第9章 整式乘法与因式分解 单元综合练习题(培优)
2021-2022学年苏科版七年级数学下册
一、选择题
1、(2021春 下城区期中)下列由左到右边的变形中,是因式分解的是( )
A.(x﹣3)(x+3)=x2﹣9 B.x2﹣1=x(x﹣)
C.x2﹣16+5x=(x﹣4)(x+4)+5x D.4a﹣2a2=2a(2﹣a)
2、下列计算正确的是( )
A.(2x+y)(3x﹣y)=6x2﹣y2 B.(﹣x+2y)2=x2﹣4xy+4y2
C.(m+n)3(m+n)2=m5+n5 D.(2x﹣y)2=4x2﹣xy+y2
3、(2019春 西湖区校级月考)下列各式中,不能用完全平方公式分解的个数为( )
①x2﹣10x+25;②4a2+4a﹣1;③x3﹣2x﹣1;④m2﹣m+;⑤4x4﹣x3+.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4、若多项式x2+x+b与多项式x2-ax-2的乘积中不含x2和x3项,则-2的值是( )
A.-8 B.-4 C.0 D.-
5、若(x﹣3y)2=25,xy=12,则(x+3y)2的值是( )
A.169 B.196 C.144 D.15
6、(2021·甘肃定西市·八年级期末)已知,则 =( )
A. B. C. D.或
7、已知m2=4n+a,n2=4m+a,m≠n,则m2+2mn+n2的值为( )
A.16 B.12 C.10 D.无法确定
8、在数学中,为了书写简便,18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”.如记,;
已知,则m的值是( )
A.40 B.-70 C.-40 D.-20
9、(2020秋 内江期末)已知a=2019x+2018,b=2019x+2019,c=2019x+2020,
则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10、(2021·湖北武汉·八年级期末)在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2.当AD比AB大3时,S2﹣S1的值为( )
A.3a B.3b C.3a﹣b D.3b﹣a
二、填空题
11、(2020·郁南县中学初二月考)分解因式(x﹣1)(x﹣3)+1=_______ ._______
12、如果9x2﹣kx+16能写成一个完全平方的形式,那么k等于 .
13、(2021·浙江东阳·七年级期末)将16y2+1再加上一个整式,使它成为一个完全平方式,则加上的整式为______.
14、如果(a+b+1)(a+b﹣1)=3,那么a+b的值为 .
15、已知:a2﹣7a+1=0,则a2+= .
16、(2020春 越城区校级期中)已知a,b是常数,若化简的(﹣x+a)(2x2+bx﹣3)结果不含x的二次项,则36a﹣18b﹣1的值为 .
17、已知(x﹣2016)2+(x﹣2018)2=34,则(x﹣2017)2的值是 .
18、(2021·河南郑州)有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放,构造出一个正方形,其中阴影部分面积为35;其中5个如图2摆放,构造出一个长方形,其中阴影部分面积为102(各个小长方形之间不重叠不留空),则每个小长方形的面积为
三、解答题
19、(2021·全国八年级课时练习)计算:
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6);
(7); (8).
20、(2020沾化区期末)分解因式:
(1)4xy2﹣4x2y﹣y3 (2)9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x) (3)16(a﹣b)2﹣9(a+b)2
21、(2021·杭州市十三中教育集团七年级期中)
先化简,再求值:(m﹣4n)2﹣4n(3n﹣2m)﹣3(﹣2n+3m)(3m+2n),其中13m2﹣8n2﹣6=0.
22、(1)已知x2+x﹣1=0,求x﹣和x3+2x2+3的值;
(2)当多项式x2﹣4xy+5y2﹣6y+13取最小值时,求(﹣x﹣y)2﹣(﹣y+x)(x+y)﹣2xy的值.
23、(2021·安徽濉溪·七年级期末)观察下列各式:
……
(1)根据以上规律,______;
(2)你能否由此归纳出一般规律:______;
(3)根据以上规律求的结果.
24、(20-21河南郑州高新区枫杨外国语中学七下第一次月考)阅读材料题:我们知道a2≥0,所以代数式a2的最小值为0.学习了多项式乘法中的完全平方公式,可以逆用公式,即用a2±2ab+b2=(a+b)2来求一些多项式的最小值.
例如,求x2+6x+3的最小值问题.
