高一数学人教A版（2019）必修第一册(学案)三角函数的图象与性质 （含答案）

三角函数的图象与性质——正弦函数、余弦函数的图象
【知识梳理】
1．正弦曲线、余弦曲线
（1）定义：正弦函数）和余弦函数的图像分别叫做_____曲线和_____曲线。
（2）图像：如图所示。
2．“五点法”画图
步骤：
（1）列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
cosx 1 0 －1 0 1
（2）描点：
画正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像，五个关键点是_____；画余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图像，五个关键点是_____。
（3）用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图。
3．正、余弦曲线的联系
依据诱导公式cosx＝sin，要得到y＝cosx的图像，只需把y＝sinx的图像向_____平移个单位长度即可。
【自主探究】
已知0≤x≤2π，结合正、余弦曲线试探究sinx与cosx的大小关系。
【对点讲练】
知识点一：利用“五点法”作正、余弦函数的图像
例1：利用“五点法”画函数y＝－sinx＋1（0≤x≤2π）的简图。
回顾归纳：作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图。“五点”即y＝sinx或y＝cosx的图像在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点。“五点法”是作简图的常用方法。
变式训练1：利用“五点法”画函数y＝－1－cosx，x∈[0，2π]的简图。
知识点二：利用三角函数图像求定义域
例2：求函数f（x）＝lgsinx＋的定义域。
回顾归纳　一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍。
变式训练2：求函数f（x）＝＋lg（8x－x2）的定义域。
知识点三：利用三角函数的图像判断方程解的个数
例3：在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图像，根据图像判断出方程sinx＝lgx的解的个数。
回顾归纳：三角函数的图像是研究函数的重要工具，通过图像可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用。
变式训练3：求方程x2＝cosx的实数解的个数。
【课堂小结】
1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础。
2．五点法是画三角函数图像的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一、
【课时作业】
一、选择题。
1．函数y＝sinx（x∈R）图像的一条对称轴是（ ）
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．直线x＝
2．函数y＝－cosx的图像与余弦函数y＝cosx的图像（ ）
A．只关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点、x轴对称 D．关于原点、坐标轴对称
3．如果x∈[0，2π]，则函数y＝＋的定义域为（ ）
A．[0，π] B．
C． D．
4．在（0，2π）内使sinx>|cosx|的x的取值范围是（ ）
A． B．∪
C． D．
5．已知函数y＝2sinx的图像与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积（ ）
A．4 B．8 C．4π D．2π
二、填空题。
6．函数y＝的定义域为_____。
7．函数y＝的定义域是_____。
8．设0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围为_____。
三、解答题
9．利用“五点法”作出下列函数的简图：
（1）y＝－sinx（0≤x≤2π）；（2）y＝1＋cos x（0≤x≤2π）。
10.分别作出下列函数的图像。
（1）y＝|sinx|，x∈R；（2）y＝sin|x|，x∈R。
答案
知识梳理
1．（1）正弦 余弦
2．（2）（0，0），，（π，0），，（2π，0）
（0，1），，（π，－1），，（2π，1）
3．左
自主探究
解：正、余弦曲线如图所示。
由图像可知①当x＝或x＝时，sinx＝cosx，
②当cosx。
③当0≤x<或对点讲练
例1：解：利用“五点法”作图
取值列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
1－sinx 1 0 1 2 1
描点连线，如图所示。
变式训练1：解：取值列表得：
x 0 π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
－1－cosx －2 －1 0 －1 －2
描点连线，如图所示。
例2：解：由题意，x满足不等式组，
即，作出y＝sinx的图像，如图所示。
结合图像可得：x∈[－4，－π）∪（0，π）。
变式训练2：解：由，得。
画出y＝cosx，x∈[0，3π]的图像，如图所示。
结合图像可得：x∈∪。
例3　解　建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图像。
描出点，（1，0），（10，1）并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图像，如图所示。
由图像可知方程sinx＝lgx的解有3个。
变式训练3：解：作函数y＝cosx与y＝x2的图像，如图所示，
由图像，可知原方程有两个实数解。
课时作业
1．D
2．C （结合图像易知）
3．C （∵sin x≥0且－cos x≥0，∴x∈。）
4．A
（∵sinx>|cosx|，
∴sinx>0，∴x∈（0，π），在同一坐标系中画出y＝sinx，x∈（0，π）与y＝|cosx|，
x∈（0，π）的图像，观察图像易得x∈。）
5．C （数形结合，如图所示。
y＝2sinx，x∈的图像与直线y＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π。）
6．（k∈Z）
解析：x应满足：
综合正、余弦函数图像可知：
－＋2kπ7．，（k∈Z）
解析：由2cosx＋1≥0，得cosx≥－，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z。
8．
解析：由题意知sinx－cosx≥0，即cosx≤sinx，在同一坐标系画出y＝sinx，x∈[0，2π]
与y＝cosx，x∈[0，2π]的图像，如图所示：
观察图像得：≤x≤。
9．解：利用“五点法”作图。
（1）列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
－sin x 0 －1 0 1 0
描点作图，如图所示。
（2）列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1＋cos x 2 1 0 1 2
描点作图，如图所示。
10.解：（1）y＝|sinx|＝（k∈Z）。
其图像如图所示，
（2）y＝sin|x|＝，
其图像如图所示，
4 / 7