高一数学人教A版(2019)必修第一册第四章指数函数与对数函数(教案)4.5函数的应用(二)(word版)

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名称 高一数学人教A版(2019)必修第一册第四章指数函数与对数函数(教案)4.5函数的应用(二)(word版)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-03-17 14:09:31

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文档简介

函数的应用(二)
【第1课时】
函数的零点与方程的解
【教学目标】 【核心素养】
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.(易混点) 2.会求函数的零点.(重点) 3.掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.(难点) 1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养. 2.借助函数的零点同方程根的关系,培养直观想象的数学素养.
【教学过程】
一、新知初探
1.函数的零点
对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
思考1:函数的零点是函数与x轴的交点吗?
提示:不是.函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.
2.方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
3.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
思考2:该定理具备哪些条件?
提示:定理要求具备两条:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)<0.
二、初试身手
1.下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
A B C D
答案:D
解析:结合函数零点的定义可知选项D没有零点.
2.函数y=2x-1的零点是( )
A.
B.
C.
D.2
答案:A
解析:由2x-1=0得x=.
3.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为( )
A.(0,1)
B.(-1,0)
C.(2,3)
D.(1,2)
答案:D
解析:由f(-1)=-<0,f(0)=-3<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,得f(x)的零点所在区间为(1,2).
4.二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数有________个零点.
答案:2
解析:由Δ=b2-4ac>0得二次函数y=ax2+bx+c有两个零点.
三、合作探究
求函数的零点
类型1
例1:(1)求函数f(x)=的零点;
(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.
解:(1)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;
当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.
所以函数f(x)=的零点为-3和e2.
(2)由已知得f(3)=0即3a-b=0,即b=3a.
故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1).
令g(x)=0,即ax(3x+1)=0,
解得x=0或x=-.
所以函数g(x)的零点为0和-.
规律方法
函数零点的求法
1.代数法:求方程f(x)=0的实数根.
2.几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
跟踪训练
1.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出;否则,请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=1-log2(x+3);
(3)f(x)=2x-1-3;
(4)f(x)=.
解:(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,
得x=-1或x=-6,
所以函数的零点是-1,-6.
(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.
(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)==0,得x=-6,所以函数的零点为-6.
判断函数零点所在的区间
类型2
例2:(1)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是( )
A.(3,4)
B.(2,e)
C.(1,2)
D.(0,1)
(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是( )
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08
x+3 2 3 4 5 6
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
答案:(1)C(2)C
解析:(1)因为f(1)=ln 2-<0,f(2)=ln 3-1>0,且函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以函数的零点所在区间为(1,2).故选C.
(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由上表可得f(-1)=0.37-2=-1.63<0,
f(0)=1-3=-2<0,
f(1)=2.72-4=-1.28<0,
f(2)=7.39-5=2.39>0,
f(3)=20.08-6=14.08>0,
f(1)·f(2)<0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.]
规律方法
判断函数零点所在区间的三个步骤
1.代入:将区间端点值代入函数求出函数的值.
2.判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.
3.结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
跟踪训练
2.若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是( )
A.-2
B.0
C.1
D.3
答案:A
解析:f(x)=x+(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f(1)=1-2=-1<0,f(2)=2-1=1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点,同理,其他选项不符合,选A.]
函数零点的个数
类型3
探究问题
1.方程f(x)=a的根的个数与函数y=f(x)及y=a的图象交点个数什么关系?
提示:相等.
2.若函数g(x)=f(x)-a有零点,如何求实数a的范围?
提示:法一:g(x)=f(x)-a有零点可知方程
f(x)-a=0有解,即a=f(x)有解.
故a的范围为y=f(x)的值域.
法二:g(x)=f(x)-a有零点,等价于函数y=a与函数y=f(x)的图象有交点,故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象,观察交点情况即可.
例3:已知0A.1
B.2
C.3
D.4
思路点拨:→→
答案:B
解析:函数y=a|x|-|logax|(0画出函数f(x)=a|x|(0母题探究
1.把本例函数“y=a|x|-|logax|”改为“y=2x|logax|-1”,再判断其零点个数.
解:由2x|logax|-1=0得|logax|=x,作出y=x及y=|logax|(0由图可知,两函数的图象有两个交点,
所以函数y=2x|logax|-1有两个零点.
2.若把本例条件换成“函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点”,求实数b的取值范围.
解:由f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b.
在同一平面直角坐标系中分别画出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示.
