第3章 变量之间的关系 单元测试卷（二）

第3章《三角形》单元测试
（时间：90分钟，满分：100分）
选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列命题中真命题的个数为( )
⑴形状相同的两个三角形是全等三角形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等.
A.3 B.2 C.1 D.0
2. 如图所示，分别表示△ABC的三边长，则下面与△一定全等的三角形
是（　　）
A B
C D
3.如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（　　）
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD
C.BE=DC D.AD=DE
4. 已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为3，斜边为4，则另一个直角三角形斜边上的高为（　　）
A. B. C. D.6
5. 小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 要测量河两岸相对的两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再作出的垂线，使在一条直线上（如图所示），可以说明△≌△，得，因此测得的长就是的长，判定△≌△最恰当的理由是（　　）
A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.边边角
7.已知：如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（　　） 来源：http://www./tiku/
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A=∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2
8.如图所示，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5 km，村庄C到公路的距离为4 km，则村庄C到公路的距离
是（　　）
A.3 km B.4 km C.5 km D.6 km
9.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌
△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE，上述结论一定正确的是（　　）
A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①③④
10. 如图所示，在△中，＞，∥=,点在边上，连接，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△与△全等（　　）
A.∥ B. C.∠=∠ D.∠=∠
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 若一个三角形的三个内角之比为4∶3∶2，则这个三角形的最大内角为 .
12. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下面结论中①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有： .
13. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3= .
14. 如图所示，在△ABC中，∠ABC = ∠ACB，∠A = 40°，P是△ABC内一点，且∠1 = ∠2．则∠BPC=________. 来源：http://www./tiku/
15.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= .
16.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8 cm，BD=5 cm，那么D点到直线AB的距离是 cm.
17.如图所示，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 ．
18. 如图所示，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=
15 cm，则△DEB的周长为 cm．
三、解答题（共46分）
19.（6分） 如图所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．
求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．
20. （8分）如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
21. （6分）如图所示，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．
求证：（1）PE=PF；2）点P在∠BAC的平分线上．
22. （8分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=.
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． 来源：http://www./tiku/
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论：　 　．
23. （6分）如图所示，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．
（1）当汽车运动到点D时，刚好BD=CD，连接线段AD，AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE=∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB=∠AFC=90°，则AF是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
24. （6分） 已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．
25. （6分）已知一直角边和这条直角边的对角，求作直角三角形(用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．
参考答案
1. C 解析：（1）形状相同但大小不一样的两个三角形也不是全等三角形，所以（1）是假命题；（2）全等三角形中互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，如果两个三角形是任意三角形，就不一定有对应角或对应边了，所以（2）是假命题；（3）是真命题，故选C.
2. B 解析：A.与三角形有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；
B.与三角形有两边及其夹角相等，二者全等；
C.与三角形有两边相等，但夹角不相等，二者不全等；
D.与三角形有两角相等，但夹边不对应相等，二者不全等．
故选B．
3. D 解析：∵ △ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，
∴ AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正确；
AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选D．
4. C 解析：设面积为3的直角三角形斜边上的高为h，则×4h=3，∴ h=.
∵ 两个直角三角形全等，∴ 另一个直角三角形斜边上的高也为．故选C．
5. C 解析：∵42+92=97＜122，∴三角形为钝角三角形，∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选C．
点评：本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部，当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部，当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．
6. B 解析：∵ BF⊥AB，DE⊥BD，∴ ∠ABC=∠BDE.
又∵ CD=BC，∠ACB=∠DCE，∴ △EDC≌△ABC（ASA）.
故选B．
7. D 解析：∵ AC⊥CD，∴ ∠1+∠2=90°，
∵ ∠B=90°，∴ ∠1+∠A=90°，∴ ∠A=∠2.
在△ABC和△CED中，
∴ △ABC≌△CED，故B、C选项正确.
∵ ∠2+∠D=90°，
∴ ∠A+∠D=90°，故A选项正确.
∵ AC⊥CD，∴ ∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，故D选项错误．故选D．
8. B 解析：如图所示，连接AC，作CF⊥，CE⊥.
∵ AB=BC=CD=DA=5 km，∴ △ABC≌△ADC，
∴ ∠CAE=∠CAF，∴ CE=CF=4 km．故选B．
9. D 解析：∵ AB=AC，∴ ∠ABC=∠ACB．
∵ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴ ∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE．
∴ ①△BCD≌△CBE （ASA）；
由①可得CE=BD, BE=CD，∴ ③△BDA≌△CEA （SAS）；
又∠EOB=∠DOC，所以④△BOE≌△COD （AAS）．故选D.
10. C 解析：A.∵ ∥，∴ ∠=∠.
∵ ∥∴ ∠=∠.
∵ ，∴ △≌△，故本选项可以证出全等；
B.∵ =，∠=∠，∴ △≌△，故本选项可以证出全等；
C.由∠=∠证不出△≌△，故本选项不可以证出全等；
D.∵ ∠=∠，∠=∠，，∴ △≌△，故本选项可以证出全等．故选C．
11.80° 解析：这个三角形的最大内角为180°×=80°．
12. ①②③④ 解析：∵ 在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，已知DE⊥AB，DF⊥AC，可证△ADE≌△ADF（AAS）.
