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高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
高一数学人教A版(2019)必修第一册第四章指数函数与对数函数(教案)4.5函数的应用(二)(word版)
文档属性
名称
高一数学人教A版(2019)必修第一册第四章指数函数与对数函数(教案)4.5函数的应用(二)(word版)
格式
docx
文件大小
268.3KB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2022-03-17 14:09:31
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文档简介
函数的应用(二)
【第1课时】
函数的零点与方程的解
【教学目标】 【核心素养】
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.(易混点) 2.会求函数的零点.(重点) 3.掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.(难点) 1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养. 2.借助函数的零点同方程根的关系,培养直观想象的数学素养.
【教学过程】
一、新知初探
1.函数的零点
对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
思考1:函数的零点是函数与x轴的交点吗?
提示:不是.函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.
2.方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
3.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
思考2:该定理具备哪些条件?
提示:定理要求具备两条:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)<0.
二、初试身手
1.下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
A B C D
答案:D
解析:结合函数零点的定义可知选项D没有零点.
2.函数y=2x-1的零点是( )
A.
B.
C.
D.2
答案:A
解析:由2x-1=0得x=.
3.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为( )
A.(0,1)
B.(-1,0)
C.(2,3)
D.(1,2)
答案:D
解析:由f(-1)=-<0,f(0)=-3<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,得f(x)的零点所在区间为(1,2).
4.二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数有________个零点.
答案:2
解析:由Δ=b2-4ac>0得二次函数y=ax2+bx+c有两个零点.
三、合作探究
求函数的零点
类型1
例1:(1)求函数f(x)=的零点;
(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.
解:(1)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;
当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.
所以函数f(x)=的零点为-3和e2.
(2)由已知得f(3)=0即3a-b=0,即b=3a.
故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1).
令g(x)=0,即ax(3x+1)=0,
解得x=0或x=-.
所以函数g(x)的零点为0和-.
规律方法
函数零点的求法
1.代数法:求方程f(x)=0的实数根.
2.几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
跟踪训练
1.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出;否则,请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=1-log2(x+3);
(3)f(x)=2x-1-3;
(4)f(x)=.
解:(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,
得x=-1或x=-6,
所以函数的零点是-1,-6.
(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.
(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)==0,得x=-6,所以函数的零点为-6.
判断函数零点所在的区间
类型2
例2:(1)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是( )
A.(3,4)
B.(2,e)
C.(1,2)
D.(0,1)
(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是( )
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08
x+3 2 3 4 5 6
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
答案:(1)C(2)C
解析:(1)因为f(1)=ln 2-<0,f(2)=ln 3-1>0,且函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以函数的零点所在区间为(1,2).故选C.
(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由上表可得f(-1)=0.37-2=-1.63<0,
f(0)=1-3=-2<0,
f(1)=2.72-4=-1.28<0,
f(2)=7.39-5=2.39>0,
f(3)=20.08-6=14.08>0,
f(1)·f(2)<0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.]
规律方法
判断函数零点所在区间的三个步骤
1.代入:将区间端点值代入函数求出函数的值.
2.判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.
3.结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
跟踪训练
2.若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是( )
A.-2
B.0
C.1
D.3
答案:A
解析:f(x)=x+(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f(1)=1-2=-1<0,f(2)=2-1=1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点,同理,其他选项不符合,选A.]
函数零点的个数
类型3
探究问题
1.方程f(x)=a的根的个数与函数y=f(x)及y=a的图象交点个数什么关系?
提示:相等.
2.若函数g(x)=f(x)-a有零点,如何求实数a的范围?
提示:法一:g(x)=f(x)-a有零点可知方程
f(x)-a=0有解,即a=f(x)有解.
故a的范围为y=f(x)的值域.
法二:g(x)=f(x)-a有零点,等价于函数y=a与函数y=f(x)的图象有交点,故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象,观察交点情况即可.
例3:已知0
A.1
B.2
C.3
D.4
思路点拨:→→
答案:B
解析:函数y=a|x|-|logax|(0
画出函数f(x)=a|x|(0
母题探究
1.把本例函数“y=a|x|-|logax|”改为“y=2x|logax|-1”,再判断其零点个数.
解:由2x|logax|-1=0得|logax|=x,作出y=x及y=|logax|(0
由图可知,两函数的图象有两个交点,
所以函数y=2x|logax|-1有两个零点.
2.若把本例条件换成“函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点”,求实数b的取值范围.
解:由f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b.
在同一平面直角坐标系中分别画出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示.
则当0
四、课堂小结
1.在函数零点存在定理中,要注意三点:(1)函数是连续的;(2)定理不可逆;(3)至少存在一个零点.