解:∵x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=(x+3)2﹣6,
又∵(x+3)2≥0,
∴(x+3)2﹣6≥﹣6,
∴x2+6x+3的最小值为﹣6.
请应用上述思想方法,解决下列问题:
(1)探究:x2﹣4x+5=(x )2+ ;
(2)代数式﹣x2﹣2x有最 (填“大”或“小”)值为 ;
(3)应用:比较代数式:x2﹣1与2x﹣3的大小:
(4)如图,矩形花圃一面靠墙(墙足够长),另外三面所围成的提栏的总长是40m,楼栏如何围能使花圃面积最大?最大面积是多少?
25、(2021·海口市第十四中学八年级月考)数学课上,我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式,如图1可以解释完全平方公式:.
(1)如图2(图中各小长方形大小均相等),请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积(不化简):
方法1:_________________ ;方法2∶_________________.
(2)由(1)中两种不同的方法,你能得到怎样的等式
(3)①已知,,请利用(2)中的等式,求的值.
②已知,,请利用(2)中的等式,求的值.
26、我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个等式.例如图1可以得到(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.请解答下列问题:
(1)根据图2,完成数学等式:(2a)2= .
(2)观察图3,写出图3中所表示的等式: = .
(3)若a=7x+5,b=﹣4x+2,c=﹣3x+4,且a2+b2+c2=37,请利用(2)所得的结论求:ab+bc+ac的值.
第9章 整式乘法与因式分解 单元综合练习题(培优)
2021-2022学年苏科版七年级数学下册(解析)
一、选择题
1、(2021春 下城区期中)下列由左到右边的变形中,是因式分解的是( )
A.(x﹣3)(x+3)=x2﹣9 B.x2﹣1=x(x﹣)
C.x2﹣16+5x=(x﹣4)(x+4)+5x D.4a﹣2a2=2a(2﹣a)
【点拨】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式,可得答案.
【解析】解:A、(x﹣3)(x+3)=x2﹣9,是整式的乘法,不是因式分解,故本选项不合题意;
B、x2﹣1=x(x﹣),是分式,不是整式,不是因式分解,故本选项不合题意;
C、x2﹣16+5x=(x﹣4)(x+4)+5x,没把一个多项式转化成几个整式积的形式,不是因式分解,故本选项不合题意;
D、4a﹣2a2=2a(2﹣a),把一个多项式转化成几个整式积的形式,是因式分解,故本选项符合题意;
故选:D.
2、下列计算正确的是( )
A.(2x+y)(3x﹣y)=6x2﹣y2 B.(﹣x+2y)2=x2﹣4xy+4y2
C.(m+n)3(m+n)2=m5+n5 D.(2x﹣y)2=4x2﹣xy+y2
【分析】分别根据多项式乘多项式、完全平方公式、同底数幂的乘法法则逐一判断即可.
【解答】解:A.(2x+y)(3x﹣y)=6x2﹣2xy+3xy﹣y2=6x2+xy﹣y2,此选项计算错误;
B.(﹣x+2y)2=x2﹣4xy+4y2,此选项计算正确;
C.(m+n)3(m+n)2=(m+n)5,此选项计算错误;
D.(2x﹣y)2=4x2﹣2xy+y2,此选项计算错误;
故选:B.
3、(2019春 西湖区校级月考)下列各式中,不能用完全平方公式分解的个数为( )
①x2﹣10x+25;②4a2+4a﹣1;③x3﹣2x﹣1;④m2﹣m+;⑤4x4﹣x3+.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【点拨】利用完全平方公式判断即可.
【解析】解:①x2﹣10x+25=(x﹣5)2,不符合题意;
②4a2+4a﹣1,符合题意;
③x3﹣2x﹣1,符合题意;
④m2﹣m+=(m﹣)2,不符合题意;
⑤4x4﹣x3+,符合题意.
故选:C.
4、若多项式x2+x+b与多项式x2-ax-2的乘积中不含x2和x3项,则-2的值是( )
A.-8 B.-4 C.0 D.-
【答案】C
【分析】本题考查多项式乘多项式的运算,注意当要求多项式中不含有哪一项时,应让这一项的系数为0.
把两个多项式的乘积展开,找到所有x2和x3项的系数,令他们分别为0,解即可求出ab的值,代入所求代数式再求值即可.
