北师大版八年级数学下册 1.2 直角三角形全等的判定 教案

《直角三角形全等的判定》教学设计
第一章 三角形的证明
2．直角三角形（二）
一、学情分析及内容解析
学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法、勾股定理以及用尺规作三角形，且在一系列的实践活动中，积累了一定的探索与推理经验，已经具备了进一步探索并证明判定直角三角形全等定理的基础。
本节课探索直角三角形全等的判定定理的过程中，通过探究活动，使学生在实践中学习，是培养学生自主学习、合作交流的好素材。三角形全等是贯穿这一章的主线，是初中阶段证明线段相等和角相等的主要工具。 而探索斜边与直角边长度之比则是学习三角函数的基础。因此，这节课有利于学生形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力，是学习后续几何课程的基础。
二、教学任务分析
本节课内容是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。本课时在学生现有知识和活动经验的基础上，提出具体教学及学习任务：经历探索直角三角形全等条件的过程，用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形，掌握判定直角三角形全等的条件，能熟练选择判定方法判定两个直角三角形全等，并解决一些简单的实际问题。在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。
三、教学目标
1．知识目标：
①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。
②熟练利用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。
2．能力目标：
①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
② 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。
3、情感目标
①让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。
②通过定理的证明，范例的分析过程的教学，培养观察分析问题、把实际问题抽象概括成数学问题、并加以论证解决的能力。
③通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。
四、教学重点、难点 ：
重点：掌握“HL”定理的推导过程；运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题。
难点：“HL”定理的获得与证明以及如何用几何语言有条理的，清晰的阐述自己的观点。
教学方法的选择与应用
本课采用师生互动的方式，以多媒体手段辅助教学，创设情境，引起学生的思维冲突，引导学生获得判定直角三角形全等的条件以及正确应用“HL”定理的方法。
六、学法指导
充分利用素材和活动，引导学生经历画图操作、观察、比较、猜想、证明等活动，体验“从特殊------一般”的几何知识探究的过程。
七、教学准备：圆规，直尺，三角板，小剪刀，多媒体。
八、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：
第一环节：创设情境，提出问题；第二环节：操作思考，交流发表；
第三环节：对话分享，点拨指导；第四环节：应用新知，解决问题；
第五环节：课时小结，盘点收获；第六环节：布置作业，巩固提高。
第一环节：创设情境，提出问题
我们曾从折纸的过程中得到启示，作等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。通过听两位同学的录音，回顾当时是如何证明“等边对等角”这个定理的。（播放录音）
思考：我们除了添加底边上的中线或顶角的角平分线外，能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”？
学生添加辅助线：做底边上的高（如图1）。在实际的教学过程中，有学生对上述添加辅助线的方法产生了质疑。质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，具备的相等条件是“两边及其中一边的对角相等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图（图2）说明．(如图所示在ABD和△ACD中，AB=AC,AD=AD，∠D=∠D，但△ABD与△ACD不全等)” ．
教师追问：当相等的一组边所对的角是直角呢？及“在两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？”从而引入课题。
〖设计意图〗 创设情境，提出问题，引发思考、质疑，引入新课。
第二环节：操作思考，交流发表；
从特殊情况研究：当相等的斜边均为5，相等的直角边均为4时 ，这两个三角形全等吗？换组数再试试。
操作与探究：
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流，学生上讲台分享作图思路。
如图，已知线段a和c（a＜c），直角∠α，利用尺规作出Rt△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c.（不写作法，保留作图痕迹）