2.方程f(x)=g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标,也是函数y=f(x)-g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
3.函数与方程有着密切的联系,有些方程问题可以转化为函数问题求解,同样,函数问题有时也可以转化为方程问题,这正是函数与方程思想的基础.
五、当堂达标
1.思考辨析
(1)f(x)=x2的零点是0.( )
(2)若f(a)·f(b)>0,则f(x)在[a,b]内无零点.( )
(3)若f(x)在[a,b]上为单调函数,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.( )
(4)若f(x)在(a,b)内有且只有一个零点,则f(a)·f(b)<0.( )
答案:(1)√(2)×(3)×(4)×
2.函数f(x)=2x-3的零点所在的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
答案:B
解析:∵f(1)=2-3=-1<0,f(2)=4-3=1>0,
∴f(1)·f(2)<0,即f(x)的零点所在的区间为(1,2).
3.对于函数f(x),若f(-1)·f(3)<0,则( )
A.方程f(x)=0一定有实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两实根
D.方程f(x)=0可能无实数解
答案:D
解析:∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,故尽管f(-1)·f(3)<0,但方程f(x)=0在(-1,3)上可能无实数解.
4.已知函数f(x)=x2-x-2a.
(1)若a=1,求函数f(x)的零点;
(2)若f(x)有零点,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=x2-x-2.
令f(x)=x2-x-2=0,得x=-1或x=2.
即函数f(x)的零点为-1和2.
(2)要使f(x)有零点,则Δ=1+8a≥0,解得a≥-,
所以a的取值范围是.
【第2课时】
用二分法求方程的近似解
【教学目标】 【核心素养】
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件.(重点) 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法,能借助计算器用二分法求方程的近似解.(难点) 3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点,从而求得方程的近似解.(易混点) 借助二分法的操作步骤与思想,培养数学建模及逻辑推理素养.
【教学过程】
一、新知初探
1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
思考:若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?
提示:二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.
2.二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
(4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4).
二、初试身手
1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是( )
A.[-2,1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
答案:A
解析:∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,f(-2)·f(1)<0,故可取[-2,1]作为初始区间,用二分法逐次计算.
2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是( )
A.|a-b|<0.1
B.|a-b|<0.001
C.|a-b|>0.001
D.|a-b|=0.001
答案:B
解析:据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时,便可结束计算.
3.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则不能利用二分法求解的零点是________.
答案:x3
解析:因为x3左右两侧的函数值同号,故其不能用二分法求解.
4.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.
答案:(0,0.5)
解析:f(0.25) [∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴x0∈(0,0.5),故第二次应计算f(0.25).]
三、合作探究
二分法的概念
类型1
例1:已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
答案:D
解析:图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以用二分法求解的个数为3,故选D.
规律方法
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.
跟踪训练
1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
答案:B
解析:二分法的理论依据是零点存在定理,必须满足零点两侧函数值异号才能求解.而选项B图中零点两侧函数值同号,即曲线经过零点时不变号,称这样的零点为不变号零点.另外,选项A,C,D零点两侧函数值异号,称这样的零点为变号零点.
用二分法求函数零点的近似值
类型2
探究问题
1.用二分法求方程的近似解,如何决定步骤的结束?
提示:当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时,二分法步骤结束.
2.用二分法求方程的近似解时,精确度不同对零点有影响吗?
提示:精确度决定步骤的始终,故精确度不同,零点可能会不同.
例2:求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的一个负零点(精确度0.01).
思路点拨:
解:确定一个包含负数零点的区间(m,n),且f(m)·f(n)<0.因为f(-1)>0,f(-2)<0,所以可以取区间(-2,-1)作为计算的初始区间,当然选取在较大的区间也可以.用二分法逐步计算,列表如下:
端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间
f(-1)>0,f(-2)<0 (-2,-1)
x0==-1.5 f(x0)=4.375>0 (-2,-1.5)
x1==-1.75 f(x1)≈2.203>0 (-2,-1.75)
x2==-1.875 f(x2)≈0.736>0 (-2,-1.875)
x3==-1.9375 f(x3)≈-0.0974<0 (-1.9375,-1.875)
x4==-1.90625 f(x4)≈0.3280>0 (-1.9375,-1.90625)
x5==-1.921875 f(x5)≈0.1174>0 (-1.9375,-1.921875)
x6==-1.9296875 f(x6)≈0.0105>0 (-1.9375,-1.929 6875)
由于|-1.929 687 5+1.937 5|=0.007 812 5<0.01,所以函数的一个负零点近似值可取为-1.929 687 5.
母题探究
1.(变条件)求本例函数f(x)在区间[-2,-1]上精确度为0.1的一个零点近似值.