【详解】解:∵(x2+x+b)(x2-ax-2),
=x4-ax3-2x2+x3-ax2-2x+bx2-abx-2b,
=x4-(a-1)x3-(a-b+2)x2-(ab+2)x-2b,
又∵乘积不含x2和x3项,
∴a-1=0,a-b+2=0,
则a=1,b=3,
∴ 2(a )2=-2×(1-1)2=0.
故选C.
5、若(x﹣3y)2=25,xy=12,则(x+3y)2的值是( )
A.169 B.196 C.144 D.15
【分析】由完全平方公式得出(x+3y)2=(x﹣3y)2+12xy,即可得出结果.
【解答】解:(x+3y)2=(x﹣3y)2+12xy=25+12×12=169;
故选:A.
6、(2021·甘肃定西市·八年级期末)已知,则 =( )
A. B. C. D.或
【分析】首先提公因式,再利用完全平方公式分解因式,然后将代入计算即可.
【详解】解:
当时,原式,
故选:B.
7、已知m2=4n+a,n2=4m+a,m≠n,则m2+2mn+n2的值为( )
A.16 B.12 C.10 D.无法确定
【分析】考查了因式分解的应用,关键是得到m+n=﹣4,以及整体思想的应用.
将m2=4n+a与n2=4m+a相减可得(m﹣n)(m+n+4)=0,根据m≠n,可得m+n+4=0,即m+n=﹣4,再将m2+2mn+n2变形为(m+n)2,整体代入即可求解.
【解答】解:将m2=4n+a与n2=4m+a相减得m2﹣n2=4n﹣4m,
(m+n)(m﹣n)=﹣4(m﹣n),
(m﹣n)(m+n+4)=0,
∵m≠n,
∴m+n+4=0,即m+n=﹣4,
∴m2+2mn+n2=(m+n)2=(﹣4)2=16.
故选:A.
8、在数学中,为了书写简便,18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”.如记,;
已知,则m的值是( )
A.40 B.-70 C.-40 D.-20
【答案】C
【分析】规律探索,多项式的定义,掌握整式的运算法则.
利用题中的新定义计算可知
=(x+2)(x-1)+(x+3)(x-2)+(x+4)(x-3)+(x+5)(x-4)=,整理可得.
【详解】利用题中的新定义计算可知
=(x+2)(x-1)+(x+3)(x-2)+(x+4)(x-3)+(x+5)(x-4)=,
整理得:==,
则m=-40.
故选C
9、(2020秋 内江期末)已知a=2019x+2018,b=2019x+2019,c=2019x+2020,
则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【点拨】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc化为2(a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc)÷2,再应用完全平方公式,可得:2(a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc)÷2=[(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2]÷2,然后把a、b、c的值代入,求出算式的值是多少即可.
【解析】解:∵a=2019x+2018,b=2019x+2019,c=2019x+2020,
∴a﹣b=﹣1,b﹣c=﹣1,c﹣a=2,
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
=2(a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc)÷2
=[(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2]÷2
=[(﹣1)2+(﹣1)2+22]÷2
=6÷2
=3
故选:D.
10、(2021·湖北武汉·八年级期末)在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2.当AD比AB大3时,S2﹣S1的值为( )
A.3a B.3b C.3a﹣b D.3b﹣a
【答案】B
【分析】本题考查列代数式和整式的混合运算,解题的关键是掌握利用割补法表示阴影部分面积以及整式的运算法则.利用割补法表示出和,然后作差,利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果.
【详解】解:∵,
,
∴
∵AD比AB大3,∴,∴.
故选:B.
二、填空题
11、(2020·郁南县中学初二月考)分解因式(x﹣1)(x﹣3)+1=_______ ._______
【答案】(x﹣2)2;
【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则,合并同类项,完全平方公式的应用,能选择适当的方法分解因式时解此题的关键,注意:分解因式的方法有:提取公因式法,公式法,因式分解法等.
(1)先根据多项式乘以多项式法则算乘法,合并同类项,最后根据完全平方公式分解即可.(2) 先根据十字相乘法,再利用平方差公式即可因式分解.
【解析】(1)(x-1)(x-3)+1=x2-3x-x+3+1=x2-4x+4=(x-2)2,
故答案为(x-2)2.
(2)
故答案为:.
12、如果9x2﹣kx+16能写成一个完全平方的形式,那么k等于 .
【分析】本题考查了完全平方式,能熟记完全平方式是解此题的关键,注意:完全平方式有:a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2.
根据完全平方式得出﹣kx=±2 3x 4,再求出答案即可.
