第3章 变量之间的关系 单元测试卷（七）

第3章《三角形》单元测试
一、填空题（共10小题）
1．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是　_________　 cm．
　
2．若∠A=∠B=2∠C，则△ABC是　_________　三角形．（填“钝角”、“锐角”或“直角”）
　
3．如图，△ABC≌△DEF，△ABC的周长为25cm，AB=6cm，CA=8cm，则DE=　_________　，DF=　_________　，EF=　_________　．
　
4．如图，AB=AD，BC=DC，要证∠B=∠D，则需要连接　_________　，从而可证　_________　和　_________　全等．
　
5．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，且∠B=50°，∠C=70°，则∠EAD=　_________　．
　
6．如图，CA⊥BE，且△ABC≌△ADE，则BC与DE的关系是　_________　．
　
7．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是　_________　．
　
8．如图，BA∥CD，∠A=90°，AB=CE，BC=ED，则△CED≌　_________　，根据是　_________　．
　
9．如图，△ABC中，AB=AC，BC=8，BD是AC边上的中线，△ABD与△BDC的周长的差是2，则AB=　_________　．
　
10．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5=　_________　．
　
二、选择题（共8小题）
11．在下列四组线段中，能组成三角形的是（　　）
　 A． 2，2，5 B． 3，7，10 C． 3，5，9 D． 4，5，7
　
12．（2011 宿迁）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
　 A． AB=AC B． BD=CD C． ∠B=∠C D． ∠BDA=∠CDA
　
13．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（　　）
　 A． 图中有三个直角三角形 B． ∠1=∠2
　 C． ∠1和∠B都是∠A的余角 D． ∠2=∠A
　
14．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，分别交BC，AB，BC于点C，D，E，则下列说法中不正确的是（　　）
　 A． AC是△ABC和△ABE的高 B． DE，DC都是△BCD的高
　 C． DE是△DBE和△ABE的高 D． AD，CD都是△ACD的高
　
15．角α和β互补，α＞β，则β的余角为（　　）来源：http://www./tiku/
　 A． α﹣β B． 180°﹣α﹣β C． D．
　
16．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
　 A． AB=3，BC=4，AC=8 B． AB=4，BC=3，∠A=30°
　 C． ∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D． ∠C=90°，AB=6
　
17．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
　 A． AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
　 B． ∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
　 C． AB=DE，BC=EF，△ABC的周长=△DEF的周长
　 D． ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
　
18．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（　　）
　 A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个
　
三、解答题（共7小题）
19．如图，在小河的同侧有A，B，C，D四个村庄，图中线段表示道路．邮递员从A村送信到B村，总是走经过C村的道路，不走经过D村的道路，这是为什么呢？请你用所学的数学知识说明其中的道理．
　
20．如图，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点E，由这些条件你能推出哪些结论？（不再添加辅助线，不再标注其它字母．不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可） 来源：http://www./tiku/
　
21．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放正，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，请说明它的道理．
　
22．如图，A、B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC=CD，过D点作DE⊥BF，使E、C、A在一条直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请说明理由．
　
23．如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE=CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．
　
24．如图，△ABC中，AB=BC=CA，∠A=∠ABC=∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．
（1）证明△ACD≌△CBE； 来源：http://www./tiku/
（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
　
25．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．
求证：△ABC≌△A1B1C1．
（请你将下列证明过程补充完整．）
证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，
B1D1⊥C1A1于D1．
则∠BDC=∠B1D1C1=90°，
∵BC=B1C1，∠C=∠C1，
∴△BCD≌△B1C1D1，
∴BD=B1D1．
（2）归纳与叙述：
由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
　
参考答案与试题解析
一、填空题（共10小题）
1．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是　17　 cm．
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题： 分类讨论．
分析： 等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
解答： 解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长=3+7+7=17cm．故答案为：17．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
　
2．若∠A=∠B=2∠C，则△ABC是　锐角　三角形．（填“钝角”、“锐角”或“直角”）
考点： 三角形内角和定理．
专题： 计算题．
分析： 根据三角形的内角和为180°和已知条件设未知数，列方程求解，再判断形状．
解答： 解：设三角分别是∠A=a°，∵∠A=2∠B=3∠C，∴∠B=a°，∠B=a°，则a+a+a=180°，解a≈98°．所以三角形是钝角三角形．故答案为钝角．
点评： 此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．正确的设出一个角并表示出其他角是解决此题的关键．
