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18.1.3三角形的中位线定理
一、选择题
1、三角形各边长度分别为6cm、8cn、10cm，则连结各边中点所构成的三角形的周长为（ ）
A.17cm B.16cm C.15cm D.12cm
2、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
3、如图，在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，E是AB边的中点，则DE的长是（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
4、如图，在四边形ABCD中，E、F 分别为DC、AB的中点，G是AC的中点，则EF与AD+CB的关系是（ ）
A.2EF=AD+CB B. 2EF>AD+CB C. 2EF
二、填空题
5、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=DB，BC=14，则DE的长为________
（第5题图） （第6题图） （第7题图） （第8题图）
6、如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为18，则△ABC的周长为________
7、如图，在△ABD中，C是BD上一点，若E、F分别是AC、AB的中点，△DEF的面积为4.5，则△ABC的面积为___________。
8、如图，在△ABC中，E是AB的中点，AF交BC于F，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，若BC=12，AC=8，则DE的长为________
9、如图，在△ABC中，M是BC的中点，AP平分∠BAC，BP⊥AP于点P。若AB=12，AC=22，则MP的长为_________。
（第9题图） （第10题图）
10、如图，在四边形ABCD中，∠A =90°，AB= ，AD=3，点M、N分别为线段AB、BC上，点E、F分别为MN、DN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为________
三、解答题
11、如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点。
求证：△EFG是等腰三角形。
12、如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数。
13、如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点。
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：;
（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论，
【参考答案】
一、选择题
1、D
2、B
3、B
4、C
二、填空题
5、7
6、36
7、18
8、2
9、5
10、3
三、解答题
11、证明：∵E、F、G分别是AB、CD、AC的中点
∴FG、EG分别为△ADC、△ABC的中位线
∴
∵
∴
∴△EFG是等腰三角形。
12、解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点
∴MP、NP是分别是△ABD和△BCD的中位线
∴,AB∥MP,CD∥NP
∴,
∵∠ABD=20°，∠BDC=70°
∴
∴
∵，AB=CD
∴MP=NP
∴
∴的度数为25°
13、（1）证明：∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠DAE
∵BE⊥AE
∴∠BEA=∠DEA=90°
∵AE=AE
∴△BAE≌△DAE（ASA）
∴AB=AD，BE=DE
∴E是BD的中点
∵点F是BC的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴
∴
（2）解：，理由如下：
延长BE交AC的延长线于点D
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠DAE
∵BE⊥AE
∴∠BEA=∠DEA=90°
∵AE=AE
∴△BAE≌△DAE（ASA）
∴AB=AD，BE=DE
∴E是BD的中点
∵点F是BC的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴
∴
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18.1.3三角形的中位线定理
人教版 八年级下
新知导入
问题 平行四边形的性质和判定有哪些？
边：
角：
对角线：
B
O
D
A
C
AB∥CD, AD∥BC
AB=CD, AD=BC
AB∥CD, AD=BC
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
AO=CO,DO=BO
判定
性质
新知导入
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧.
思考 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？
新知讲解
1.你能给“三角形中位线”下个定义吗？
A
B
C
中点
D
中点
E
2.一个三角形有几条中位线？
3.三角形的中位线与中线有什么区别？
答：三条.
答：中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.
F
定义：连接三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线.
新知讲解
问题1：如图，DE是△ABC的中位线，
DE与BC有怎样的关系？
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
？
度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
问题2：
D
E
新知讲解
平行
角
平行四边形
或
线段相等
一条线段是另一条线段的一半
倍长短线
分析1：
D
E
猜想：
三角形的中位线平行于三角形的
第三边且等于第三边的一半．
问题3：如何证明你的猜想？
新知讲解
分析2：
D
E
互相平分
构造
平行四边形
倍长DE
新知讲解
证明：
D
E
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF、CF、DC ．
∵AE=EC，DE=EF ，
∴四边形ADCF是平行四边形．
F
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF AD ,
∴CF BD ,
又∵ ，
∴DF BC ．
∴ DE∥BC， ．
如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，
求证：
新知讲解
D
E
证明：
延长DE到F，使EF=DE．
F
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴△ADE≌△CFE．
∴∠ADE=∠F
连接FC．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
证法2：
，AD=CF,
∴BD CF．
又∵ ，
∴DF BC ．
∴ DE∥BC， ．
∴CF AD ,
新知讲解
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
D
E
△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，
则DE∥BC，DE= BC．
三角形中位线定理：
符号语言：
新知讲解
三角形的三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？面积又有什么关系呢？
想一想
D
E
F
新知讲解
A
B
C
D
E
F
重要发现：
①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
由此你知道怎样分蛋糕了吗
课堂练习
1. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．
（1） 若DE=5，则BC= ．
（2） 若∠B=65°，则∠ADE= °．
（3） 若DE+BC=12，则BC= ．
10
65
8
课堂练习
2.如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离为______m．
N
M
40
课堂练习
3．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
D
课堂练习
4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 .
A
B
D
C
E
F
G
H
11
课堂练习
5．如图，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
课堂练习
6.如图，E为 ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
解：AB∥OF，AB＝2OF.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，
∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.
∵CE＝DC，
∴AB＝CE,
∴△ABF≌△ECF(ASA)，
∴BF＝CF.∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴AB∥OF，AB＝2OF.
课堂练习
7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，
∴
∴EG∥AC,
FG∥BD,
G
课堂总结
三角形的中位线
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用
拓展提升
1．如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( )
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
C
拓展提升
2．如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推……若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为____．
拓展提升
3．如图，E为 ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
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