2021—2022学年苏科版数学七年级下册9.4.1乘法公式：完全平方公式课后补充习题分层练（Word版含答案）

9.4.1乘法公式：完全平方公式-课后补充习题分层练
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)（解析）
【A夯实基础】
A1、计算：（a+1）2﹣a2=_____．
A2、设(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,则A等于（ ）
A．60ab B．30ab C．15ab D．12ab
A3、如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（　　）
A．14 B．9 C．﹣1 D．﹣6
A4、若是关于的完全平方式，则__________．
A5、若m+=3，则m2+=_____．
A6、已知a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，那么a＝_______，b＝______.
A7、若，满足，，则______．
A8、运用完全平方公式计算：
（1）（﹣2a+3）2； （2）（﹣3x+）2， （3）（﹣x2﹣4y）2； （4）（1﹣2b）2．
A9、（2021·全国八年级课时练习）计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
A10、已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．
【B培优综合】
B11、若代数式可化为，则的值是________．
B12、如果，且，则的值是 ____ ．
B13、已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．
B14、已知，，则=_____________．
B15、阅读理解.
因为， ①
因为 ②
所以由①得： ， 由②得：
所以
试根据上面公式的变形解答下列问题：
（1）已知，则下列等式成立的是（ ）
①； ②； ③； ④；
A．①； B．①②； C．①②③； D．①②③④；
（2）已知，求下列代数式的值：
①； ②； ③.
B16、（2021秋 西城区期末）（1）如果（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，那么m的值是 　　，n的值是 　　；
（2）如果（x+a）（x+b）＝x2﹣2x+，
①求（a﹣2）（b﹣2）的值； ②求的值．
【C拔尖拓展】
C17、（2021春 蜀山区校级期中）（阅读理解）“若x满足（70﹣x）（x﹣20）＝30，
求（70﹣x）2+（x﹣20）2的值”．
解：设（70﹣x）＝a，（x﹣20）＝b，
则（70﹣x）（x﹣20）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣20）＝50，
那么（70﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝502﹣2×30＝2440．
（解决问题）（1）若x满足（40﹣x）（x﹣10）＝﹣10，求（40﹣x）2+（x﹣10）2的值；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4321，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）．
C18、如图1，用4个相同边长是、的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．
（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则值为_________；则的值为______；
（2）若小长方形两边长为和，则大正方形的边长为___________；
若满足，则的值为__________；
（3）如图2，正方形的边长是，它由四个直角边长分别是，的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想，，三边的数量关系，并说明理由．
9.4.1乘法公式：完全平方公式-课后补充习题分层练
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)（解析）
【A夯实基础】
A1、计算：（a+1）2﹣a2=_____．
【答案】2a+1
【分析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．
【详解】（a+1）2﹣a2=a2+2a+1﹣a2=2a+1，
故答案为2a+1.
A2、设(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,则A等于（ ）
A．60ab B．30ab C．15ab D．12ab
【分析】
根据完全平方公式的展开法则，将等号两边去掉括号，即可得出A．
【详解】
∵(5a+3b)2=(5a-3b)2+A
∴25a2+30ab+9b2=25a2-30ab+9b2+A
∴A=60ab
故选：A
A3、如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（　　）
A．14 B．9 C．﹣1 D．﹣6
解：m（m﹣2）+（m+2）2
＝m2﹣2m+m2+4m+4
＝2m2+2m+4．
当m2+m＝5时，原式＝2（m2+m）+4＝2×5+4＝10+4＝14．
故选：A．
A4、若是关于的完全平方式，则__________．
【答案】7或-1
【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．
详解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，
∴2（m-3）=±8，
解得：m=-1或7，
故答案为-1或7．
A5、若m+=3，则m2+=_____．
【答案】7
【详解】
分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．
详解：把m+=3两边平方得：（m+）2=m2++2=9，
则m2+=7，
故答案为7
A6、已知a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，那么a＝_______，b＝______.
【答案】-13
【解析】
【详解】
∵a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，
∴a2＋2a＋1+b2－6b＋9＝0，
∴(a+1)2+(b﹣3)2=0，
则a+1=0，b﹣3=0，
即a=﹣1，b=3.
故答案为﹣1；3.
A7、若，满足，，则______．
【答案】
【分析】
根据完全平方公式即可求出结论．
【详解】
解：∵，，
∴=20－2×3=14
故答案为：14．
A8、运用完全平方公式计算：
（1）（﹣2a+3）2； （2）（﹣3x+）2， （3）（﹣x2﹣4y）2； （4）（1﹣2b）2．
【分析】（1）利用完全平方公式得到原式＝（﹣2a）2+2×（﹣2a）×3+32，然后整理即可；
（2）利用完全平方公式得到原式＝（﹣3x）2+2×（﹣3x）×+（）2，然后整理即可；
（3）利用完全平方公式得到原式＝（﹣x2）2+2×（﹣x2）×（﹣4y）+（﹣4y）2，然后整理即可；
（4）直接利用完全平方公式计算．
【解析】（1）原式＝（﹣2a）2+2×（﹣2a）×3+32＝4a2﹣12a+9；
（2）原式＝（﹣3x）2+2×（﹣3x）×+（）2＝9x2﹣3x+；
（3）原式＝（﹣x2）2+2×（﹣x2）×（﹣4y）+（﹣4y）2＝x4+8x2y+16y2；
（4）原式＝1﹣4b+4b2．
A9、（2021·全国八年级课时练习）计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】（1）根据完全平方公式： 进行求解即可；
（2）根据完全平方公式： 进行求解即可；
（3）根据完全平方公式： 进行求解即可；
（4）根据完全平方公式： 进行求解即可；
（5）根据完全平方公式： 进行求解即可；
（6）根据完全平方公式： 和平方差公式进行求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4），；
（5）；
（6）．．
A10、已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．
解：①∵x+y＝5，xy＝3，
∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝34；
②∵x+y＝5，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，
∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝192﹣2×32＝343．
【B培优综合】
B11、若代数式可化为，则的值是________．
【答案】5
【解析】
，根据题意得，，解得=3，b=8,那么=5.