解:因为f(-1)>0,f(-2)<0,且函数f(x)=x3-3x2-9x+1的图象是连续的曲线,根据函数零点的存在性定理可知,它在区间[-2,-1]内有零点,用二分法逐步计算,列表如下:
端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间
f(-1)>0,f(-2)<0 (-2,-1)
x0==-1.5 f(x0)=4.375>0 (-2,-1.5)
x1==-1.75 f(x1)≈2.203>0 (-2,-1.75)
x2==-1.875 f(x2)≈0.736>0 (-2,-1.875)
x3==-1.9375 f(x3)≈-0.0974<0 (-1.9375,-1.875)
由于|-1.875+1.9375|=0.0625<0.1,所以函数在区间[-2,-1]内的一个近似零点可取为-1.9375.
2.若将本例函数改为“f(x)=x3+2x2-3x-6”,如何求该函数的正数零点?(精确度0.1)
解:确定一个包含正数零点的区间(m,n),
且f(m)·f(n)<0.
因为f(0)=-6<0,f(1)=-6<0,f(2)=4>0,
所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间,
用二分法逐步计算,列表如下:
端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间
f(1)=-6<0,f(2)=4>0 (1,2)
x1==1.5 f(1.5)=-2.625<0 (1.5,2)
x2==1.75 f(1.75)≈0.2344>0 (1.5,1.75)
x3==1.625 f(1.625)≈-1.3027<0 (1.625,1.75)
x4==1.687 5 f(1.6875)≈-0.5618<0 (1.6875,1.75)
由于|1.75-1.6875|=0.0625<0.1,所以函数的正数
零点的近似值可取为1.6875.
规律方法
利用二分法求方程近似解的过程图示
四、课堂小结
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.并非所有函数都可以用二分法求其零点,只有满足:
(1)在区间[a,b]上连续不断;
(2)f(a)·f(b)<0,
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.
五、当堂达标
1.思考辨析
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.( )
(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求零点.( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.( )
答案:(1)×(2)×(3)×
2.关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是( )
A.“二分法”求方程的近似解一定可将y=f(x)在[a,b]内的所有零点得到
B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f(x)在[a,b]内的零点
C.应用“二分法”求方程的近似解,y=f(x)在[a,b]内有可能无零点
D.“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)=0在[a,b]内的精确解
答案:D
解析:二分法求零点,则一定有且能求出,故B,C不正确;零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到,故A不正确,故选D.
3.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值,经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0∈________(填区间).
答案:(2,3)
解析:因为f(2)·f(3)<0,所以零点在区间(2,3)内.
4.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表:
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989
由表中的数据,求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1).
解:因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.3125,两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.0625<0.1,因此1.3125是一个近似解.
【第3课时】
函数模型的应用
【教学目标】 【核心素养】
1.会利用已知函数模型解决实际问题.(重点) 2.能建立函数模型解决实际问题.(重点、难点) 3.了解拟合函数模型并解决实际问题.(重点) 通过本节内容的学习,使学生认识函数模型的作用,提高学生数学建模、数据分析的素养.
【教学过程】
一、新知初探
1.常用函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
(2)二次函数模型 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
(3)指数函数模型 y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y=axn+b(a,b为常数,a≠0)
(6)分段函数模型 y=
2.建立函数模型解决问题的基本过程
思考:解决函数应用问题的基本步骤是什么?
提示:利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:
(一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原.
这些步骤用框图表示如图:
二、初试身手
1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是( )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
答案:A
解析:自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.故选A.
2.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到( )
A.300只
B.400只
C.600只
D.700只
答案:A
解析:将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100.所以x=7时,y=100log2(7+1)=300.
3.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是( )
A.y=0.3x+800(0≤x≤2000)
B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2000)
C.y=-0.3x+800(0≤x≤2000)
D.y=-0.3x+1600(0≤x≤2000)
答案:D
解析:由题意知,变速车存车数为(2000-x)辆次,则总收入y=0.5x+(2000-x)×0.8=-0.3x+1600(0≤x≤2000).
4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图),则客车有营运利润的时间不超过________年.
答案:7
解析:设二次函数y=a(x-6)2+11,又过点(4,7),
所以a=-1,即y=-(x-6)2+11.
解y≥0,得6-≤x≤6+,所以有营运利润的时间为2.又6<2<7,所以有营运利润的时间不超过7年.]
三、合作探究
利用已知函数模型解决实际问题
类型1
例1:物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)×,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期,现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到32℃时,需要多长时间?
解:先设定半衰期h,由题意知
40-24=(88-24)×,
即=,
解之,得h=10,故原式可化简为
T-24=(88-24)×,
当T=32时,代入上式,得
32-24=(88-24)×,
即===3,∴t=30.
