北师大版八年级数学下册 6.3 三角形中位线 教案

第六章 平行四边形
第3节 三角形的中位线
1、 教材分析：
（1） 教学内容：北师大版初二数学八年级下册第六章第3节。
（二）教材地位和作用：本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定、一次函数的基础上学习三角形中位线的概念和性质。三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究中点四边形的基础。三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。
（三）教学目标：
知识与技能:
1、知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。
2、理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。
3、通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力。
过程与方法：
在引导学生经历观察、猜想、实验、操作、验证、归纳的探索过程发现三角形中位线的性质中，体会和了解研究几何图形的一般方法，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：
培养学生乐于实践、善于发现、勇于创新的学习品质,激活学生思维,激发数学学习的兴趣。培养学生对地方风土人情的兴趣,激发爱家乡爱国家爱生活的情感,感受数学与生活的密切联系。
（四）教学重难点
【重点】：三角形中位线定理的掌握与应用
【难点】：证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用．
2、 学情分析
本阶段的学生已经在知识上大部分掌握了全等三角形、平行四边形的性质和判定等平面几何知识，有了一定的知识储备，并且在学习这些知识的过程中不断地被渗透学习数学的思想和方法，有着自己的数学思维方式，但还不够系统。
3、 设计理念
本节课是在学生对“图形的性质”、“图形的变化”“图形与坐标”已经大部分学过的基础呈现出的“三角形的中位线”的知识点，这是初中数学课堂教学中的经典课例，但传统教学更多关注的是学生的“学”，其目标定位是对现成问题的分析和解决，而“三角形的中位线定理”是如何产生的？又是如何变化和发展的？又该如何通过“三角形的中位线定理”这个知识载体，让学生体会和理解研究几何图形的一般的方法和策略呢？所以希望在本节课中能够基于研究性学习视角下让学生从探索中通过观察、猜想、实验、操作、验证、归纳的过程，获得数学学习能力，提高学生的几何直观和推理能力。
4、 教学过程：
(一)建立模型，生成问题，引发思考
1、设置情境:出示宁德三都澳景区的图片,对景点螺壳岩的石头提出问题:怎样测量出该石头的长度
提出方法:用两根绳子的两端分别固定在岩石的最突出两端,另外一段交于一点,找到两根绳子的中点,测量两中点的距离,进而便可以知道该石头的长度,原因何在
【设计意图】通过学生身边熟悉的景区图片,激发学生对家乡的热爱,感受数学来源于生活。通过问题的提出与解答建立模型,促进学生对回答问题的兴趣。
2、明晰概念:提出三角形中位线的概念,并且与三角形的中线进行区别。通过对比避免概念的混淆。
（二）多种方式，合情推理，展开验证
引导学生用各种方式展开验证
方法一:度量。
画图:画△ABC及△ABC的中位线DE
度量:用量角器测角度,∠AEF= ____ ,∠B=______ ;用直尺测长度 EF= _____,BC=______。
结论:DE与BC的位置关系,EF____ BC ;
DE与BC的数量关系,EF_______BC
教师使用几何画板,通过动态演示展示不同的三角形不同的测量结果。
猜想: 三角形的中位线与第三边的关系。
方法二:组织学生分组讨论,利用三角形卡纸通过剪一剪,拼一拼的动手操作,合情推理验证猜想。
以下是三种预设方案:
1、先对折得到AB的中点D， AC的中点E。过点D作DF⊥BC，把△BDF绕点D顺时针旋转180°，到△ADH；同样过点E作EG⊥BC，把△CGE绕点E顺时针旋转180°，到△AEM，形成矩形HFGM。从而得出结论：DE平行BC并且等于
BC的一半。
2、先对折得到AB的中点D， AC的中点E。过点D作DF∥AC，把△BDF绕点D顺时针旋转180°到△ADG，形成平行四边形AGFC。从而得出结论：DE平行BC并且等于BC的一半。
3、先对折得到AB的中点D， AC的中点E。把△ADE绕点E顺时针旋转180°到△CFE，形成平行四边形DBCF。从而得出结论：DE平行BC并且等于BC的一半。
【设计意图】借助度量、操作、观察、猜想、合情推理等方式，让学生亲身参与其中的活动，培养学生的几何直观能力和推理能力,激发学习数学的兴趣。以上是对于学生的验证方法的几种教学预设，主要是要关注思路的自然生成，给予学生充分表达自己的观点、思路的机会，让每一个学生都能主动地、富有个性地学习。
（三）异中求同，演绎推理，归纳结论
1、 演绎推理，证明猜想
例题：已知：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。求证：DE∥BC且DE=BC
分析：（1）从前面环节中，你发现要证明DE与BC的关系，要将图形如何转化？
（2）要证明DE= BC，可以证明2DE=BC，所以，延长DE到F，使DF=2DE，证明它与BC相等，要证明DE∥BC，只要证明四边形BCFD是平行四边形。
证明:如图6-20(2),延长DE到F,使
DE=EF,连接CF.
