
∴
故答案为：
【点评】本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.
【分析】如图所示，由网格的特点易得△CEF≌△DBF，从而可得BF的长，易证△BOF∽△AOD，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB的长，进而可得答案.
二.填空题
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B'C′关于点P位似且顶点都在格点上，则位似中心P的坐标是_________．
(4，5)
二.填空题
【解答】解：如图所示：连接AA′，BB′，两者相交于点P，
∴位似中心P的坐标是（4，5）．
故答案为：（4，5）．
【点评】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
二.填空题
21．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：4，点E是对角线BD上一动点（不与点B，D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A，B的对应点G，F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN：BN的值为__________．
二.填空题
【点评】本题考查图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是掌握相似三角形判定与性质，特别注意要分类讨论．
【分析】分两种情况进行讨论：当∠DFE＝90°时，△DEF为直角三角形；当∠EDF＝90°时，△DEF为直角三角形，分别判定△DCF∽△BCD，得到 ，进而得出CF，根据线段的和差关系可得CN和BN的长，于是得到结论．
【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
设AB＝3x，BC＝4x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3x，AD＝BC＝4x，
分两种情况：
①如图所示，当∠DFE＝90°时，△DEF为直角三角形，
∵∠CDF+∠CFD＝∠EFN+∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝∠EFN，
由折叠可得，EF＝EB，BN＝FN，
∴∠EFN＝∠EBN，
∴∠CDF＝∠CBD，
又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，
∴△DCF∽△BCD，
∴
∴CF＝ ，
∴FN＝NB＝
∴CN＝CF+NF＝ ，
∴CN：BN＝ ＝25：7．
②如图所示，当∠EDF＝90°时，△DEF为直角三角形，
∵∠CDF+∠CDB＝∠CDF+∠CBD＝90°，
二.填空题
二.填空题
②
③
二.填空题
二.填空题
∴∠CDF＝∠CBD，
又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，
∴△DCF∽△BCD，
∴
∴CF＝
∴NF＝BN＝
∴CN＝NF﹣CF＝
∴CN：BN＝7：25，
综上所述，CN：BN的值为 ．
故答案为： ．
22．已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
（3）①点B1的坐标为__________；②求△A2B2C2的面积．
三.解答题
三.解答题
【点评】本题主要考查作图-位似变换、轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换和轴对称变换的概念与性质，并据此得出变换后的对应点．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）根据位似变换的概念作出三个顶点在第一象限的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（3）①由图像直接写出的坐标，②由所作图形和割补法求解可得．
(-5，4)
三.解答题
三.解答题
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
（3）①由图知点B1的坐标为（﹣5，4）；
②△A2B2C2的面积为8×6﹣ ×2×6﹣ ×6×4﹣ ×2×8＝22．
故答案为：（﹣5，4）．
三.解答题
23．如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC =" EB" .
（1）求证：△CEB∽△CBD ；
（2）若CE = 3，CB="5" ，求DE的长.
三.解答题
【解答】解：（1）证明：∵弦CD垂直于直径AB，
∴BC=BD．
∴∠C=∠D．
又∵EC=EB，
∴∠C=∠CBE．
∴∠D=∠CBE．
又∵∠C=∠C，
∴△CEB∽△CBD．
（2）解：∵△CEB∽△CBD，
∴
∴
∴DE=CD-CE=
【点评】考查了相似三角形的判定和性质，难易程度适中．
【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定其相似；
（2）根据相似三角形的对应边成比例先求出CD的长，已知CE的长，那么DE的长就容易求得了．
三.解答题
24．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是AB上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F．⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G，且AB与⊙O相切，则AE的长为______．
1
三.解答题
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
【分析】设AB与⊙O相切于M，连接OM并反向延长交CD于N，则MN⊥AB，连接GF，根据垂径定理得到CN＝DN，根据相似三角形的性质得到 ，如图，连接CG，根据相似三角形的性质得到 ，推出AG＝EA，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：设AB与⊙O相切于M，连接OM并反向延长交CD于N，
则MN⊥AB，连接GF，
在正方形ABCD中，∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴CN＝DN，
∵∠ADC＝90°，
∴∠CDF+∠ADF＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF＝180°，
∴∠FGA＝∠FCD，
∴△AFG∽△DFC，
∴
如图，连接CG．
∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，
∴
∴
在正方形ABCD中，DA＝DC，
∴AG＝EA，
∴DG＝4﹣AE，
∵ON＝ DG＝2﹣ AE，
三.解答题
三.解答题
∴CG＝2OM＝2（4﹣ON）＝4+AE，
∵DG2+CD2＝CG2，
∴（4﹣AE）2+42＝（4+AE）2，
∴AE＝1．
故答案为：1．
②
③
三.解答题
25．如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AD、BC、BE、CE的中点
（1）求证：△ABE≌△DCE
（2）四边形EGFH是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（3）连接EF,当四边形EGFH是正方形时，线段EF与GH有什么数量关系？请说明理由.
三.解答题
【点评】1.等腰梯形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的判定；4.正方形的性质．
【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得出∠A=∠D，结合题意AB=CD，点E是AD的中点，利用SAS即可判断全等．
（2）根据中位线定理可得出GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，从而可判断出四边形EGFH的形状．
（3）连接EF，则根据等腰直角三角形斜边中线的性质可判断出EF与BC的关系．
三.解答题
三.解答题
【解答】解：（1）证明：由题意可得ABCD是等腰梯形，
∴∠A=∠D，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE．
（2）四边形EGFH是菱形．
证明：∵GF、FH是△EBC的中位线，且由（1）得EB=EC，
∴GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，
∴四边形EGFH是菱形．
（3）EF⊥BC，且EF= BC．
证明：连接EF，
∵EFGH是正方形，
∴∠GEH=90°，即△BEC是等腰直角三角形
∴EF⊥BC，且EF= BC．
②
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