高中数学新教材（苏教版2019）10.1两角和与差的正余弦、正切公式 知识点与典型例题

10.1两角和与差的正弦、余弦、正切知识点与典型例题
一、知识点
（一）：两角和与差的余弦、正弦公式
【诠释】：
(1).公式中的都是任意角；
(2).公式对分配律不成立，即,；
(3).能够逆用公式，要有整体思想：如：.
（二）：两角和与差的正切公式
利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导.
【诠释】：
(1)公式对分配律不成立，即.
(2)公式成立的条件是：；
(3)公式的变形：，.
（三）：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系
（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助理解和记忆公式.
（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况.中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便.
2．重视角的变换
在三角变换中，角的变换是最基本的变换，常见的角的变换有：，，，以及切化弦、等的三角变换.
（四）：辅助角公式(形如的三角函数式的变形)
=
令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定.
：有用结论
若，则；
2. 若，则；
3. 若，则.
二、典型例题
类型一：两角和与差的三角函数公式的正用
【例1】．已知β＜α，若cos（α﹣β），sin（α+β），则sin2β＝（　　）
【解析】:因为已知β＜α，所以α﹣β∈（0，），α+β∈（π，），
若cos（α﹣β），sin（α+β），
所以sin（α﹣β），cos（α+β），
则sin2β＝sin[（α+β）﹣（α﹣β）]＝sin（α+β）cos（α﹣β）﹣cos（α+β）sin（α﹣β） （） .
【警示】
求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号.
【例2】：已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】：（1）因为，，所以，，
所以；
（2）化简可得
类型二：公式的逆用及变形应用
【例3】.计算下列各式的值：
（1）sin163°sin223°+sin253°sin313°；
（2）；
（3）.
【解析】：（1）sin163°sin223°+sin253°sin313°=sin163°sin223°+sin(163°+90°)sin(223°+90°)
=sin163°sin223°+cos163°cos223°=cos(223°－163°)=cos60°=.
（2）.
（3）
.
类型三：辅助角公式的应用
【例4】．化简下列各式：
（1）；（2）;（3）
【解析】：（1）
.
（2）=.
（3）
类型四：综合应用
【5】．已知点M(1＋cos2x,1)，N(1，sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y＝ (O为坐标原点)．
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，]上的最小值．
【解析】：(1)依题意得：＝(1＋cos2x,1)，＝(1，sin2x＋a)，
所以y＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a.
所以f(x)的最小正周期为π.
若x∈[0，]，则(2x＋)∈[，]，所以－≤sin(2x＋)≤1，此时ymax＝2＋1＋a＝4，
所以a＝1，ymin＝－1＋1＋1＝1.
三、练习
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．4
3．的值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（　　）
A．3α﹣β B．3α+β C．2α﹣β D．2α+β
5．已知tan（α﹣β），且α，β∈（0，π），则2α﹣β＝（　　）
A． B． C． D．
6．函数的最小值是 （ ）
A．2 B．2+ C．0 D．1
7． 在△ABC中，,，则等于(　　)
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
8．已知α、β均为锐角，且，则＝________．
9．若，，，，则________．
10. 已知，则的值为________．
11．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为.①求的值；②求的值.
12．求值：（1）
（2）．
13. 已知锐角△ABC中，，．
（1）求证：tanA=2tanB；
（2）求tanA的值．
14.若sin（x）+cos（x），且x＜0，求sinx﹣cosx．
15．已知向量，，且，其中．
（1）求的值；
（2）若，，求cos x的值．
16．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若，且，求cos2α．
答案与解析
1．【解析】：，故选B
2．【解析】：，所以，．故选C
3．【解析】：因为(1+tan17°)(1+tan28°)=1+tan17°+tan28°+tan17°tan28°
=1+tan(17°+28°)(1－tan17°tan28°)+tan17°tan28°=1+tan45°(1－tan17°tan28°)+tan17°tan28°=2；
同理可得，(1+tan18°)(1+tan27°)=2；
所以(1+tan17°)(1+tan18°)(1+tan27°)(1+tan28°)=4．故选B．
4.【解答】：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），
因为α∈（0，），β∈（0，），所以当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．
5．【解析】：因为tan（α﹣β） 且tanβ，即tanα
因为α，β∈（0，π）且tan1，tan1，所以α∈（0，），β∈（，π），即2α﹣β∈（﹣π，）
所以tan（2α﹣β）1，即2α﹣β.故选：C．
6.【解析】：，当时，．故选A．
7.【解析】：已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sinAcosB＋cosAsinB)＝25＋24sin(A＋B)＝37，
所以sin(A＋B)＝sinC＝，所以C＝30°或150°．
当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sinA＋4cosB＜3sin30°＋4cos0°＝，这与3sinA＋4cosB＝6相矛盾，
所以C＝30°．故选A
8.【解析】：因为，所以．
又因为α、β均为锐角，所以，即，所以．
9．【解析】：因为，，所以，
因为，，所以，
则
，
10．【解析】：因为cos(α－)＋sinα＝cosα＋sinα＝，所以cosα＋sinα＝，
所以sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－(sinα＋cosα)＝－．
11.【解析】：由三角函数定义可得，
又因为为锐角，所以因此
①；
②所以，
因为为锐角，所以，所以.
12.【解析】：
（1）
（2）原式
．
13．【解析】：（1）证明：因为，，
所以，所以，所以，所以tanA=2tanB．
（2）因为，,所以，，
即．将tanA=2tanB代入得2tan2B－4tanB－1=0，得（舍去），．所以．
14.【解答】：因为sin（x）+cos（x），所以sin（x）cos（x），
所以sin（x），即sin（x），
因为x＜0，所以x，
所以cos（x），
所以sinx﹣cosx（cosxsinx）cos（x）
15．【解析】：（1）由，得，所以，又，所以；
（2），即，
因为，所以，所以，
所以．
16.【解析】：（1）函数
＝sin2x+cos2x；
所以函数f（x）的最小正周期；
（2）因为，即，所以∵，
所以，所以；
；
故cos2α．
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