2021—2022学年苏科版数学七年级下册9.5.4提公因式法与公式法因式分解的综合运用课后补充习题分层练（Word版含答案）

9.5.4提公因式法与公式法因式分解的综合运用-课后补充习题分层练
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)
【A夯实基础】
A1、（2021春 遵化市期末）我们所学的多项式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；
③完全平方公式法．现将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
A2、（2021春 乐亭县期末）下列各式能用公式法因式分解的是（　　）
A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2+4xy﹣y2 D．x2+xy+y2
A3、（2021·湖南邵阳·）因式分解：______．
A4、（2020春 都江堰市校级期中）把多项式m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）因式分解，结果正确的是（　　）
A．（a﹣2）（m2﹣m） B．m（a﹣2）（m+1）
C．m（a﹣2）（m﹣1） D．m（2﹣a）（m+1）
A5、下列各因式分解正确的是（ ）
A．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2
C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2 D．x2﹣4x=x（x+2）（x﹣2）
A6、把下列各式进行因式分解：
（1）x﹣xy2； （2）9x3﹣18x2+9x； （3）4x2﹣； （4）4a﹣4a2﹣1．
A7、分解因式：
（1） （2） （3）
A8、分解因式
（1） （2） （3）
A9、（2021秋 通州区期末）分解因式：
（1）2x2﹣8y2； （2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2．
A10、（2021·广西）因式分解：
（1）； （2）．
【B培优综合】
B11、下列各式中：①，②， ③，④中，分解因式正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
B12、（2021秋 无锡期末）若x2+x﹣2＝0，则x3+2x2﹣x+2020＝　 　．
B13、若x，y满足,不解方程组，求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值=________．
B14、（2021秋 淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为　 　．
B15、（2021春 广陵区校级期中）d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4，则当x2﹣2x﹣4＝0时，d＝　 　．
B16、观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y） (直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
① ②
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
【C拔尖拓展】
C17、（2021·全国）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
C18、阅读理解：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
迁移应用：（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；
（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），长方形AEFG的面积是，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
9.5.4提公因式法与公式法因式分解的综合运用-课后补充习题分层练
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)（解析）
【A夯实基础】
A1、（2021春 遵化市期末）我们所学的多项式因分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；
③完全平方公式法．现将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式得出答案．
【解析】（x﹣y）3+4（y﹣x）
＝（x﹣y）3﹣4（x﹣y）
＝（x﹣y）[（x﹣y）2﹣4]
＝（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2），
故将多项式（x﹣y）3+4（y﹣x）进行因式分解，使用的方法有：①提公因式法；②平方差公式法；
故选：A．
A2、（2021春 乐亭县期末）下列各式能用公式法因式分解的是（　　）
A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．4x2+4xy﹣y2 D．x2+xy+y2
【分析】根据平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，进行分析即可．
【解析】A、﹣x2+y2可以用平方差分解，故此选项符合题意；
B、﹣x2﹣y2不能用平方差分解，故此选项不符合题意；
C、4x2+4xy﹣y2不能用完全平方分解，故此选项不符合题意；
D、x2+xy+y2不能用完全平方分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
A3、（2021·湖南邵阳·）因式分解：______．
【答案】
【分析】提公因式与平方差公式相结合解题．
【详解】解：，
故答案为：．
A4、（2020春 都江堰市校级期中）把多项式m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）因式分解，结果正确的是（　　）
A．（a﹣2）（m2﹣m） B．m（a﹣2）（m+1）
C．m（a﹣2）（m﹣1） D．m（2﹣a）（m+1）
【点拨】直接提取公因式a（a﹣2），进而分解因式即可．
【解析】解：m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）
＝m（a﹣2）（m﹣1）．
故选：C．
A5、下列各因式分解正确的是（ ）
A．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2
C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2 D．x2﹣4x=x（x+2）（x﹣2）
【解析】
根据完全平方公式与平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解：
A、﹣x2+（﹣2）2=﹣x2+4=（2﹣x）（2+x），故本选项错误；
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式，不能利用公式分解，故本选项错误；
C、4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2，故本选项正确；
D、x2﹣4x=x（x﹣4），故本选项错误．
故选C．
A6、把下列各式进行因式分解：
（1）x﹣xy2； （2）9x3﹣18x2+9x； （3）4x2﹣； （4）4a﹣4a2﹣1．
【点拨】（1）先提公因式x，再利用平方差公式进行分解即可；
（2）先提公因式9x，再利用完全平方公式进行分解即可；
（3）直接利用平方差公式；
（4）先提公因式﹣1，再利用完全平方公式进行分解即可；
【解析】解：（1）x﹣xy2＝x（1﹣y2）＝x（1+y）（1﹣y）；