因此,需要30min,可降温到32℃.
规律方法
已知函数模型解决实际问题,往往给出的函数解析式含有参数,需要将题中的数据代入函数模型,求得函数模型中的参数,再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
跟踪训练
1.某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为:
P=(t∈N*)
设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q=40-t(0
解:设日销售金额为y(元),则y=PQ,
所以y=(t∈N*)
①当0
所以当t=10时,ymax=900(元).
②当25≤t≤30且t∈N*时,y=(t-70)2-900,
所以当t=25时,ymax=1125(元).
结合①②得ymax=1125(元).
因此,这种商品日销售额的最大值为1 125元,且在第25天时日销售金额达到最大.
自建确定性函数模型解决实际问题
类型2
例2:牧场中羊群的最大畜养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际畜养量不能达到最大畜养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域;
(2)求羊群年增长量的最大值.
思路点拨:―→―→
解:(1)根据题意,由于最大畜养量为m只,实际畜养量为x只,则畜养率为,故空闲率为1-,由此可得y=kx(0
(2)对原二次函数配方,得y=-(x2-mx)
=-2+,即当x=时,y取得最大值.
母题探究
1.(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式?
解:根据题意,由于最大畜养量为m只,实际畜养量为x只,则畜养率为,故空闲率为1-,因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比,由此可得y=(0
2.(变结论)若本例条件不变,求当羊群的年增长量达到最大值时,k的取值范围.
解:由题意知为给羊群留有一定的生长空间, 则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量,即0
因为当x=时,ymax=,所以0<+
0,所以0
规律方法
自建模型时主要抓住四个关键:“求什么,设什么,列什么,限制什么”.
求什么就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务.
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因素,通常设核心因素为自变量.
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等.
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件,在实际问题中,除了要使函数式有意义外,还要考虑变量的实际含义,如人不能是半个等.
拟合数据构建函数模型解决实际问题
类型3
探究问题
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗?
提示:不一定.
2.对于收集的一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn)我们常对其如何操作,以发现其所隐含的规律?
提示:常先画上述数据的散点图,再借助其变化趋势,结合我们已学习的函数模型,对数据作出合理的分析,从中找出所隐含的规律.
例3:某企业常年生产一种出口产品,自2015年以来,每年在正常情况下,该产品产量平稳增长.已知2015年为第1年,前4年年产量f(x)(万件)如下表所示:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2015~2018年该企业年产量的散点图;
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型,并求出函数解析式;
(3)2019年(即x=5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响,年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2019年的年产量为多少?
思路点拨:→
解:(1)画出散点图,如图所示.
(2)由散点图知,可选用一次函数模型.
设f(x)=ax+b(a≠0).由已知得解得
∴f(x)=1.5x+2.5.
检验:f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.08<0.1,
f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映年产量的变化.
(3)根据所建的函数模型,预计2019年的年产量为f(5)=1.5×5+2.5=10万件,又年产量减少30%,即10×70%=7万件,即2019年的年产量为7万件.
规律方法
函数拟合与预测的一般步骤:
1.根据原始数据、表格,绘出散点图.
2.通过考察散点图,画出拟合直线或拟合曲线.
3.求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
4.利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
跟踪训练
2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式;
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?
解:(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.
根据点的分布特征,可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx得:
用计算器算得a≈2,b≈1.02.
这样,我们就得到一个函数模型:y=2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
(2)将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175,由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2,所以,这个男生偏胖.
四、课堂小结
1.函数的应用,实质上是函数思想方法的应用,其处理问题的一般方法是根据题意,先构建函数,把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究,从而间接求出所需要的结论.
2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题.
五、当堂达标
1.思考辨析
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述.( )
(2)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( )
(3)当不同的范围下,对应关系不同时,可以选择分段函数模型.( )
答案:(1)√(2)√(3)√
2.根据日常生活A、B、C、D四个实际问题,现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示),能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( )
A B C D
答案:B
3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是( )
A.y=0.9576
B.y=(0.9576)100x
C.y=x
D.y=1-0.0424
答案:A
解析:由题意可知y=(95.76%),即y=0.957 6.]
4.已知A,B两地相距150km,某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地.
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始),并画出函数的图象;
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数,并画出函数的图象.
解:(1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s=60t(0≤t≤2.5).
②汽车在B地停留1小时,则汽车到A地的距离s=150(2.5<t≤3.5).
③由B地返回A地,则汽车到A地的距离s=150-50(t-3.5)=325-50t(3.5<t≤6.5).
综上,s=
它的图象如图(1)所示.
(1) (2)
(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v=它的图象如图(2)所示.
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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