【解答】解:∵9x2﹣kx+16能写成一个完全平方的形式,
∴﹣kx=±2 3x 4,
解得:k=±24,
故答案为:24或﹣24.
13、(2021·浙江东阳·七年级期末)将16y2+1再加上一个整式,使它成为一个完全平方式,则加上的整式为______.
【答案】8y,-8y,64y4
【分析】因为a2±2ab+b2=(a±b)2,由16y2+1=(4y)2+1,①当a2=(4y)2,b2=1,则a=4y,b=1,即可得出±2ab的值,即可得出答案;②当2ab=16y2,b2=1,即可得出a的值,即可得出a2的值即可得出答案.
【详解】解:∵16y2+1=(4y)2+1,∴(4y)2+8y+1=(4y+1)2,
∴(4y)2-8y+1=(4y-1)2,∴(8y2)2+16y2+1=64y4+16y2+1=(8y2+1)2,
故答案为:8y,-8y,64y4.
14、如果(a+b+1)(a+b﹣1)=3,那么a+b的值为 .
【分析】本题考查了平方差公式,整体思想的利用是解题的关键,需要把(a+b)看作一个整体.
将a+b看作整体,用平方差公式解答,求出a+b的值即可.
【解答】解:∵(a+b+1)(a+b﹣1)=3,
∴(a+b)2﹣12=3,
∴(a+b)2=4,
∴a+b=±2,
故答案为:±2.
15、已知:a2﹣7a+1=0,则a2+= .
【分析】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的基本性质和完全平方公式.
先根据已知方程得出a+=7,再两边平方即可得出答案.
【解答】解:∵a2﹣7a+1=0,∴a﹣7+=0,则a+=7,
∴(a+)2=49,∴a2+2+=49,则a2+=47,
故答案为:47.
16、(2020春 越城区校级期中)已知a,b是常数,若化简的(﹣x+a)(2x2+bx﹣3)结果不含x的二次项,则36a﹣18b﹣1的值为 .
【点拨】直接利用多项式乘多项式计算得出答案.
【解析】解:∵(﹣x+a)(2x2+bx﹣3)
=﹣2x3﹣bx2+3x+2ax2+abx﹣3a
=﹣2x3+(﹣b+2a)x2+(3+ab)x﹣3a,
则﹣b+2a=0,
故36a﹣18b﹣1
=18(2a﹣b)﹣1
=18×0﹣1
=﹣1.
故答案为:﹣1.
17、已知(x﹣2016)2+(x﹣2018)2=34,则(x﹣2017)2的值是 .
【分析】考查了完全平方公式,本题关键是把(x﹣2016)2+(x﹣2018)2=34变形为(x﹣2017+1)2+(x﹣2017﹣1)2=34,注意整体思想的应用.
先把(x﹣2016)2+(x﹣2018)2=34变形为(x﹣2017+1)2+(x﹣2017﹣1)2=34,把(x﹣2017)看作一个整体,根据完全平方公式展开,得到关于(x﹣2017)2的方程,解方程即可求解.
【解答】解:∵(x﹣2016)2+(x﹣2018)2=34,
∴(x﹣2017+1)2+(x﹣2017﹣1)2=34,
∴(x﹣2017)2+2(x﹣2017)+1+(x﹣2017)2﹣2(x﹣2017)+1=34,
2(x﹣2017)2+2=34,
2(x﹣2017)2=32,
(x﹣2017)2=16
故答案为16.
18、(2021·河南郑州)有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放,构造出一个正方形,其中阴影部分面积为35;其中5个如图2摆放,构造出一个长方形,其中阴影部分面积为102(各个小长方形之间不重叠不留空),则每个小长方形的面积为
【答案】8
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景,用代数式表示各个图形的面积,利用面积之间的关系得到答案是常用的方法.
设出长方形的长和宽,根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式,变形后得出答案.
【详解】解:设长方形的长为a,宽为b,由图1可得,(a+b)2-4ab=35,即a2+b2=2ab+35①,
由图2可得,(2a+b)(a+2b)-5ab=102,即a2+b2=51②,
由①②得,2ab+35=51,所以ab=8,即长方形的面积为8,故选:B.
三、解答题
19、(2021·全国八年级课时练习)计算:
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6);
(7); (8).
【答案】(1)3;(2);(3);(4);(5);(6);
(7);(8).