（2）9x3﹣18x2+9x＝9x（x2﹣2x+1）＝9x（x﹣1）2；
（3）4x2﹣＝（2x+）（2x﹣）；
（4）4a﹣4a2﹣1＝﹣（4a2﹣4a+1）＝﹣（2a﹣1）2．
A7、分解因式：
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】本题考查因式分解，解题关键是因式分解多种方法综合运用，注意分解要彻底．
通过提公因式和公式法及十字相乘法求解．
【详解】
解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
A8、分解因式
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】本题考查分解因式，涉及提公因式、平方差公式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
（1）利用完全平方公式进行分解因式；
（2）先提公因式再利用平方差公式分解因式；
（3）先提公因式再利用十字相乘法进行分解因式．
【详解】
解：（1）
（2） ；
（3）．
A9、（2021秋 通州区期末）分解因式：
（1）2x2﹣8y2； （2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2．
【分析】（1）先提公因式，再逆用平方差公式．
（2）逆用完全平方公式，再进行化简．
【解析】（1）2x2﹣8y2
＝2（x2﹣4y2）
＝2（x+2y）（x﹣2y）．
（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2
＝[2+3（m﹣1）]2
＝（3m﹣1）2．
A10、（2021·广西）因式分解：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式、平方差公式、完全平方公式、整体思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．（1）先提公因式，再利用平方差公式解题；
（2）先将化为，再利用整体法，结合完全平方公式即可解题．
【详解】解：（1）
（2）原式．
【B培优综合】
B11、下列各式中：①，②， ③，④中，分解因式正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【分析】
直接利用平方差公式和完全平方公式分解因式得出答案即可．
【详解】
解：①，无法分解因式，故此选项错误；
②，正确；
③，故此选项错误；
④，故此选项正确；
所以，正确的答案有2个，
故选：B．
B12、（2021秋 无锡期末）若x2+x﹣2＝0，则x3+2x2﹣x+2020＝　 　．
【分析】根据条件得x2＝2﹣x，x2+x＝2，然后整体代入求值即可．
【解析】∵x2+x﹣2＝0，∴x2＝2﹣x，x2+x＝2，
∴原式＝x2（x+2）﹣x+2020＝（2﹣x）（2+x）﹣x+2020＝4﹣x2﹣x+2020
＝2024﹣（x2+x）＝2024﹣2＝2022，
故答案为：2022．
B13、若x，y满足,不解方程组，求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值=________．
解：7y(x－3y)2－2(3y－x)3
＝7y(x－3y)2＋2(x－3y)3
＝(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]
＝(x－3y)2(2x＋y)．
当时，原式＝12×6＝6.
B14、（2021秋 淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为　 　．
【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．
【解析】因式分解x2+ax+b时，
∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，
又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4，
∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，
因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），
故答案为：（x﹣6）（x+2）．
B15、（2021春 广陵区校级期中）d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4，则当x2﹣2x﹣4＝0时，d＝　 　．
【分析】先将x2﹣2x﹣4＝0化为x2﹣2x＝4，再将d化为x2（x2﹣2x）+x2﹣2x﹣8x﹣4后整体代入计算可求解．
【解析】∵x2﹣2x﹣4＝0，∴x2﹣2x＝4，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4＝x2（x2﹣2x）+x2﹣2x﹣8x﹣4
＝4x2+4﹣8x﹣4＝4（x2﹣2x）＝4×4＝16．
故答案为16．
B16、观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y） (直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
① ②
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
【答案】（1）①（d﹣c）（a﹣b）；②（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）；（2）（1+x）n+1
【分析】本题主要考查了多项式因式分解的分组分解法．掌握分组后直接提起公因式和分组后直接运用公式，是解决本题的关键．
（1）①利用分组后直接提公因式分解；
②利用分组后直接运用公式分解；
（2）把添加括号，利用分组后直接提取公因式，反复运算得结论．
【详解】
解：（1）①原式
②原式
（2）原式
【C拔尖拓展】
C17、（2021·全国）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
【答案】（1）；（2）；（3）4．
【分析】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；
（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；
（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）原式；
（2）
当时，有最小值；
（3）
，解得
则．
C18、阅读理解：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
迁移应用：（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；
（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），长方形AEFG的面积是，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）设a＝2020﹣x，b＝x﹣2022，则：a+b＝﹣2，a2+b2＝10．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴10+2ab＝（﹣2）2．
∴ab＝﹣3．∴（2020﹣x）（x﹣2022）＝﹣3．
（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，∴AE﹣AG＝1．
∵长方形AEFG的面积是，∴AE AG=．
∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE AG+AG2，
∴AE2+AG2＝1．
∵（AE+AG）2＝AE2+2AE AG+AG2，
∴（AE+AG）2，
∴AE+AG=．
∴S阴影部分＝S正方形GFIH﹣S正方形AGJK＝AE2﹣AG2＝（AE+AG）（AE﹣AG）
=×1=．