2021-2022学年北师大数学八年级下册1.1等腰三角形A 课后训练(word版含答案)

北师大数学八年级下册第一章 三角形的证明 1.1等腰三角形 课后训练A（含答案）
姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M、N两点，将一个含有45°的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=80°，则∠PNM的度数是（ ）
A．30° B．45° C．20° D．35°
2．若等腰三角形的两边长分别是2和10，则它的周长是（ ）
A．14 B．22 C．14或22 D．12
3．在等腰中，．则的度数不可能为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
4．如图，在中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，则BC＝（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
5．如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，其中BC=BD=DA且∠ECF=27°，则∠ADF的度数为（　　）
A．54° B．91° C．81° D．101°
6．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点D的对应点为点与交于点E，若长方形的周长为16，则的周长为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．4
7．如图，AD，BE分别为△ABC的高线和角平分线，AF⊥BE于点F．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
8．以下命题中假命题的个数是（ ）
①对顶角相等；
②一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
④周长相等的两个等边三角形全等．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知等腰三角形两边长分别为6和2，则这个三角形的周长是（ ）
A．14 B．10 C．14或10 D．12
10．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若GM=GN，则∠FED的大小是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
11．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
12．如图，在中，，，，则的度数为（ ）．
A．45° B．50° C．55° D．60°
13．如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF//AB，AE＝2，下列结论错误的是（ ）
A．∠ADE＝30° B．BD＝4
C．△EFC的周长为18 D．△ABC的周长为21
14．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，过点A作AE⊥BD，垂足为E，AE、BC的延长线相交于点F，则下列结论：①AE＝FE；②DF＋CF＝BC；③CD＝CF；④BD＝2AE．正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
15．一个等腰三角形的腰长是5cm，一个外角是120°，则它的底边长是______cm．
16．已知：如图∠B=40°，AD=BD=AC，则∠DAC的度数为________°．
17．等腰△ABC的底边是3，腰是6，求△ABC的周长 ________
18．如图，在中，为边上的一点，点E在边上，，若，则_________（度）．
19．如图，在△ABC中，，，BD是∠ABC的平分线．若，则______．
20．已知：如图，点P是等边内的一点，连接PA、PB、PC，以PB为边作等边，连接CD，若，，，的面积为______．
21．如图，，为的边上两点，，，，则的度数为______．
22．如图，在△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点E是线段AD上一 点， AF⊥BE垂足记为F，当∠BED=60°，∠AEC=90°时，AE=________．
三、解答题
23．在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
(1)若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
(2)若BC＝15，CD＝12，求AC的长．
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED．
(1)求证：BD=CD．
(2)若∠A=150°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数．
25．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AB上，且AC=AE．
(1)求证： ACD≌ AED；
(2)求证：AB=AC＋CD．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的一点，以AB为斜边作等腰直角三角形，直角顶点C（a，b）在第二象限．
(1)探究a、b之间的数量关系并证明．
(2)若BO平分∠ABC，AC与OB交于点D，且A（2，0），B（0，2+2），求点D的坐标．
27．如图，在中，，，点在上，在上，当时．
(1)求证：；
(2)探究与有怎样的数量关系？并证明你的结论．
(3)当时，求的面积．
28．如图，点O是等边内一点，，．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
(1)①求证：；
②当时，试判断的形状，并说明理由；
(2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？
参考答案：
1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．B 12．D
13．D 14．D
15．5
16．20
17．
18．34
19．
20．12
21．110°
22．2
23．(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°．
∴∠DCB＝90°－∠B＝20°；
(2)在Rt△BCD中，BD＝＝＝9，
设AC＝AB＝x，则AD＝x－9，
∵在Rt△ACD中，＝，
∴＝，
解得x＝＝12.5，
∴AC＝12.5．
24．(1)证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．(1)解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS）；
(2)解：∵BC=AC，∠C=90°，
∴∠B=∠CAB=45°，
由（1）知△ACD≌△AED，
∴∠AED=∠C=90°，
∴∠EDB=∠B=45°
∴BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
26．解： a、b之间的数量关系为：a＝﹣b．理由如下：
过点C作CE⊥OA，CF⊥OB分别交x轴，y轴于点E、F两点，如图1所示：
∵∠CBF+∠OBA+∠BAC＝90°，∠OBA+∠BAC+∠CAE＝90°，
∴∠CBF＝∠CAE，
又∵CE⊥OA，CF⊥OB，
∴∠CEA＝∠CFB＝90°，
在△ACE和△BCF中，
∴△ACE≌△BCF（ASA），
∴CE＝CF，
又∵点C在第二象限，CE＝b，CF＝﹣a，
∴a＝﹣b；
(2)解：作BC的延长线交x轴于点G，设点D的坐标为（0，m），如图2所示：
∵BO平分∠ABC，
∴∠GBO＝∠ABO，
在△GBO和△ABO中，
，
∴△GBO≌△ABO（ASA），
∴AO＝GO，
又∵AO＝2，
∴GO＝2，
∴AG＝4，
在△ACG和△BCD中，
，
∴△ACG≌△BCD（ASA），
∴AG＝BD，
又∵BD+OD＝OB，OB＝2+2，
∴OD＝m＝2+2﹣4＝2﹣2，
∴点D的坐标为（0，2﹣2）．
27．(1)证明：，
，
是等腰直角三角形，
(2)如图，过点作交于点，连接，则，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形
，
即
(3)如图，过点作于点
是等腰直角三角形
设，
，
解得
，
28．(1)①证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，
BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
②解：△ADO是直角三角形．
理由如下：∵△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
(2)解：由题意可得：∠COB＝∠CDA＝α，∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∠OAD＝50°，
当OA＝AD时，
∵AO＝AD，CO＝CD，
∴AC垂直平分OD，
∵AO＝AD，
∴∠OAC＝∠OAD＝25°，
∴∠1＝35°；
当AO＝OD时，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴α﹣60°＝50°，
∴α＝110°，
∴∠AOD＝80°，
∴∠AOC＝140°，
∵AO＝OD＝OC，
∴∠OAC＝20°＝∠ACO，
∴∠1＝40°，
当OD＝AD时，
∵OD＝AD，
∴∠OAD＝∠AOD，
∴190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
∴∠ADC＝140°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝DCA＝20°，
∴∠OAC＝30°，
∴∠1＝30°，
综上所述，∠1为35°或40°或30°．
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