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18.1.2平行四边形的判定
一、选择题
1、下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A.两组对边分别相等 B.一组对边平行，另一组对边相等
C.两组对角分别相等 D.一组对边平行且相等
2、如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A.AB=CD B.AB∥CD C.OB=OD D.∠ADB=∠CBD
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
3、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A.6 B.12 C.20 D.24
4、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13， 点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B 出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动。当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A.4s B.3s C.2s D.1s
二、填空题
5、如图，当AO=OC，BD=6cm，那么OB=______cm时，四边形ABCD是平行四边形。
（第5题图） （第6题图） （第7题图）
6、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为_______________
7、如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC,AD=5，B（-3,0），C（9,0），E是BC的中点，P是线段BC上一动点，当PB=_______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形。
8、在平面直角坐标系中，已知A（4，-2），B（2,5），在x轴、y轴上分别有两个动点C、D，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为___________
9、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动。如果点E、F同时出发，设运动时间为ts。当t=______s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形。
三、解答题。
10、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C。求证：四边形ABCD是平行四边形。
11、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，且OE=OF，请说明四边形ABCD是平行四边形。
12、如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB。
（1）求证：△ABE≌△ACD
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形。
13、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于点F，交BC于点E，EH⊥AB，垂足为H，连接FH。
求证：（1）CF=CE；（2）四边形CFHE是平行四边形。
【参考答案】
一、选择题
1、B
2、A
3、D
4、B
二、填空题
5、3
6、AD=BC（或AB∥CD）
7、1或11
8、（-6,0）或（6,0）或（-2,0）
9、2或6
三、解答题
10、证明：∵AB∥CD
∴∠A+∠D=180°
∵∠A=∠C
∴∠C+∠D=180°
∴AD∥BC
∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形。
11、解：∵AD∥BC
∴∠AEO=∠CFO
在△AEO和△CFO中
∴△AEO≌△CFO（ASA)
∴AO=CO
同理可证△EOD≌△FOB
∴OD=OB
∵OA=OC
∴ABCD是平行四边形
12、（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形
∴AB=AC，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD
即∠BAE=∠CAD
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS)
（2）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACD=60°
∵△ABE≌△ACD
∴∠ABE=∠ACD=60°，BE=CD
∵BF=DC
∴BE=BF
又∠ABE=60°
∴△BEF为等边三角形
∴∠EFB=60°
∵∠ABC=60°
∴∠EFB=∠ABC
∴EF∥CD
∵EF=CD
∴四边形EFCD是平行四边形。
13、（1）证明：（1）∵∠ACB=90°
∴EC⊥AC
∵AE平分∠CAB，EC⊥AC，EH⊥AB
∴CE=EH
在Rt△ACE和Rt△AHE中，
∴Rt△ACE≌Rt△AHE（HL）
∴∠AEC=∠AEH
∵CD⊥AB，EH⊥AB
∴CD∥EH
∴∠CFE=∠AEH
∵∠AEC=∠AEH
∴∠CFE=∠AEC
∴CF=CE
（2）由（1）得CE=EH，CF=CE
∴EH=CF
∵CD∥EH
∴EH∥CF
∵EH=CF
∴四边形CFHE是平行四边形。
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18.1 平行四边形的判定
人教版 八年级下
新知导入
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．
？
判定
性质
定义
D
A
B
C
新知导入
判定
性质
定义
D
A
B
C
问题 如何寻找平行四边形的判定方法？
当我们对前进的方向感到迷茫时，不妨回过头来看看走过的路！
新知导入
直角三角
形的性质
直角三角
形的判定
勾股定理
勾股定理
的逆定理
在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明．
这些经验可以给我们怎样的启示？
平行四边形性质定理的逆定理也许可以作为它的判定定理
新知讲解
平行四边形的判定
1、平行四边形的对边相等；
2、平行四边形的对角相等；
3、平行四边形的对角线互相平分。
你能说出平行四边形三条性质的逆命题吗？
逆命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
想一想
新知讲解
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
新知讲解
逆命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得 AB∥ CD，
证明：
新知讲解
逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
A
B
C
D
O
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边 形ABCD是平行四边形.
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)，
OB=OD (已知)，
∠AOB=∠COD (对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴ ∠BAO=∠OCD , ∠ ABO=∠CDO,
∴AB∥ CD , AD∥ BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知讲解
例3 如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
B
O
D
A
C
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF ，
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
新知讲解
思考：如果只考虑一组对边，它们满足什么条件时能成为平行四边形呢？
A
B
C
D
平行四边形中，
AB∥DC且AB=DC。
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
新知讲解
A
B
C
D
证明思路
作对角线构造全等三角形
一组对应边相等
两组对边分别相等
四边形ABCD是平行四边形
如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
新知讲解
A
B
C
D
2
1
证明：连接AC.
∵AB∥CD， ∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD，
AC=CA，
∠1=∠2，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴BC=DA .
又∵AB= CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知讲解
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB =CD，EB //FD．
又 ∵EB = AB ，FD = CD，
∴EB =FD ．
∴四边形EBFD是平行四边形．
例4 如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
课堂练习
1.判断对错:
(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形. ( )
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( )
(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. ( )
(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
√
×
×
×
√
课堂练习
2.如图，在四边形ABCD中，
(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是 ___________.
(2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b为正数),那么四边形ABCD是__________.
(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形.
B
D
A
C
平行四边形
平行四边形
6
4
课堂练习
3.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
B
O
D
A
C
B
课堂练习
4. 已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是（ ）
A．8cm
B．10cm
C．12cm
D．14cm
C
课堂练习
5.如图，已知E，F，G，H分别是 ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC,
又∵BF=DH，
∴AH=CF.
又∵AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF.
同理得△BEF≌△DGH（SAS），
∴GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
课堂练习
6.如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF.
又∵AB=AC=10，
∴∠B=∠C.
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴∠CDF=∠C，
∴DF=CF，
∴DE+DF=AF+FC=AC=10．
课堂总结
平行四边形的判定（1）
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
课堂总结
平行四边形的判定(2)
平行四边形的性质与判定的综合运用
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
拓展提升
1.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．
求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
拓展提升
2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．
（1）用含t的代数式表示：
AP=_____； DP=________；
BQ=________；CQ=________；
tcm
(12-t)cm
(15-2t)cm
2tcm
拓展提升
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm，
PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cm．
∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t=15-2t，
解得t=5．
∴t=5s时四边形APQB是平行四边形；
拓展提升
解：由AP=tcm，CQ=2tcm，
∵AD=12cm，BC=15cm，
∴PD=AD-AP=12-t，
∵AD∥BC，
∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即12-t=2t，
解得t=4s，
∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
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