故有∠EDA=∠FDA，AE=AF，DE=DF，①②正确；
AD是△ABC的角平分线，在AD上可任意设一点M，可证△BDM≌△CDM，∴ BM=CM，∴ AD上的点到B、C两点距离相等，③正确；
根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确．故填①②③④．
13. 135° 解析：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴ ∠1=∠DBE.
又∵ ∠DBE+∠3=90°，∴ ∠1+∠3=90°．
∵ ∠2=45°，∴ ∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．
14. 110° 解析：因为∠A=40°，∠ABC = ∠ACB，
所以∠ABC = ∠ACB=(180°-40°)=70°.
又因为∠1=∠2，∠1+∠PCB=70°，所以∠2+∠PCB=70°，
所以∠BPC=180°-70°=110°.
15. 55° 解析：在△ABD与△ACE中，
∵ ∠1+∠CAD=∠CAE +∠CAD，∴ ∠1=∠CAE.
又∵ AB=AC，AD=AE，
∴ △ABD ≌△ACE（SAS）.∴ ∠2=∠ABD.
∵ ∠3=∠1+∠ABD=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，
∴ ∠3=55°．
16. 3 解析：由∠C=90°，AD平分∠CAB，作DE⊥AB于E，
所以D点到直线AB的距离是DE的长.
由角平分线的性质可知DE=DC.
又BC=8 cm，BD=5 cm，所以DE=DC=3 cm．
所以D点到直线AB的距离是3 cm．
17. 31.5 解析：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，
∵ OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴ OD=OE=OF.
∴
=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB
=×OD×（BC+AC+AB）
=×3×21=31.5．
18. 15 解析：因为CD平分∠ACB，∠A=90°，DE⊥BC，所以∠ACD=∠ECD，CD=CD，∠DAC=∠DEC，所以△ADC≌△EDC，所以AD=DE， AC=EC，所以△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BE.又因为AB=AC，所以△DEB的周长=AB+BE=AC+BE=EC+BE=15（cm）.
19. 分析：（1）要证OA=OB，由等角对等边需证∠CAB=∠DBA，由已知△ABC≌△BAD即可证．
（2）要证AB∥CD，根据平行线的性质需证∠CAB=∠ACD，由已知和（1）可证∠OCD=∠ODC，又因为∠AOB=∠COD，所以可证∠CAB=∠ACD，即AB∥CD获证．
证明：（1）∵ △ABC≌△BAD，∴ ∠CAB=∠DBA，∴ OA=OB．
（2）∵ △ABC≌△BAD，∴ AC=BD.
又∵ OA=OB，∴ AC-OA=BD-OB，
即：OC=OD,∴ ∠OCD=∠ODC.
∵ ∠AOB=∠COD，∠CAB=，∠ACD=，
∴ ∠CAB=∠ACD，∴ AB∥CD．
20. 分析：由△ABC≌△ADE，可得∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B.因为∠FAB=∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形外角性质可得∠DGB=∠DFB -∠D，即可得∠DGB的度数．
解：∵ △ABC≌△ADE，
∴ ∠DAE=∠BAC=（∠EAB-∠CAD）=．
∴ ∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°，
∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．
21. 证明：（1）连接AP，因为AE=AF，AP=AP，PE⊥AB,PF⊥AC，
所以Rt△APE≌Rt△APF，
所以PE=PF.
（2）因为Rt△APE≌Rt△APF，所以∠FAP=∠EAP，
所以点P在∠BAC的平分线上.
22. 分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠O的关系；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；
（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC=90°﹣∠A．
23. 分析：（1）由于BD=CD，则点D是BC的中点，AD是中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形；
（2）由于∠BAE=∠CAE，所以AE是三角形的角平分线；
（3）由于∠AFB=∠AFC=90°，则AF是三角形的高线．
解：（1）AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．
此时△ABD与△ADC的面积相等．
（2）AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形中角平分线有三条．
（3）AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线．
24. 解：⑴因为直线BF垂直于CE于点F,所以∠CFB=90°，
所以∠ECB+∠CBF=90°.
又因为∠ACE +∠ECB=90°，所以∠ACE =∠CBF .
因为AC=BC, ∠ACB=90°，所以∠A=∠CBA=45°.
又因为点D是AB的中点，所以∠DCB=45°.
因为∠ACE =∠CBF，∠DCB=∠A，AC=BC，
所以△CAE≌△BCG，所以AE=CG.
(2)BE=CM,证明：∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ACH +∠BCF=90°.
∵ CH⊥AM，即∠CHA=90°,
∴ ∠ACH +∠CAH=90°,∴∠BCF=∠CAH.
∵ CD为等腰直角三角形斜边上的中线,∴ CD=AD.∴ ∠ACD=45°.
△CAM与△BCE中,BC=CA ,∠BCF=∠CAH,∠CBE=∠ACM,
∴ △CAM ≌△BCE,∴ BE=CM.
25. 已知：线段a和∠α如图（1）所示．
求作Rt△ABC使．
作法：（1）作∠α的余角∠β．
（2）作∠MBN＝∠β．
（3）在射线BM上截取BC＝a．
（4）过点C作CA⊥BM，交BN于点A，如图（2）．
∴ △ABC就是所求的直角三角形．
（1） （2）
第25题答图
第2题图
第3题图
第6题图
第8题图
第7题图
第10题图
第9题图
第12题图
第13题图
第15题图
第14题图
第17题图
第18题图
第16题图
第21题图
第20题图
第19题图
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第8题答图
第13题答图
第16题答图
第17题答图
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