【分析】(1)先去括号,然后合并同类项即可;(2)利用平方差和完全平方公式先去括号,然后合并同类项即可;(3)先提取公因式,然后利用平方差公式求解即可;(4)利用平方差和完全平方公式先去括号,然后合并同类项即可;(5)利用平方差和完全平方公式求解即可;(6)利用完全平方公式求解即可;(7)利用平方差公式求解即可;(8)利用平方差公式求解即可.
【详解】解:(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8).
20、(2020沾化区期末)分解因式:
(1)4xy2﹣4x2y﹣y3 (2)9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x) (3)16(a﹣b)2﹣9(a+b)2
【点拨】(1)首先提取公因式﹣y,再利用完全平方公式分解因式得出答案;
(2)直接利用提取公因式(x﹣y),再利用平方差公式分解因式即可;
(3)直接利用平方差公式分解因式即可.
【解析】解:(1)4xy2﹣4x2y﹣y3=﹣y(﹣4xy+4x2+y2)=﹣y(2x﹣y)2;
(2)9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x)=(x﹣y)(9a2﹣4b2)=(x﹣y)(3a+2b)(3a﹣2b);
(3)16(a﹣b)2﹣9(a+b)2=[4(a﹣b)+3(a+b)][4(a﹣b)﹣3(a+b)]
=(7a﹣b)(a﹣7b).
21、(2021·杭州市十三中教育集团七年级期中)
先化简,再求值:(m﹣4n)2﹣4n(3n﹣2m)﹣3(﹣2n+3m)(3m+2n),其中13m2﹣8n2﹣6=0.
【答案】﹣26m2+16n2,-12
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简,再把已知整体代入得出答案.
【详解】解:原式=m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣3(9m2﹣4n2)
=m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣27m2+12n2=﹣26m2+16n2,
∵13m2﹣8n2﹣6=0,∴13m2﹣8n2=6,
∴原式=﹣2(13m2﹣8n2)=﹣2×6=﹣12.
22、(1)已知x2+x﹣1=0,求x﹣和x3+2x2+3的值;
(2)当多项式x2﹣4xy+5y2﹣6y+13取最小值时,求(﹣x﹣y)2﹣(﹣y+x)(x+y)﹣2xy的值.
【分析】此题主要考查了整式的化简求值,以及非负数的性质,关键是正确把代数式变形.
(1)x2+x﹣1=0中,首先把x移项,再两边同时除以x可得x﹣=﹣1;再由x2+x﹣1=0得x2+x=1,然后把式子x3+2x2+3变形代入即可;
(2)首先利用平方法可确定x、y的值,然后去括号合并同类项,化简后,再代入y的值即可.
【解答】解:(1)∵x2+x﹣1=0,∴x2﹣1=﹣x,∴x﹣=﹣1,
∵x2+x﹣1=0,∴x2+x=1,
x3+2x2+3=x(x2+x)+x2+3=x+x2+3=1+3=4.
(2)x2﹣4xy+5y2﹣6y+13=(x2﹣4xy+4y2)+(y2﹣6y+9)+4=(x﹣2y)2+(y﹣3)2+4,
当多项式x2﹣4xy+5y2﹣6y+13取最小值时y﹣3=0,x﹣2y=0,
∴y=3,x=6,
(﹣x﹣y)2﹣(﹣y+x)(x+y)﹣2xy,
=x2+2xy+y2﹣(x2﹣y2)﹣2xy,
=x2+2xy+y2﹣x2+y2﹣2xy,
=2y2,
当y=3时,原式=18.
23、(2021·安徽濉溪·七年级期末)观察下列各式:
……
(1)根据以上规律,______;
(2)你能否由此归纳出一般规律:______;
(3)根据以上规律求的结果.
【答案】(1);(2);(3).
【分析】(1)根据已知等式的规律即可求出结论;(2)根据已知等式的规律即可求出结论;
(3)将x=2,n=2018代入(2)的公式中即可求出结论.
【详解】解:(1)根据已知等式的规律可得:
故答案为:;
(2)
故答案为:;
(3)令x=2,n=2018 由(2)可得.
24、(20-21河南郑州高新区枫杨外国语中学七下第一次月考)阅读材料题:我们知道a2≥0,所以代数式a2的最小值为0.学习了多项式乘法中的完全平方公式,可以逆用公式,即用a2±2ab+b2=(a+b)2来求一些多项式的最小值.