2、把画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系？
3、通过探究，作图的结果反映了什么规律？由此你是否发现判定直角三角形全等的一种“特有”方法？尝试用数学语言归纳、概括由此获得的猜想。
猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
〖设计意图〗 通过尺规作图、剪图、比较图的操作探究过程，让学生大胆提出猜想，培养学生发现问题的能力，锻炼学生用数学语言归纳、概括的能力。
第三环节：对话分享，点拨指导
（1）．“HL”定理的证明，由师生共析完成。
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
证明：在Rt△ABC中，∠C=90°
∴BC=AB2一AC2(勾股定理)．
同理：在Rt△ A' B' C'中，B'C'2=A'B'2一A'C'2 (勾股定理)．
又∵AB=A'B'，AC=A'C'，
∴ BC = B'C'
又∵BC>0,B'C'>0
∴ BC = B'C'
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS) 或 (SAS)．
教师用多媒体演示：
直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．
符号语言：
在 Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中，
AB=A'B'
AC=A'C'
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL)
注：“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
〖设计意图〗 师生共析，证明“斜边、直角边”定理，掌握定理的文字和几何符号语言。
第四环节：应用新知，解决问题
小试牛刀：1、如图，AD⊥BD于D，AC⊥BC于C，
要根据“HL”证明Rt△ABD≌△Rt△BAC，
则还需要添加一个条件是 。
追问：若不限定判定全等的条件，还可以添加什么条件？
这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．
(教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出挑战)
2、下列条件，不能判定两个直角三角形全等是（ ）
A.两条直角边对应相等 B.一个锐角和斜边对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等
学以致用：例1：如图，有两个长度相同的滑梯，
左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度
DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有
什么关系？
师生活动：学生先口述理由，然后写出完整的证明过程，教师规范步骤。
〖设计意图〗为了让学生体会数学结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。
3、如图，点A,E,F,C在同一直线上，AE=CF，过点E,F分别作 DE⊥AC,BF⊥AC,连接AB,CD,且AB=CD.
求证：BF=DE. 以下是排乱的证明过程：
①在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD
AF=CE,
② ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °.
③∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF. 即AF=CE.
④∴BF=DE.
⑤∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
你认为证明步骤正确的顺序为 。
4、已知：如图，AC、BD相交于点P,
AC⊥BC于C，BD⊥AD于D，且AD=BC.
求证：AC=BD.
（一题多解，优化方案）
师生活动：学生板演，写出完整的证明过程，教师点评。
〖设计意图〗为了让学生进一步巩固“斜边、直角边”定理的应用。
梳理知识，归纳总结：
判定两个直角三角形全等的方法有哪些？
在证明两个直角三角形全等时,其他方法都需要三个条件,而“HL”只有两个条件,你怎么看？
在课堂上,我们探究HL定理经历了怎样的过程？通过这个过程,你有什么感受和体会？
师生活动：教师引导，学生总结。
〖设计意图〗为了让学生体会数学结论在实际中的应用回顾研究方法及获得的新知，形成知识体系。
例题再探：
例1'：如图，有两个长度相同的滑梯EF、BC，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，把△EDF沿水平方向向左平移使得D与B重合，两个滑梯的位置关系如何？
迁移拓展：
如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q 两点分别在线段AC上和过A点且垂直于AC的射线AD上运动，问P点运动到什么位置时（1） PQ⊥AB？ （2）△ABC才能和△APQ全等？
小明的第（2）问解答过程如下：
解：当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；