　
3．如图，△ABC≌△DEF，△ABC的周长为25cm，AB=6cm，CA=8cm，则DE=　6cm　，DF=　8cm　，EF=　11cm　．
考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据△ABC的周长求出BC，然后根据全等三角形对应边相等解答即可．
解答： 解：∵△ABC的周长为25cm，AB=6cm，CA=8cm，∴BC=25﹣6﹣8=11cm，∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=6cm，DF=AC=8cm，EF=BC=11cm．故答案为：6cm；8cm；11cm．
点评： 本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并准确找出对应边是解题的关键．
　
4．如图，AB=AD，BC=DC，要证∠B=∠D，则需要连接　AC　，从而可证　△ABC　和　△ADC　全等．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 连接AC，根据AB=AD，BC=DC，AC=AC即可证明△ABC≌△ADC，于是得到∠B=∠D．
解答： 解：连接AC，在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠B=∠D．故答案为AC，△ABC，△ADC．
点评： 本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握其判定定理，此题基础题，比较简单．
　
5．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，且∠B=50°，∠C=70°，则∠EAD=　10°　．
考点： 三角形内角和定理．
分析： 根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后根据∠EAD=∠BAE﹣∠BAD代入数据进行计算即可得解．
解答： 解：∵∠B=50°，∠C=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣70°=60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，∵AE是△ABC的高线，∴∠BAE=90°﹣∠B=90°﹣50°=40°，∴∠EAD=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣30°=10°．故答案为：10°．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键．
　
6．如图，CA⊥BE，且△ABC≌△ADE，则BC与DE的关系是　相等且垂直　．
考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据全等三角形对应边相等可得BC=DE，全等三角形对应角相等可得∠C=∠E，根据垂直的定义求出∠BAC=90°，然后求出∠B+∠E=90°，从而得到∠BFE=90°，即BC⊥DE．
解答： 解：∵△ABC≌△ADE，∴BC=DE，∠C=∠E，∵CA⊥BE，∴∠BAC=90°，∵∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣90°=90°，∴∠B+∠E=90°，∴∠BFE=180°﹣（∠B+∠E）=180°﹣90°=90°，∴BC⊥DE，故BC与DE的关系是相等且垂直．故答案为：相等且垂直．
点评： 本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等，垂直的定义，熟记性质是解题的关键．
　
7．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是　16　．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： 由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB=S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积．
解答： 解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，∴∠ABE=∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，∴△AEB≌△AFD，∴S△AEB=S△AFD，∴它们都加上四边形ABCF的面积，可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16．故答案为：16．
点评： 本题需注意：在旋转过程中一定会出现全等三角形，应根据所给条件找到．
　
8．如图，BA∥CD，∠A=90°，AB=CE，BC=ED，则△CED≌　△ABC　，根据是　HL　．
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据两直线平行，同旁内角互补求出∠DCE=90°，然后利用“HL”证明△CED和△ABC全等．
解答： 解：∵BA∥CD，∠A=90°，∴∠DCE=180°﹣∠A=180°﹣90°=90°，∵在Rt△CED和Rt△ABC中，，∴△CED≌△ABC（HL）．故答案为：△ABC，HL．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，求出∠DCE=90°是解题的关键．
　
9．如图，△ABC中，AB=AC，BC=8，BD是AC边上的中线，△ABD与△BDC的周长的差是2，则AB=　10　．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 根据三角形中线的定义可得AD=CD，然后求出△ABD与△BDC的周长的差=AB﹣BC，再代入数据进行计算即可得解．
解答： 解：∵BD是AC边上的中线，∴AD=CD，∴△ABD与△BDC的周长的差=（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD）=AB﹣BC，∵△ABD与△BDC的周长的差是2，BC=8，∴AB﹣8=2，∴AB=10．故答案为：10．
点评： 本题考查了等腰三角形腰上的中线的定义，求出△ABD与△BDC的周长的差=AB﹣BC是解题的关键，也是本题的难点．
　
10．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5=　195　．
考点： 三角形的面积．
专题： 压轴题；操作型．
分析： 根据高的比等于面积比推理出△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，则△A1B1B的面积是△A1BC面积的3倍…，以此类推，得出△A2B2C2的面积．
解答： 解：连接A1C，根据A1B=2AB，得到：AB：A1A=1：3，因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3，因而面积的比是1：3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a，同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a，则△A1B1B的面积是6a，同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a，△A1B1C1的面积是19a，即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍，同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍，即△A1B1C1的面积是19，△A2B2C2的面积192，依此类推，△A5B5C5的面积是S5=195=2476099．
点评： 正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关键，本题的难度较大．