例如,求x2+6x+3的最小值问题.
解:∵x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=(x+3)2﹣6,
又∵(x+3)2≥0,
∴(x+3)2﹣6≥﹣6,
∴x2+6x+3的最小值为﹣6.
请应用上述思想方法,解决下列问题:
(1)探究:x2﹣4x+5=(x )2+ ;
(2)代数式﹣x2﹣2x有最 (填“大”或“小”)值为 ;
(3)应用:比较代数式:x2﹣1与2x﹣3的大小:
(4)如图,矩形花圃一面靠墙(墙足够长),另外三面所围成的提栏的总长是40m,楼栏如何围能使花圃面积最大?最大面积是多少?
【答案】(1)﹣2,1;(2)大,1;(3)x2﹣1>2x﹣3;(4)当花圃的宽为10m,长为20m时花圃面积最大,最大面积为200m .
【分析】(1)将原式配方即可;
(2)将原式配方即可判断;
(3)先做差,然后配方,判断配方后的式子大于0即可;
(4)设矩形花圃的宽为xm,则长为(40﹣2x)m,根据矩形的面积公式列出函数关系式,再配方,根据函数的性质求最值.
【解答】解:(1)x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=(x﹣2)2+1,故答案为:﹣2,1;
(2)∵﹣x2﹣2x=﹣(x2+2x)=﹣(x2+2x+1﹣1)=﹣(x+1)2+1,
又∵(x+1)2≥0,∴﹣(x+1)2≤0,
∴﹣(x+1)2+1≤1,∴﹣x2﹣2x的最大值为1,
故答案为:大,1;
(3)x2﹣1﹣(2x﹣3)=x2﹣1﹣2x+3=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,
∵(x﹣1)2≥0,∴(x﹣1)2+1≥1>0,∴x2﹣1>2x﹣3;
(4)设矩形花圃的宽为xm,则长为(40﹣2x)m,
∴矩形的面积S=(40﹣2x)x=﹣2x2+40x=﹣2(x2﹣20x)=﹣2(x﹣10)2+200,
∵﹣2<0,∴当x=10时,S有最大值200(m2),此时,40﹣2x=20(m)
∴当花圃的宽为10m,长为20m时花圃面积最大,最大面积为200m2.
25、(2021·海口市第十四中学八年级月考)数学课上,我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式,如图1可以解释完全平方公式:.
(1)如图2(图中各小长方形大小均相等),请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积(不化简):
方法1:_________________ ;方法2∶_________________.
(2)由(1)中两种不同的方法,你能得到怎样的等式
(3)①已知,,请利用(2)中的等式,求的值.
②已知,,请利用(2)中的等式,求的值.
【答案】(1),;(2);(3)①;②1
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景,根据阴影部分的面积与大正方形的面积-小正方形的面积相等列式计算是解题的关键.
(1)根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积即可解答;
(2)根据(1)求得的结果,利用两种方法求得的阴影面积相等即可解答;
(3)①根据即可得到,由此求解即可;
②根据可得,由此求解即可.
【详解】解:()方法1:阴影部分面积为4个相同的小长方形的面积之和,∴阴影部分面积=;
方法2:阴影部分面积=大正方形的面积-小正方形面积
∴阴影部分面积=.故答案为:,;
()∵(1)中两种方法求得的阴影部分面积相等,∴;
()①∵,,,
∴,∴;
②,,,
∴,∴.
26、我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个等式.例如图1可以得到(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.请解答下列问题:
(1)根据图2,完成数学等式:(2a)2= .
(2)观察图3,写出图3中所表示的等式: = .
(3)若a=7x+5,b=﹣4x+2,c=﹣3x+4,且a2+b2+c2=37,请利用(2)所得的结论求:ab+bc+ac的值.
【分析】(1)(2)分别用整体和部分两种表示面积,即可求证;
(3)利用(2)的结论,把a,b,c的值代入即可求得.
【解答】解:(1)由图2得(2a)2=4a2,
故答案为:4a2;
(2)由图3得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,
故答案为:(a+b+c)2,a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;
(3)由(2)知(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,
∵a=7x+5,b=﹣4x+2,c=﹣3x+4,且a2+b2+c2=37,
∴(7x+5﹣4x+2﹣3x+4)2=37+2ab+2bc+2ac,
∴121=37+2(ab+bc+ac)
∴ab+bc+ac=42.