2021—2022学年苏科版数学七年级下册9.5多项式的因式分解综合练（Word版含答案）

9.5因式分解 综合练
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)
一、选择题
1、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2、对于：①；②；③；
④．其中因式分解正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
3、下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（　　）
①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x3﹣2x﹣1；④m2﹣m+；⑤4x4﹣x3+．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、若，则代数式的值为（ ）
A． B．9 C．7 D．5
5、多项式与的公因式是（　　　）
A． B． C． D．
6、在中，若有一个因式为，则k的值为（　　　）
A．2 B． C．6 D．
7、若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8、计算所得的结果是（ ）．
A． B． C． D．-2
9、（2020 眉山）已知a2+b2＝2a﹣b﹣2，则3a﹣b的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
10、在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取， 时，则各个因式的值为， ， ，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取， 时，用上述方法产生的密码不可能是（　 　）
A．201030 B．201010 C．301020 D．203010
二、填空题
11、因式分解_____________．
12、（2020春 杭州期中）因式分解4（a﹣b）2﹣8a+8b的结果是　 　．
13、（2020秋 金水区校级月考）若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　 　．
14、（2020秋 莫旗期末）若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝　　．
15、如果y＝x2－3，y＝－x2＋3，那么x4－y2＝_____．
16、（2021·河南汝州·八年级期末）边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则 的值为 ___．
17、已知可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61、63 B．61、65 C．61、67 D．63、65
18、若三角形的三边长分别为、、，满足，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
三、解答题
19、分解因式：
（1） （2） (3)
(4)． (5)（x﹣y）2+6（y﹣x）+9 (6)2a3b﹣4a2b2+2ab3．
（7）； （8）． (9)．
20、将下列多项式进行因式分解：
（1） （2）
21、阅读例题，回答问题：
例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝(x+3)(x+n)，则x2﹣4x+m＝x2+(n+3)x+3n．
∴, ∴, ∴另一个因式为x﹣7，m＝21．
仿照以上方法解答下面的问题：
已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k的值．
22、当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解．
23、（2020·浙江七年级期中）利用因式分解计算：
（1）
（2）
（3）
24、（2019秋 莱山区期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
25、（2021·湖南涟源·七年级月考）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
则原式（第一步）（第二步）（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
26、教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式=x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
例如：求代数式2x2+4x-6的最小值．
原式=2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8．可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8．
（1）分解因式：=______．
（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数．
（3）当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
9.5因式分解 综合练
-2021-2022学年七年级数学下册 (苏科版)（解析）
一、选择题
1、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【详解】
解：A. 没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
B. 没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
C. 没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
D. 把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．
2、对于：①；②；③；
④．其中因式分解正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】D
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
解：①，此项错误；
②，此项正确；
③，此项错误；
④，此项正确．
故选D．
3、下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（　　）
①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x3﹣2x﹣1；④m2﹣m+；⑤4x4﹣x3+．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】利用完全平方公式判断即可．
【解析】解：①x2﹣10x+25＝（x﹣5）2，不符合题意；
②4a2+4a﹣1，符合题意；
③x3﹣2x﹣1，符合题意；
④m2﹣m+＝（m﹣）2，不符合题意；