答：当AP＝5cm时，△ABC才能和△APQ 全等
你同意小明的解答吗？说说你的想法。
师生活动：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．学生小组讨论交流，利用几何画板讲解此题，得出正确答案。
〖设计意图〗为了让学生体会动点问题解题策略，及分类讨论思想，进一步巩固新知，提高分析解决问题的能力。
定理证明再探：
分析：AC=A'C',无论RTΔABC和RTΔA'B'C'的位置如何。我们总可以通过作旋转、平移、轴对称变换得到新图形，如图，使A'C'和AC重合，点Ｂ和点B'分别在AC的两侧。
证明：∵ ∠ACB=∠A'C'B'=90°
∴ B、C、B'三点共线
∵ AB=A'B'， AC⊥BB'
∴ BC=B'C'（等腰三角形三线合一）
又∵ AC=A'C'（公共边）
∴ RTΔABC ≌ RTΔA'B'C'（SSS）
第五环节：课时小结，盘点收获；
本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理解决了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力。本节课里我们有操作探究、猜想验证、合作交流、质疑批判、创新思考……同学们的表现很棒，很值得继续发扬广大．请同学们参看下面的某个提示用一句话总结你的收获与感悟：
我学会了……
我发现了……
我想给同学们的温馨提示是……
我想进一步研究的问题是……
本节课使我感到最困难的是……
师生活动：教师引导，学生总结。
〖设计意图〗 从知识点、数学思想方法以及情感态度等多方面谈收获与感悟，提高了学生对新知识的理解与感悟。
第六环节：布置作业，巩固提高。
习题1．6第1、2、3、5题
〖设计意图〗考查学生寻找“HL”条件证明两个三角形全等，并运用全等三角形的性质，进行分析、解决问题的能力。
九、教学反思
直角三角形全等的判定,是在学生已经掌握了判定三角形全等的基础上进行的,这是基于对直角三角形进行系统研究的需要,也是为了突出判定两个直角三角形全等有特殊的方法。直角三角形是特殊的三角形，关于一般三角形全等的判定方法，对直角三角形都适用，而对于判定一般三角形全等不能使用的“SSA”方法，对于直角三角形是否正确？引发思考和质疑。本节课采用了动手操作以及讨论交流等方法，通过提出问题，思考问题，分析问题，解决问题的系列活动，正确把握一般特殊之间关系。同时通过学生自己亲自动手画图、叠合的方法，力求激发学生的学习兴趣，鼓励学生进行大胆的猜想，进而获得直角三角形全等的判定定理，从中渗透转化思想、从特殊到一般的数学思想，从而形成命题，定理，然后应用定理解决实际生活中的问题，从而增强学生解决问题的能力；同时学生感受数学与生活的密切生活，加强数学知识与现实生活的联系，培养学生良好的数学应用意识，体现数学来源于生活又运用于生活。本课设计了一个开放性的练习题：何添加条件能证得两个直角三角形全等，同时再一次复习了一般三角形全等的判定方法和特殊直角三角形全等的判定方法。最后的一个动点拓展题，充分发挥学生学习知识，应用知识的能力。
本节课的教学主要通过操作探究、分组讨论以及合作交流等方式来进行，有效的增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课收到了很好的教学效果，达到了教学目的。
十、案例评析
刘老师设计的这节课，通过两段音频回顾旧知，引入课题，形式新颖，激发学生学习的积极性，教学设计结构合理、自然，并且精心设计了学生活动，例题、习题有代表性。
1、直角三角形是特殊的三角形,、找两个直角全等的条件，学生最容易想到的是借助判定一般三角形全等的条件，本节课紧紧抓住了这一点，学生回顾一般三角形全等的判定条件，也为本节课学习“斜边、直角边”定理埋下伏笔，随着三角形的特殊化，判定三角形全等的条件是否发生改变 这成为学生关注的焦点，依据以往的学习经验，学生会想到图形特殊化后，判定全等的条件可能会发生改变，由此可以培养学生发现和提出问题的能力。
2、在第二环节中，教师及时引导学生思考：两边分别相等且其中一组等边的对角相等两个三角形全等吗 如果这个角是直角呢 请试一试.接着,通过尺规作图进行验证，通过推理进行证明。这一设计向学生渗透了由一般到特殊地研究问题的方法，有助于学生积累数学思考的经验。设置了一个较为开放的练习题，让学生添加条件使两个三角形全等，这个问题既能帮助学生回顾一般三角形全等的判定条件，同时也巩固了本节课学习的“斜边、直角边”定理。
3、教无定法，贵在得法。这节课的引入方式非常新颖，教师根据自己学生的学情灵活选择教学方案，关注学生的已有认知，充分考虑学生学习过程中的困难，帮助学生用数学的提出问题，借助图形直观突破难点，规范地使用符号语言，强调全等概念、勾股定理等核心数学知识的重要作用，体会特殊到一般及合情推理与演绎推理的相互作用等。
A
C
B
D
图1
A
C
B
D
图2
A
B
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C
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F
C
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B
A
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C
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