则当0四、课堂小结
1.在函数零点存在定理中,要注意三点:(1)函数是连续的;(2)定理不可逆;(3)至少存在一个零点.
2.方程f(x)=g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标,也是函数y=f(x)-g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
3.函数与方程有着密切的联系,有些方程问题可以转化为函数问题求解,同样,函数问题有时也可以转化为方程问题,这正是函数与方程思想的基础.
五、当堂达标
1.思考辨析
(1)f(x)=x2的零点是0.( )
(2)若f(a)·f(b)>0,则f(x)在[a,b]内无零点.( )
(3)若f(x)在[a,b]上为单调函数,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.( )
(4)若f(x)在(a,b)内有且只有一个零点,则f(a)·f(b)<0.( )
答案:(1)√(2)×(3)×(4)×
2.函数f(x)=2x-3的零点所在的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
答案:B
解析:∵f(1)=2-3=-1<0,f(2)=4-3=1>0,
∴f(1)·f(2)<0,即f(x)的零点所在的区间为(1,2).
3.对于函数f(x),若f(-1)·f(3)<0,则( )
A.方程f(x)=0一定有实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两实根
D.方程f(x)=0可能无实数解
答案:D
解析:∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,故尽管f(-1)·f(3)<0,但方程f(x)=0在(-1,3)上可能无实数解.
4.已知函数f(x)=x2-x-2a.
(1)若a=1,求函数f(x)的零点;
(2)若f(x)有零点,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=x2-x-2.
令f(x)=x2-x-2=0,得x=-1或x=2.
即函数f(x)的零点为-1和2.
(2)要使f(x)有零点,则Δ=1+8a≥0,解得a≥-,
所以a的取值范围是.
【第2课时】
用二分法求方程的近似解
【教学目标】 【核心素养】
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件.(重点) 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法,能借助计算器用二分法求方程的近似解.(难点) 3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点,从而求得方程的近似解.(易混点) 借助二分法的操作步骤与思想,培养数学建模及逻辑推理素养.
【教学过程】
一、新知初探
1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
思考:若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?
提示:二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.
2.二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
(4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4).
二、初试身手
1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是( )
A.[-2,1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
答案:A
解析:∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,f(-2)·f(1)<0,故可取[-2,1]作为初始区间,用二分法逐次计算.
2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是( )
A.|a-b|<0.1
B.|a-b|<0.001
C.|a-b|>0.001
D.|a-b|=0.001
答案:B
解析:据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时,便可结束计算.
3.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则不能利用二分法求解的零点是________.
答案:x3
解析:因为x3左右两侧的函数值同号,故其不能用二分法求解.
4.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.
答案:(0,0.5)
解析:f(0.25) [∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴x0∈(0,0.5),故第二次应计算f(0.25).]
三、合作探究
二分法的概念
类型1
例1:已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
答案:D
解析:图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以用二分法求解的个数为3,故选D.
规律方法
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.
跟踪训练
1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
答案:B
解析:二分法的理论依据是零点存在定理,必须满足零点两侧函数值异号才能求解.而选项B图中零点两侧函数值同号,即曲线经过零点时不变号,称这样的零点为不变号零点.另外,选项A,C,D零点两侧函数值异号,称这样的零点为变号零点.
用二分法求函数零点的近似值
类型2
探究问题
1.用二分法求方程的近似解,如何决定步骤的结束?
提示:当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时,二分法步骤结束.
2.用二分法求方程的近似解时,精确度不同对零点有影响吗?
提示:精确度决定步骤的始终,故精确度不同,零点可能会不同.
例2:求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的一个负零点(精确度0.01).
思路点拨:
解:确定一个包含负数零点的区间(m,n),且f(m)·f(n)<0.因为f(-1)>0,f(-2)<0,所以可以取区间(-2,-1)作为计算的初始区间,当然选取在较大的区间也可以.用二分法逐步计算,列表如下:
端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间
f(-1)>0,f(-2)<0 (-2,-1)
x0==-1.5 f(x0)=4.375>0 (-2,-1.5)
x1==-1.75 f(x1)≈2.203>0 (-2,-1.75)
x2==-1.875 f(x2)≈0.736>0 (-2,-1.875)
x3==-1.9375 f(x3)≈-0.0974<0 (-1.9375,-1.875)
x4==-1.90625 f(x4)≈0.3280>0 (-1.9375,-1.90625)
x5==-1.921875 f(x5)≈0.1174>0 (-1.9375,-1.921875)
x6==-1.9296875 f(x6)≈0.0105>0 (-1.9375,-1.929 6875)
由于|-1.929 687 5+1.937 5|=0.007 812 5<0.01,所以函数的一个负零点近似值可取为-1.929 687 5.