　
二、选择题（共8小题）
11．在下列四组线段中，能组成三角形的是（　　）
　 A． 2，2，5 B． 3，7，10 C． 3，5，9 D． 4，5，7
考点： 三角形三边关系．
分析： 根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、∵2+2=4＜5，∴2，2，5不能组成三角形，故本选项错误；B、∵3+7=10，∴3，7，10不能组成三角形，故本选项错误；C、∵3+5=8＜9，∴3，5，9不能组成三角形，故本选项错误；D、4，5，7能组成三角形，故本选项正确．故选D．
点评： 本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．
　
12．（2011 宿迁）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
　 A． AB=AC B． BD=CD C． ∠B=∠C D． ∠BDA=∠CDA
考点： 全等三角形的判定．
专题： 压轴题．
分析： 利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
解答： 解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故本选项正确，不合题意．B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故本选项错误，符合题意．C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故本选项正确，不合题意．D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故本选项正确，不合题意．故选B．
点评： 此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
　
13．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（　　）
　 A． 图中有三个直角三角形 B． ∠1=∠2
　 C． ∠1和∠B都是∠A的余角 D． ∠2=∠A
考点： 直角三角形的性质．
专题： 证明题．
分析： 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，就可以证明各个选项．
解答： 解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．A、∴图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；B、应为∠1=∠B、∠2=∠A；故本选项错误；C、∴∠1=∠B、∠2=∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；D、∴∠2=∠A；故本选项正确．故选B．
点评： 本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高，把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似．
　
14．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，分别交BC，AB，BC于点C，D，E，则下列说法中不正确的是（　　）
　 A． AC是△ABC和△ABE的高 B． DE，DC都是△BCD的高
　 C． DE是△DBE和△ABE的高 D． AD，CD都是△ACD的高
考点： 三角形的角平分线、中线和高．
分析： 三角形的高即从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
解答： 解：A、AC是△ABC和△ABE的高，正确；B、DE，DC都是△BCD的高，正确；C、DE不是△ABE的高，错误；D、AD，CD都是△ACD的高，正确．故选C．
点评： 考查了三角形的高的概念．
　
15．角α和β互补，α＞β，则β的余角为（　　）
　 A． α﹣β B． 180°﹣α﹣β C． D．
考点： 余角和补角．
分析： 根据互为补角的两个角的和等于180°表示出α+β，再根据互为余角的两个角的和等于90°列式整理即可得解．
解答： 解：∵角α和β互补，∴α+β=180°，∴β的余角为：90°﹣β=（α+β）﹣β=（α﹣β）．故选C．
点评： 本题考查了余角和补角，利用90°和180°的倍数关系消掉常数是解题的关键．
　
16．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
　 A． AB=3，BC=4，AC=8 B． AB=4，BC=3，∠A=30°
　 C． ∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D． ∠C=90°，AB=6
考点： 全等三角形的判定．
专题： 作图题；压轴题．
分析： 要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．
解答： 解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．故选C．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一．
　
17．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
　 A． AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
　 B． ∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
　 C． AB=DE，BC=EF，△ABC的周长=△DEF的周长
　 D． ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定（三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS））可得当AB=DE，BC=EF，AC=DF可判定△ABC≌△DEF，做题时要对选项逐个验证．
解答： 解：A、满足SSA，不能判定全等；B、AC=EF不是对应边，不能判定全等；C、符合SSS，能判定全等；D、满足AAA，不能判定全等．故选C．
点评： 本题考查了全等三角形的判定方法，在应用判定方法做题时找准对应关系，对选项逐一验证，而AAA，SSA不能作为全等的判定方法．
　
18．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（　　）
　 A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析： 根据等边三角形性质得出AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，求出∠ACE=∠BCD，根据SAS证△ACE≌△BCD，推出∠NDC=∠CAM，求出∠DCE=∠ACD，证△ACM≌△DCN，推出CM=CN，AM=DN，即可判断各个结论．
解答： 解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△BCD（SAS）；∴①正确；∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=180°﹣60°﹣60°=60°=∠ACD，∵△ACE≌△BCD，∴∠NDC=∠CAM，在△ACM和△DCN中∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，AM=DN，∴②正确；∵△ADC是等边三角形，∴AC=AD，∠ADC=∠ACD，∵∠AMC＞∠ADC，∴∠AMC＞∠ACD，∴AC＞AM，即AC＞DN，∴③错误；故选B．
点评： 本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
　
三、解答题（共7小题）