B12、如果，且，则的值是 ____ ．
【答案】1
【详解】
因为（x+n）2=x2+2nx+n2，m＞0，所以2n＞0，n2=1，所以n=1.
故答案为1.
B13、已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．
【答案】
【分析】
根据完全平方公式的变式：ab= 利用整体代入的思想求解即可.
【详解】
解：∵（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，
∴（2019﹣a）（a﹣2017）＝{[（2019﹣a）+（a﹣2017）]2﹣[（2019﹣a）2+（a﹣2017）2]}＝，
故答案为.
B14、已知，，则=_____________．
【答案】28或36．
【详解】
解：∵，∴ab=±2．
①当a+b=8，ab=2时，==﹣2×2=28；
②当a+b=8，ab=﹣2时，==﹣2×（﹣2）=36；
故答案为28或36．
B15、阅读理解.
因为， ①
因为 ②
所以由①得： ， 由②得：
所以
试根据上面公式的变形解答下列问题：
（1）已知，则下列等式成立的是（ ）
①； ②； ③； ④；
A．①； B．①②； C．①②③； D．①②③④；
（2）已知，求下列代数式的值：
①； ②； ③.
【答案】（1）C；（2）①2；②0；③2
【详解】
（1）
∴
∴
同理：
由两边同时减去2，得：，∴，故选C.
（2）①原式=（a+）2-2=（-2）2-2=2
②原式=a2+-2=2-2=0
③原式=（ a2+）2-2=（2）2-2=2
B16、（2021秋 西城区期末）（1）如果（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，那么m的值是 　　，n的值是 　　；
（2）如果（x+a）（x+b）＝x2﹣2x+，
①求（a﹣2）（b﹣2）的值； ②求的值．
【分析】（1）先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，列等式，计算；
（2）先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，求出（a+b）、ab的值，①把（a+b）、ab的值代入整理后的整式计算即可；
②通分后，配方，再把（a+b）、ab的值代入后计算．
【详解】解：（1）∵（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，
∴x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，
∴m＝﹣1，n＝﹣6，
故答案为：﹣1，﹣6；
（2）∵，
∴a+b＝﹣2，，
①（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4＝＝，
②＝＝＝＝13．
【C拔尖拓展】
C17、（2021春 蜀山区校级期中）（阅读理解）“若x满足（70﹣x）（x﹣20）＝30，
求（70﹣x）2+（x﹣20）2的值”．
解：设（70﹣x）＝a，（x﹣20）＝b，
则（70﹣x）（x﹣20）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣20）＝50，
那么（70﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝502﹣2×30＝2440．
（解决问题）（1）若x满足（40﹣x）（x﹣10）＝﹣10，求（40﹣x）2+（x﹣10）2的值；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4321，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）．
【分析】（1）根据举例进行详解即可；
（2）设2021﹣x＝c，2020﹣x＝d，则可得c2+d2＝（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4321，c﹣d＝（2021﹣x）﹣（2020﹣x）＝1，所以2cd＝（c+d）﹣（c﹣d）’，可得cd＝2020，2cd＝（c2+d2）﹣（c﹣d）2＝4320，即可详解；
（3）根据正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，所以DE＝x﹣14，DG＝x﹣30，得到（x﹣14）（x﹣30）＝500，设x﹣14＝a，x﹣30＝b，从而得到ab＝500，a﹣b＝（x﹣14）﹣（x﹣30）＝16，根据举例求出（a+b）2，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：（1）设（40﹣x）＝m，（x﹣10）＝n，
∴（40﹣x）（x﹣10）＝mm＝﹣10，m+n＝（40﹣x）+（x﹣10）＝30，
∴（40﹣x）2+（x﹣10）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mm＝302﹣2×（﹣10）＝920；
（2）设2021﹣x＝c，2020﹣x＝d，
∴c2+d2＝（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4321， c﹣d＝（201﹣x）﹣（2020﹣x）＝1，
∴2cd＝（c2+d2）﹣（c﹣d）2＝4320，
∴cd＝2160，即（2021﹣x）（2020﹣x）＝2160．
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AF＝14，CG＝30，
∴DE＝x﹣14，DG＝x﹣30， ∴（x﹣14）×（x﹣30）＝500，
设x﹣14＝a，x﹣30＝b，
∴ab＝500，a﹣b＝（x﹣14）﹣（x﹣30＝16，
（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝162+4x500＝2256，
∴阴影部分的面积为：2256．
C18、如图1，用4个相同边长是、的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．
（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则值为_________；则的值为______；
（2）若小长方形两边长为和，则大正方形的边长为___________；
若满足，则的值为__________；
（3）如图2，正方形的边长是，它由四个直角边长分别是，的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想，，三边的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）2，6；（2）5，17；（3），理由见解析
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，理清各个图形面积之间的关系是解决问题的关键，用代数式表示各个部分的面积是得出结论的前提.
（1）大正方形的边长为x+y，小正方的边长为x-y，由面积可求出正方形的边长；
（2）小长方形两边之和为正方形的边长，再由完全平方公式求解即可；
（3）根据大、小正方形和4个直角三角形的面积之间的关系得出结论．
解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，
∴，，
又∵，∴，，
故答案为：2，6；
（2）大正方形的边长为，
∵，
∴，
故答案为：5，17；
（3），，三边的数量关系为．
理由如下：由拼图可得，小正方形的边长为，
由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，
，即．
(
1
)
学