⑤4x4﹣x3+，符合题意．
故选：C．
4、若，则代数式的值为（ ）
A． B．9 C．7 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查因式分解，提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键．
将代数式前两项提公因式得到，将代入上式，得到的式子再提公因式-3，代入计算即可．
【详解】
解：＝＝＝
＝＝＝．
故选：．
5、多项式与的公因式是（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：∵，
，
∴多项式与的公因式是．
故选：B．
6、在中，若有一个因式为，则k的值为（　　　）
A．2 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
根据因式分解的意义可设，再利用整式乘法计算后得，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解．
【详解】
解：设，
∵
，
∴，， ，
解得，，．
故选：A．
7、若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】
先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．
【详解】
解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
8、计算所得的结果是（ ）．
A． B． C． D．-2
【答案】A
【分析】
直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．
【详解】
( 2)2020+( 2)2021=( 2)2020×(1 2) = 22020 ．
故选：A．
9、（2020 眉山）已知a2+b2＝2a﹣b﹣2，则3a﹣b的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【点拨】先将原方程化成非负数和为0的形式，再根据非负数的性质求得a、b，进而代入代数式求得结果．
【解析】解：∵a2+b2＝2a﹣b﹣2，
∴a2﹣2a+1+b2+b+1＝0，
∴，
∴a﹣1＝0，b+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴3a﹣b＝3+1＝4．
故选：A．
10、在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取， 时，则各个因式的值为， ， ，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取， 时，用上述方法产生的密码不可能是（　 　）
A．201030 B．201010 C．301020 D．203010
【答案】B
【详解】
解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），
当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，
组成密码的数字应包括20，30，10，
所以组成的密码不可能是201010．
故选B．
二、填空题
11、因式分解_____________．
【答案】
【分析】
先提公因式，再利用平方差公式分解．
【详解】
解：
=
=
故答案为：．
12、（2020春 杭州期中）因式分解4（a﹣b）2﹣8a+8b的结果是　 　．
【点拨】直接提公因式4（a﹣b）即可．
【解析】解：原式＝4（a﹣b）2﹣（8a﹣8b），
＝4（a﹣b） （a﹣b）﹣4（a﹣b）×2，
＝4（a﹣b）（a﹣b﹣2），
故答案为：4（a﹣b）（a﹣b﹣2）．
13、（2020秋 金水区校级月考）若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　 　．
【点拨】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解析】解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴k﹣1＝±12，
解得：k＝13或k＝﹣11，
故选：13或﹣11．
14、（2020秋 莫旗期末）若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝　　．
【点拨】把m3n+mn3+2m2n2因式分解后，再根据完全平方公式解答即可．
【解析】解：∵m+n＝2，mn＝1，
∴m3n+mn3+2m2n2
＝mn（m2+2mn+n2）
＝mn（m+n）2
＝1×22
＝4．
故答案为：4．
15、如果y＝x2－3，y＝－x2＋3，那么x4－y2＝_____．
【答案】9
【分析】首先将x4－y2分解为（y-x2）（y+x2），再将y＝x2－3，y＝－x2＋3化简，整体代入求值.
【详解】解：x4－y2=( x2- y)( y+x2) =-（y-x2）（y+x2）.
又∵y＝x2－3，y＝－x2＋3，
∴y-x2=-3，y+x2=3.
∴原式=-（-3）3=9．
故答案为:9．
16、（2021·河南汝州·八年级期末）边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则 的值为 ___．
【答案】490
【分析】根据题意可得： ， ，再将代数式进行因式分解，代入即可求解．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，∴ ， ，
∴ ．故答案为：490．
17、已知可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61、63 B．61、65 C．61、67 D．63、65
【答案】D
【分析】由，多次利用平方差公式化简，可解得.
【详解】解：原式，
∴这两个数是.
选D.
18、若三角形的三边长分别为、、，满足，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】首先将原式变形为，可以得到或或，进而得到或．从而得出△ABC的形状．
【详解】∵，
∴，
∴，
即，
∴或或(舍去)，
∴或，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：D．
三、解答题
19、分解因式：
（1） （2） (3)
(4)． (5)（x﹣y）2+6（y﹣x）+9 (6)2a3b﹣4a2b2+2ab3．
（7）； （8）． (9)．
【答案】（1）；（2） (3)．
(4) (5)（x﹣y﹣3）2 (6)2ab（a﹣b）2
（7）； （8）． (9)
【分析】（1）提取公因式；
（2）先利用平方差公式因式分解再利用完全平方公式因式分解．
(3)利用提公因式法分解因式即可得．
(4)根据提公因式法及平方差公式可进行因式分解．
(5)直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
(6)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
（7）运用完全平方公式分解即可求解；
（8）先提公式，再运用平方差公式分解即可求解.
