2021—2022学年苏科版数学七年级下册9.5.3用完全平方公式因式分解课后补充习题分层练（Word版含答案）

9.5.3用完全平方公式 因式分解-课后补充习题分层练
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)
【A夯实基础】
A1、（2020秋 辉县市校级期中）下列各式能用完全平方公式分解因式的有（　　）
①4x2﹣4xy﹣y2；②﹣1﹣a﹣；③m2n2+4﹣4mn；④a2﹣2ab+4b2；⑤x2﹣8x+9
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A2、（2020秋 朝阳区期中）若x2+（m﹣1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣3，1 D．﹣1，3
A3、（2020春 南岗区校级月考）若x2﹣6x+m＝（x﹣n）2，那么m、n的值分别是（　　）
A．m＝3，n＝3 B．m＝9，n＝3 C．m＝3，n＝﹣3 D．m＝9，n＝﹣3
A4、（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）因式分解：=__________
A5、（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）因式分解：
A6、（2020·上海市梅陇中学七年级期中）因式分解：
A7、（2020春 郑州期中）若a﹣b＝3，则代数式a2+b2+6（a﹣b）﹣2ab的值为　　．
A8、把下列各式分解因式：
(1)a2－6a＋9; (2)－2xy＋x2＋y2； (3)x2－4(x－1)．
(4)(x2－x)2－6(x2－x)＋9； (5)49(a＋b)2＋14(a＋b)＋1. (6)
(7) (8) ； (9)；
A9、（2020秋 南安市期中）分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2． （2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）．
A10、用简便方法计算:
（1） (2) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92； (3) 342＋34×32＋162．
【B培优综合】
B11、已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
B12、已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．9或12
B13、（2020秋 内江期末）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，
则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
B14、关于的多项式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
B15、（2020·河南八年级期中）如果，，是三角形的三边，并且满足等式，试确定三角形的形状
B16、（2020春 郏县期末）阅读理解
我们知道：多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：
a2+6a+8＝（a+3）2﹣1＝（a+2）（a+4）．
请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣27； （2）a2+3a﹣28； （3）x2﹣（2n+1）x+n2+n．
B17、（2021春 仪征市期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　 　．
A．提取公因式； B．平方差公式；C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
【C拔尖拓展】
C18、（2020·江苏连云港市·九年级月考）（阅读材料）
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；
由于(x+3) 2≥0，
所以(x+3) 2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；
(3)用配方法因式分解：x4+4；
(4)求4x2+4x+3的最小值．
C19、（2021秋 莱阳市期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝m，
则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　 　；
（2）因式分解：9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1；
（3）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81．
9.5.3用完全平方公式 因式分解-课后补充习题分层练
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)（解析）
【A夯实基础】
A1、（2020秋 辉县市校级期中）下列各式能用完全平方公式分解因式的有（　　）
①4x2﹣4xy﹣y2；②﹣1﹣a﹣；③m2n2+4﹣4mn；④a2﹣2ab+4b2；⑤x2﹣8x+9
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】本题主要考查因式分解﹣运用公式法，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
根据完全平方公式的特点逐一判断即可．
【答案】解：①4x2﹣4xy﹣y2，不能用完全平方公式分解；
②﹣1﹣a﹣＝﹣（1+a+）＝﹣（+1）2，可以用完全平方公式分解；
③m2n2+4﹣4mn＝（mn﹣2）2，可以用完全平方公式分解；
④a2﹣2ab+4b2，不能用完全平方公式分解；
⑤x2﹣8x+9，不能用完全平方公式分解；
故选：B．
A2、（2020秋 朝阳区期中）若x2+（m﹣1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣3，1 D．﹣1，3
【思路点拨】利用完全平方公式判断即可．
【答案】解：∵x2+（m﹣1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，
∴m﹣1＝±2，
解得：m＝﹣1或m＝3．
故选：D．
A3、（2020春 南岗区校级月考）若x2﹣6x+m＝（x﹣n）2，那么m、n的值分别是（　　）
A．m＝3，n＝3 B．m＝9，n＝3 C．m＝3，n＝﹣3 D．m＝9，n＝﹣3
【思路点拨】根据完全平方公式和已知得出m＝32，n＝3，求出即可．
【答案】解：∵x2﹣6x+m＝（x﹣3）2＝（x﹣n）2，
∴m＝32＝9，n＝3，
故选：B．
A4、（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）因式分解：=__________
【答案】
【分析】利用完全平方公式进行分解因式即可得答案．
解：==．
A5、（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）因式分解：
【答案】
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可．
解：==．
A6、（2020·上海市梅陇中学七年级期中）因式分解：
【答案】
【分析】三项式想到完全平方公式，观察各项发现，首末两项为完全平方式，而中间项恰好是两数积的二倍，变成两数差的完全平方，括号内两项符合平方差公式，利用平方差公式因式分解，再利用积的乘方的逆运用即可．
解：===．
A7、（2020春 郑州期中）若a﹣b＝3，则代数式a2+b2+6（a﹣b）﹣2ab的值为　　．
【思路点拨】先按完全平方公式分解因式，再提公因式，最后代值计算便可．
【答案】解：原式＝（a2﹣2ab+b2）+6（a﹣b）
＝（a﹣b）2+6（a﹣b）
＝（a﹣b）（a﹣b+6），
∵a﹣b＝3，
∴原式＝3×（3+6）＝27．
故答案为27．
A8、把下列各式分解因式：
(1)a2－6a＋9; (2)－2xy＋x2＋y2； (3)x2－4(x－1)．
(4)(x2－x)2－6(x2－x)＋9； (5)49(a＋b)2＋14(a＋b)＋1. (6)
(7) (8) ； (9)；
解：(1)a2－6a＋9＝a2－2·a·3＋32＝(a－3)2.