在△ADE和△CFE中
∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE
∴△ADE≌△CFE
∴∠A=∠ECF,AD=CF
∴CF∥AB
∵BD=AD
∴BD=CF
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DF∥BC,DF=BC
∴DE∥BC,DE=1／2BC
小结:对于该题的方法,注重数学的转化思想,以及如何画出辅助线。鼓励学生的不同方法,主张将操作中的合情推理与演绎推理密切联系。
2.归纳定理，深化认识
（1） 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
（2）几何语言表述：在△ABC中，
∵AD=DB，AE=EC
∴DE∥BC（位置关系）
DE= BC（数量关系）
（2） 强调：中位线定理在同一条件下有两个结论，一是表明位置关系，一是表明数量关系，应用时要根据需要而选择。
【设计意图】通过严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明,由感性到理性,使学生经历定理的探究过程,积累数学活动的经验.
（四）基础练习，巩固认识，当堂达标
1、如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，DE=3cm,∠C=70°,那么BC=______cm, ∠AED=__________
3、如图，在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为__________．
（五）课堂延伸，拓展研究，揭示联系
1、已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
猜想：四边形EFGH的形状有什么特征？证明你的结论。
分析：
(1) 已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形．
2、 观察几何画板中分别按图1----图5的顺序拖动四边形的顶点P，动态地产生出了几个图形，请你依据本次学习中获得的研究问题的方法和经验，研究这几个图形的形状。
3.我们把顺次连接三角形的各边中点所得到的三角形叫做“中点三角形”。如图△DEF就是中点三角形，再分别取 DE,EF,FD的中点，连接后可得新的中点三角形；再分别取……,这些中点三角形在周长、面积、形状等方面与原△ABC又有怎样的联系呢？
【设计意图】数学课程致力于：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。对于本课的学习不能只停留于知识的掌握和简单应用，还可以通过在深度、广度上的研究，让学生更全面地去认识。所以希望通过2、3两题的呈现带动学生运用本课的学习方法和学习思想自主深入地去研究，获得更为广泛的数学活动、学习和研究经验。
（六）回顾小结，概括方法，共同提升
1、 本节课你通过怎样的学习收获到了什么？
2、证明三角形中位线定理的关键在于什么？
3、定理有几个结论，如何应用？
【设计意图】通过回顾，归纳本课的学习内容，突出两个方面：一是知识总结和应用；二是方法和经验总结，尤其是第二个，知识只是数学学习的载体，从培养人的角度来说，方法和经验更为重要。
五、教学反思：
关于数学，许多人常说：历尽艰辛，却不知道数学有何用？生活中需要函数、几何图形、分式计算吗？是呀，感觉学数学只是为了考试，为了分数，一旦考试过了，数学的公式、定理马上飞到九霄云外。那么，学生数学到底学什么？我们老师教数学到底教什么？我想，数学的课程内容不仅包括数学的结果，更重要的是数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。老师的教不仅在于基础知识和基本技能的传授，更在于数学思维、数学思想、数学方法、数学素养的培养和形成。通过数学的学习让学生在抛开数学于生活中能运用数学的思想去解决问题，促进学生的未来学习和终身发展。故而在本课的教学上，我着重于过程性的学习，通过学习的过程让学生体会数学的建模、几何的直观、分类讨论的思想，感受合情推理和演绎推理的综合，知识之间的联系和深入，以及明确学习平面几何的从“观察、猜想、实验、操作、验证、归纳”的系列过程，让学生在自主地研究性学习中“要我学”----“我要学”———“我会学”，掌握学习数学的方法。
A
B
C
D
E