母题探究
1.(变条件)求本例函数f(x)在区间[-2,-1]上精确度为0.1的一个零点近似值.
解:因为f(-1)>0,f(-2)<0,且函数f(x)=x3-3x2-9x+1的图象是连续的曲线,根据函数零点的存在性定理可知,它在区间[-2,-1]内有零点,用二分法逐步计算,列表如下:
端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间
f(-1)>0,f(-2)<0 (-2,-1)
x0==-1.5 f(x0)=4.375>0 (-2,-1.5)
x1==-1.75 f(x1)≈2.203>0 (-2,-1.75)
x2==-1.875 f(x2)≈0.736>0 (-2,-1.875)
x3==-1.9375 f(x3)≈-0.0974<0 (-1.9375,-1.875)
由于|-1.875+1.9375|=0.0625<0.1,所以函数在区间[-2,-1]内的一个近似零点可取为-1.9375.
2.若将本例函数改为“f(x)=x3+2x2-3x-6”,如何求该函数的正数零点?(精确度0.1)
解:确定一个包含正数零点的区间(m,n),
且f(m)·f(n)<0.
因为f(0)=-6<0,f(1)=-6<0,f(2)=4>0,
所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间,
用二分法逐步计算,列表如下:
端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间
f(1)=-6<0,f(2)=4>0 (1,2)
x1==1.5 f(1.5)=-2.625<0 (1.5,2)
x2==1.75 f(1.75)≈0.2344>0 (1.5,1.75)
x3==1.625 f(1.625)≈-1.3027<0 (1.625,1.75)
x4==1.687 5 f(1.6875)≈-0.5618<0 (1.6875,1.75)
由于|1.75-1.6875|=0.0625<0.1,所以函数的正数
零点的近似值可取为1.6875.
规律方法
利用二分法求方程近似解的过程图示
四、课堂小结
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.并非所有函数都可以用二分法求其零点,只有满足:
(1)在区间[a,b]上连续不断;
(2)f(a)·f(b)<0,
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.
五、当堂达标
1.思考辨析
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.( )
(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求零点.( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.( )
答案:(1)×(2)×(3)×
2.关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是( )
A.“二分法”求方程的近似解一定可将y=f(x)在[a,b]内的所有零点得到
B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f(x)在[a,b]内的零点
C.应用“二分法”求方程的近似解,y=f(x)在[a,b]内有可能无零点
D.“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)=0在[a,b]内的精确解
答案:D
解析:二分法求零点,则一定有且能求出,故B,C不正确;零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到,故A不正确,故选D.
3.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值,经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0∈________(填区间).
答案:(2,3)
解析:因为f(2)·f(3)<0,所以零点在区间(2,3)内.
4.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表:
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989
由表中的数据,求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1).
解:因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.3125,两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.0625<0.1,因此1.3125是一个近似解.
【第3课时】
函数模型的应用
【教学目标】 【核心素养】
1.会利用已知函数模型解决实际问题.(重点) 2.能建立函数模型解决实际问题.(重点、难点) 3.了解拟合函数模型并解决实际问题.(重点) 通过本节内容的学习,使学生认识函数模型的作用,提高学生数学建模、数据分析的素养.
【教学过程】
一、新知初探
1.常用函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
(2)二次函数模型 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
(3)指数函数模型 y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y=axn+b(a,b为常数,a≠0)
(6)分段函数模型 y=
2.建立函数模型解决问题的基本过程
思考:解决函数应用问题的基本步骤是什么?
提示:利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:
(一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原.
这些步骤用框图表示如图:
二、初试身手
1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是( )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
答案:A
解析:自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.故选A.
2.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到( )
A.300只
B.400只
C.600只
D.700只
答案:A
解析:将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100.所以x=7时,y=100log2(7+1)=300.
3.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是( )
A.y=0.3x+800(0≤x≤2000)
B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2000)
C.y=-0.3x+800(0≤x≤2000)
D.y=-0.3x+1600(0≤x≤2000)
答案:D
解析:由题意知,变速车存车数为(2000-x)辆次,则总收入y=0.5x+(2000-x)×0.8=-0.3x+1600(0≤x≤2000).
4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图),则客车有营运利润的时间不超过________年.
答案:7
解析:设二次函数y=a(x-6)2+11,又过点(4,7),
所以a=-1,即y=-(x-6)2+11.
