2021-2022学年北师大数学八年级下册1.1等腰三角形B 课后训练(word版含答案)

北师大数学八年级下册第一章 三角形的证明 1.1等腰三角形 拓展提升（含答案）
姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．等腰三角形的顶角为80°，则其底角的度数是（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于该三角形任意一个内角
B．如果点P（x，y）的坐标满足xy＜0，那么点P一定在第二象限
C．如果两个直角三角形，有两组边分别相等，则这两个直角三角形全等
D．如果一个等腰三角形的一个内角为60°，那么这个三角形是等边三角形
3．在中，，于点D，若，，则的周长为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
4．如图，已知为边的中点，在上，将沿着折叠，使点落在上的处．若，则等于（ ）
A．65 B． C． D．
5．等腰三角形的顶角是，则这个三角形的一个底角的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，AB=AC，，点D是BC边上任意一点，过点D作DFAB交AC于点E，则∠FEA的度数是（ ）
A．60° B．50° C．35° D．30°
7．等腰三角形两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长为（ ）
A．4 B．9 C．4或9 D．大于5且小于13
8．如图所示，∠AOB是一个钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF、FG、GH…添加钢管的长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管的根数为（ ）
A．15 B．9 C．8 D．7
9．如图，在纸片△ABC中，AC=6，∠A=30 ，∠C=90 ，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．无法确定
10．如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α＋ D．3α﹣β
11．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，若∠A＝50°，则∠An﹣1AnBn﹣1的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图1，在中，，于点．动点M从A点出发，沿折线方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
13．等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的一个底角的度数为_____．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC=4，则BD=_____．
15．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为 ___．
16．如图所示，已知等边三角形的边长为，是边上的中线，为延长线上一点，且，则________．
17．如图，在中，D为AB中点，连接CD，将沿直线CD翻折至所在平面内得，连接，与CD交于点E．若，，则点C到的距离为______．
18．如图，在四边形ABCD中，E为边AD上一点，，且，，，，则AB的长度为______．
19．如图，，，，若，则______·
20．如图，D为△ABC边AC上一点，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BA的延长线于点E，连接ED．若∠B＝60°，∠C＝70°，则∠ADE的度数为 _______．
三、解答题
21．如图，是等边三角形，是中线，延长至，使．求证：．
22．已知：如图1，△ABC中，AB=AC，P是BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，过点C做直线AB的垂线，垂足是F．
(1)若∠BAC=120°，求证：PD+PE=CF；
(2)若∠BAC=100°，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
(3)如图2，△ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，已知△ABC的面积为15，AB=6，则PD+PE＝_____．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且BP＝CD，∠APD＝∠B．
(1)求证：AB＝CP；
(2)若∠BAC＝120°，则∠ADP＝　　°．
24．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC交于点D．
(1)求证：AB＝FE；
(2)若ED⊥AC，AB//CE，AB＝4，求DF的长．
25．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝18，BC＝36.点P从B点出发沿射线BC方向以每秒4个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．
(1)当t＝3秒时，BP＝　 　；AP＝　 　；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)当AP恰好平分∠BAC时，求t的值．
26．已知：如图，A1，A2，A3是∠MON的ON边上顺次三个不同的点，B1，B2，B3是∠MON的OM边上顺次三个不同的点，且有OA1＝A1B1＝B1A2＝A2B2＝B2A3
(1)当∠MB1A2＝45°时，∠MON ＝_______；
(2)若OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3 ，则∠MON的最小值是_______．
27．如图，，，，且、、三点在一条直线上，若．
(1)与是否全等，请说明理由．
(2)是否是等边三角形，如果是．请说明理由．
(3)是否成立，如果成立请说明理由．
参考答案：
1．C 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．C 10．B 11．B 12．B
13．或
14．2
15．5
16．
17．3﹣
18．4
19．75°
20．
21．解：∵是等边三角形，
∴，．
∵是中线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
22．(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-120°）=30°，
在中，
∵∠ABC=30°，
∴PD=BP，
同理可证PE=CP，CF=BC，
∴PD+PE=BP+CP=(BP+CP)=BC=CF，
即PD+PF=CF；
(2)解：PD+PF=CF仍然成立，理由如下：
如图，连接AP，
∵S△ABP=AB·PD，S△ACP=AC·PE，
∴S△ABC=S△ABP＋S△ACP＝AB·PD＋AC·PE，
∵AB=AC，
∴S△ABC=AB（PD+PE) ，
又∵S△ABC＝AB·CF，
∴PD+PE＝CF；
(3)如图，连接AP ，
∵S△ABC=S△ABP＋S△ACP，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴，
∵AB=AC，△ABC的面积为15，AB=6，
∴，
∴．
23．(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD，且∠APD＝∠B，
∴∠CPD＝∠BAP，
在△ABP和△PCD中，
，
∴△ABP≌△PCD（AAS），
∴AB＝CP；
(2)解：∵∠BAC＝120°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB＝AC，AB＝PC，
∴PC＝AC，
∴∠CAP＝∠APC＝＝75°，
由（1）知：△ABP≌△PCD，
∴AP＝PD，
∴∠ADP＝∠CAP＝75°．
24．(1)证明：∵CB为∠ACE的平分线，
∴∠ACB＝∠BCE．
在△ACB和△FCE中
,
∴△ACB≌△FCE．
∴AB＝FE．
(2)∵AB∥CE，
∴∠B＝∠BCE．
∵∠B＝∠E，∠ACB＝∠BCE，
∴∠E＝∠BCE＝∠ACB．
∴EF＝FC．
∵AB＝FE，AB＝4，
∴FC＝4．
∵ED⊥AC，
∴∠EDC＝90°．
∴∠E＋∠BCE＋∠ACB＝90°．
∴∠E＝∠BCE＝∠ACB＝30°．
∴DF＝CF＝2．
25．(1)解：由题意得：BP＝4t，
∴当t＝3秒时，BP＝4×3＝12，
∵BC＝36，
∴PC＝BC﹣BP＝36﹣12＝24，
由勾股定理得：AP＝＝＝30，
故答案为：12；30；
(2)在Rt△ABC中，AC＝18，BC＝36，
∴AB＝＝＝18，
当BP＝AB＝18时，t＝18÷4＝；
当AP＝AB时，BP＝2BC＝72，则t＝72÷4＝18；
当PA＝PB＝4t时，
在Rt△APC中，AP2＝PC2＋AC2，即（4t）2＝（36﹣4t）2＋182，
解得：t＝，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝或18或；
(3)如图，过点P作PF⊥AB于F，
∵AP平分∠BAC，PF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴PC＝PF＝36﹣4t，
在Rt△APF和Rt△APC中，
，
∴Rt△APF≌Rt△APC（HL），
∴AF＝AC＝18，
∴BF＝18﹣18，
在Rt△BPF中，BP2＝PF2＋BF2，即（4t）2＝（18﹣18）2＋（36﹣4t）2，
解得：t＝，即AP恰好平分∠BAC时，t＝．
26．(1)解：∵OA1＝A1B1＝B1A2＝A2B2＝B2A3
∴，，
∵，，
∴，
∴∠MON=15°；
故答案为：15°；
(2)解：∵OM边上不存在B3点，使得A3B3＝B2A3 ，
∴OM边上不存在B3点，使得，
∴ ，
同理可求出 ，
∴，
∴，
∴，
27．(1)解：与全等；
理由如下：
∵，
∴，即，
在与中，
，
∴；
(2)解：∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形；
(3)解：成立，
理由如下：
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即．
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