(9)本题考查了十字相乘法分解因式，先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．
首先提公因式3x，然后利用十字相乘法即可分解．
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式．
(3)原式．
(4)原式=；
(5)（x﹣y）2+6（y﹣x）+9＝（x﹣y）2﹣6（x﹣y）+9＝（x﹣y﹣3）2．
(6)原式＝2ab（a2﹣2ab+b2）＝2ab（a﹣b）2
（7）=；
（8）===．
(9)
20、将下列多项式进行因式分解：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可；
（2）先化简，再利用平方差公式分解因式，即可．
【详解】
解：（1）原式；
(2)原式．
21、阅读例题，回答问题：
例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝(x+3)(x+n)，则x2﹣4x+m＝x2+(n+3)x+3n．
∴, ∴, ∴另一个因式为x﹣7，m＝21．
仿照以上方法解答下面的问题：
已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k的值．
【答案】另一个因式为(x+4)，k的值为20．
【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解．
设另一个因式为(x+n)，得2x2+5x﹣k＝(2x﹣3)(x+n)＝2x2+(2n﹣3)x﹣3n，可知2n﹣3＝5，k＝3n，继而求出n和k的值及另一个因式．
【详解】解：设另一个因式为(x+n)，得2x2+3x﹣k＝(2x﹣5)(x+n)＝2x2+(2n﹣5)x﹣5n，
则, 解得：n＝4，k＝20，
故另一个因式为(x+4)，k的值为20．
22、当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解．
【答案】，．
【分析】先将x的值代入，解关于k的一元一次方程求出k的值，再综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解即可得．
【详解】当时，多项式的值为0，
即，
解得；
则原多项式为，
因式分解得：原式．
23、（2020·浙江七年级期中）利用因式分解计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）5050；（2）564；（3）
【分析】（1）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）原式第二项分子分母乘以52-1，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
（3）原式计算后，提取公因式，约分即可得到结果．
【详解】解：（1）1002-992+982-972+…+42-32+22-12
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2-1）（2+1）
=100+99+98+97+…+4+3+2+1=101×50=5050；
（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1） … （532+1）=1+24××（52+1）（54+1）（58+1） … （532+1）
=1+564-1=564；
（3）===
24、（2019秋 莱山区期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
【点拨】本题考查因式分解的应用、非负数的性质﹣偶次方，解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式．
（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；
（2）根据a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．
【解析】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，∴（x+y）2+（y+1）2＝0，
∴x+y＝0，y+1＝0，解得，x＝1，y＝﹣1，
∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；
（2）∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，
∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得b2+4b+c2﹣6c+13＝0，
∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，∴b+2＝0，c﹣3＝0，解得，b＝﹣2，c＝3，
∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，
∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．
25、（2021·湖南涟源·七年级月考）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
则原式（第一步）（第二步）（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）不彻底；（x 2）4；（3）（）4
【分析】本题考查了因式分解，主要是考查学生对于完全平方公式和换元法进行因式分解的掌握情况，要求学生在换元分解，回代之后还要再观察是否能够继续进行因式分解，很多学生会忘记继续分解，是一个易错点．
（1）从第三步的结果得出结论；（2）观察最后结果中的x2 4x＋4是否还能因式分解，得出结论；
（3）设＝y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解．
【详解】解：（1）由y2＋8y＋16＝（y＋4）2得出运用了两数和的完全平方公式，故选：C;
（2）∵x2 4x＋4＝（x 2）2，∴分解不彻底，（x2 4x＋4）2＝[（x 2）2]2＝（x 2）4．
故答案为：不彻底；（x 2）4．
（3）设＝y，
原式＝y（y＋18）＋81＝y2＋18y＋81＝（y＋9）2＝（＋9）2＝[（）2]2＝（）4．
26、教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式=x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
例如：求代数式2x2+4x-6的最小值．
原式=2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8．可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8．
（1）分解因式：=______．
（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数．
（3）当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当，时，多项式有最小值，最小值为5．
【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，再运用平方差公式进行分解因式；
（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进一步得最小值．
【详解】
（1）；
（2），
∵，
∴，∴原式的值总为正数；
（3）
，
当，即，时，原式取最小值5．
∴当，时，多项式有最小值5．