19．如图，在小河的同侧有A，B，C，D四个村庄，图中线段表示道路．邮递员从A村送信到B村，总是走经过C村的道路，不走经过D村的道路，这是为什么呢？请你用所学的数学知识说明其中的道理．
考点： 三角形三边关系．
分析： 延长AC交BD于E，根据三角形的任意两边之和大于第三边可得AD+DE＞AC+CE，CE+BE＞BC，然后整理得到AD+BD＞AC+BC，从而得解．
解答： 解：如图，延长AC交BD于E，在△ADE中，AD+DE＞AC+CE，在△CBE中，CE+BE＞BC，∴AD+DE+CE+BE＞AC+CE+BC，∴AD+BD＞AC+BC，因此，邮递员由A村到B村送信，经过C村路程近些，所以，他总是走经过C村的道路，不走经过D村的道路．
点评： 本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．
　
20．如图，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点E，由这些条件你能推出哪些结论？（不再添加辅助线，不再标注其它字母．不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可）
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 开放型．
分析： 由AB=AD，BC=DC知，AC是BD的中垂线，∴DE⊥AC，可由SSS证得△ABC≌△ADC及AC平分∠BAD等．
解答： 解：由已知得，AC垂直平分BD，即直线AC为四边形ABCD的对称轴，由对称性可知：DE=BE，DE⊥AC于E，△ABC≌△ADC，AC平分∠BAD等．
点评： 本题考查了三角形全等的判定和性质．做题时要从已知开始思考，结合全等的判定方法进行取舍．
　
21．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放正，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，请说明它的道理．
考点： 全等三角形的应用．
专题： 证明题．
分析： AC为公共边，其中AB=AD，BC=DC，利用SSS判断两个三角形全等，根据全等三角形的性质解题．
解答： 证明：△ABC与△ADC中，∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．即AE平分∠BAD．不论∠DAB是大还是小，始终有AE平分∠BAD．
点评： 本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．
　
22．如图，A、B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC=CD，过D点作DE⊥BF，使E、C、A在一条直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请说明理由．
考点： 全等三角形的应用．
分析： 可以沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC=CD，过D点作DE⊥BF，使E、C、A在一条直线上，证明出这两个三角形全等，从而可得到结论．
解答： 解：∵∠ACB=∠DCE，BC=CD，∠B=∠EDC=90°，∴△ACB≌△ECD，∴AB=DE．
点评： 本题考查全等三角形的应用，关键是证明三角形全等，从而得到线段相等，得到结论．
　
23．如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE=CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．
考点： 全等三角形的应用．
分析： 首先连接EM、MF，再证明△BEM≌△CFM可得∠BME=∠FMC，再根据∠BME+∠EMC=180°，可得∠FMC+∠EMC=180，进而得到三个小石凳在一条直线上．
解答： 解：连接EM、MF，∵AB∥CD，∴∠B=∠C，又∵M为BC中点，∴BM=MC．∴在△BEM和△CFM中，∴△BEM≌△CFM（SAS），∴∠BME=∠FMC，∵∠BME+∠EMC=180°，∴∠FMC+∠EMC=180°，∴三个小石凳在一条直线上．
点评： 此题主要考查了全等三角形的应用，证明△BEM≌△CFM，证明出∠FMC+∠EMC=180°是解决问题的关键．
　
24．如图，△ABC中，AB=BC=CA，∠A=∠ABC=∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．
（1）证明△ACD≌△CBE；
（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
考点： 全等三角形的应用．
分析： （1）根据小蚂蚁的速度相同求出AD=CE，再利用“边角边”证明△ACD和△CBE全等即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠EBC=∠ACD，然后表示出∠BFC，再根据等边三角形的性质求出∠ACB，从而得到∠BFC．
解答： （1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同，∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD=CE，∵在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）；（2）解：∵△ACD≌△CBE，∴∠EBC=∠ACD，∵∠BFC=180°﹣∠EBC﹣∠BCD，∴∠BFC=180°﹣∠ACD﹣∠BCD，=180°﹣∠ACB，∵∠A=∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，∴∠BFC无变化．
点评： 本题考查了全等三角形的应用，主要利用了全等三角形对应角相等的性质，等边三角形的性质，根据小蚂蚁的速度相同求出AD=CE是证明三角形全等的关键．
　
25．（2006 绍兴）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．
求证：△ABC≌△A1B1C1．
（请你将下列证明过程补充完整．）
证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，
B1D1⊥C1A1于D1．
则∠BDC=∠B1D1C1=90°，
∵BC=B1C1，∠C=∠C1，
∴△BCD≌△B1C1D1，
∴BD=B1D1．
（2）归纳与叙述：
由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
考点： 全等三角形的判定．
专题： 压轴题；阅读型．
分析： 本题考查的是全等三角形的判定，首先易证得△ADB≌△A1B1C1然后易证出△ABC≌△A1B1C1．
解答： 证明：（1）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1．则∠BDC=∠B1D1C1=90°，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．补充：∵AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°．∴△ADB≌△A1D1B1（HL），∴∠A=∠A1，又∵∠C=∠C1，BC=B1C1，在△ABC与△A1B1C1中，∵，∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）；（2）解：若两三角形（△ABC、△A1B1C1）均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，则它们全等（AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1，则△ABC≌△A1B1C1）．
点评： 命题立意：考查三角形全等的判定，阅读理解能力及分析归纳能力．做题时要认真读题，明白题意，然后按要求答题．
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