(2)－2xy＋x2＋y2＝x2－2xy＋y2＝(x－y)2.
(3)x2－4(x－1)＝x2－4x＋4＝(x－2)2.
(4)原式＝(x2－x－3)2.
(5)49(a＋b)2＋14(a＋b)＋1＝[7(a＋b)]2＋2·7(a＋b)·1＋12＝[7(a＋b)＋1]2＝(7a＋7b＋1)2.
(6)=1+2×1×+=(1+)
(7)=(mn)-2mny+(6y)=(mn-6y)
(8)=（）-2××1+1=( －1)2
(9)=（）-2××+=
A9、（2020秋 南安市期中）分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2． （2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）．
【点拨】（1）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解析】解：（1）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2；
（2）原式＝（x+y）2﹣4（x+y）+4＝（x+y﹣2）2．
A10、用简便方法计算:
（1） (2) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92； (3) 342＋34×32＋162．
解：（1）
（2）38.92－2×38.9×48.9＋48.92=（38.9-48.9）=100
(3) 342＋34×32＋162=342＋2×34×16＋162=（34+16）=2 500
【B培优综合】
B11、已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】
根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解．
【详解】
∵, ∴
即，
∴求得：，, ∴把和代入得：
故选：A
B12、已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．9或12
【分析】
先运用分组分解法进行因式分解，求出a，b的值，再代入求值即可．
【详解】
解：∵a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣10b+25）＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，
∴a＝2，b＝5，
∴当腰为5时，等腰三角形的周长为5+5+2＝12，
当腰为2时，2+2＜5，构不成三角形．
故选：C．
B13、（2020秋 内江期末）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，
则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc化为2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2，再应用完全平方公式，可得：2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2，然后把a、b、c的值代入，求出算式的值是多少即可．
【解析】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+22]÷2
＝6÷2
＝3
故选：D．
B14、关于的多项式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】
利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可．
【详解】
解：原式＝
∵，，∴原式≥－1，∴原式的最小值为－1，
故选A．
B15、（2020·河南八年级期中）如果，，是三角形的三边，并且满足等式，试确定三角形的形状
【答案】等边三角形
【分析】本题考查的是非负数的性质的应用，完全平方公式的应用，等边三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
由，可得：从而可得：利用非负数的性质可得：从而可得答案．
解：，
三角形是等边三角形．
B16、（2020春 郏县期末）阅读理解
我们知道：多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：
a2+6a+8＝（a+3）2﹣1＝（a+2）（a+4）．
请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣27； （2）a2+3a﹣28； （3）x2﹣（2n+1）x+n2+n．
【分析】根据题目的条件，先将多项式凑成完全平方的形式，再根据实际情况解答．
【解析】（1）x2﹣6x﹣27＝x2﹣6x+9﹣36＝（x﹣3）2﹣62＝（x﹣3﹣6）（x﹣3+6）＝（x+3）（x﹣9）；
（2）a2+3a﹣28＝a2+3a+（）2﹣（）2﹣28＝（a+）2 -
＝（a）（a），
＝（a﹣4）（a+7）；
（3）x2﹣（2n+1）x+n2+n，
＝x2﹣（2n+1）x+（n+）2﹣（n+）2+n2+n，
＝（x﹣n-）2﹣（）2，
＝（x﹣n--）（x﹣n-+），
＝（x﹣n﹣1）（x﹣n）．
B17、（2021春 仪征市期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　 　．
A．提取公因式； B．平方差公式；C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）从第三步的结果得出结论；
（2）观察最后结果中的x2﹣4x+4是否还能因式分解，得出结论；
（3）设x2+2x＝y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解．
【解析】（1）由y2+8y+16＝（y+4）2得出运用了两数和的完全平方公式，
故选C．
（2）∵x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴分解不彻底，（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4．
故答案为：不彻底；（x﹣2）4．
（3）设x2+2x＝y，
原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2＝[（x+1）2]2＝（x+1）4．
【C拔尖拓展】
C18、（2020·江苏连云港市·九年级月考）（阅读材料）
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4)
②求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2；
由于(x+3) 2≥0，
所以(x+3) 2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　；
(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；
(3)用配方法因式分解：x4+4；
(4)求4x2+4x+3的最小值．
【分析】本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解题的关键．
(1)由 从而可得答案；
(2)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而可得答案；
(3)由化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可；
(4)由 化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可．
解：(1) 故答案为：
(2)
(3)
(4)
的最小值是
答案：(1)；(2) ；(3) ；(4)
C19、（2021秋 莱阳市期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝m，
则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　 　；
（2）因式分解：9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1；
（3）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81．
【分析】（1）把（x﹣y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）把（x﹣2）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（3）令A＝x2﹣6x，因式分解后代入即可将原式因式分解．
【解析】（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2，
令x﹣y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x﹣y＝m代入，得原式＝（x﹣y+1）2，
故答案为：（x﹣y+1）2；
（2）9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1，
令x﹣2＝n，则原式＝9n2﹣6n+1＝（3n﹣1）2．
再将x﹣2＝n代入，得原式＝（3x﹣6﹣1）2＝（3x﹣7）2；
（3）令A＝x2﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+9）2，
故（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+9）2＝（x2﹣6x+9）2＝（x﹣3）4．