解y≥0,得6-≤x≤6+,所以有营运利润的时间为2.又6<2<7,所以有营运利润的时间不超过7年.]
三、合作探究
利用已知函数模型解决实际问题
类型1
例1:物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)×,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期,现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到32℃时,需要多长时间?
解:先设定半衰期h,由题意知
40-24=(88-24)×,
即=,
解之,得h=10,故原式可化简为
T-24=(88-24)×,
当T=32时,代入上式,得
32-24=(88-24)×,
即===3,∴t=30.
因此,需要30min,可降温到32℃.
规律方法
已知函数模型解决实际问题,往往给出的函数解析式含有参数,需要将题中的数据代入函数模型,求得函数模型中的参数,再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
跟踪训练
1.某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为:
P=(t∈N*)
设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q=40-t(0解:设日销售金额为y(元),则y=PQ,
所以y=(t∈N*)
①当0所以当t=10时,ymax=900(元).
②当25≤t≤30且t∈N*时,y=(t-70)2-900,
所以当t=25时,ymax=1125(元).
结合①②得ymax=1125(元).
因此,这种商品日销售额的最大值为1 125元,且在第25天时日销售金额达到最大.
自建确定性函数模型解决实际问题
类型2
例2:牧场中羊群的最大畜养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际畜养量不能达到最大畜养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域;
(2)求羊群年增长量的最大值.
思路点拨:―→―→
解:(1)根据题意,由于最大畜养量为m只,实际畜养量为x只,则畜养率为,故空闲率为1-,由此可得y=kx(0(2)对原二次函数配方,得y=-(x2-mx)
=-2+,即当x=时,y取得最大值.
母题探究
1.(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式?
解:根据题意,由于最大畜养量为m只,实际畜养量为x只,则畜养率为,故空闲率为1-,因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比,由此可得y=(02.(变结论)若本例条件不变,求当羊群的年增长量达到最大值时,k的取值范围.
解:由题意知为给羊群留有一定的生长空间, 则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量,即0因为当x=时,ymax=,所以0<+0,所以0规律方法
自建模型时主要抓住四个关键:“求什么,设什么,列什么,限制什么”.
求什么就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务.
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因素,通常设核心因素为自变量.
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等.
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件,在实际问题中,除了要使函数式有意义外,还要考虑变量的实际含义,如人不能是半个等.
拟合数据构建函数模型解决实际问题
类型3
探究问题
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗?
提示:不一定.
2.对于收集的一组样本数据:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn)我们常对其如何操作,以发现其所隐含的规律?
提示:常先画上述数据的散点图,再借助其变化趋势,结合我们已学习的函数模型,对数据作出合理的分析,从中找出所隐含的规律.
例3:某企业常年生产一种出口产品,自2015年以来,每年在正常情况下,该产品产量平稳增长.已知2015年为第1年,前4年年产量f(x)(万件)如下表所示:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2015~2018年该企业年产量的散点图;
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型,并求出函数解析式;
(3)2019年(即x=5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响,年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2019年的年产量为多少?
思路点拨:→
解:(1)画出散点图,如图所示.
(2)由散点图知,可选用一次函数模型.
设f(x)=ax+b(a≠0).由已知得解得
∴f(x)=1.5x+2.5.
检验:f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.08<0.1,
f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映年产量的变化.
(3)根据所建的函数模型,预计2019年的年产量为f(5)=1.5×5+2.5=10万件,又年产量减少30%,即10×70%=7万件,即2019年的年产量为7万件.
规律方法
函数拟合与预测的一般步骤:
1.根据原始数据、表格,绘出散点图.
2.通过考察散点图,画出拟合直线或拟合曲线.
3.求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
4.利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
跟踪训练
2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式;
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?
解:(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.
根据点的分布特征,可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx得:
用计算器算得a≈2,b≈1.02.
这样,我们就得到一个函数模型:y=2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
(2)将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175,由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2,所以,这个男生偏胖.
四、课堂小结
1.函数的应用,实质上是函数思想方法的应用,其处理问题的一般方法是根据题意,先构建函数,把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究,从而间接求出所需要的结论.
2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题.
五、当堂达标
1.思考辨析
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述.( )
(2)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( )
(3)当不同的范围下,对应关系不同时,可以选择分段函数模型.( )
答案:(1)√(2)√(3)√
2.根据日常生活A、B、C、D四个实际问题,现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示),能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( )
A B C D
答案:B
3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是( )
A.y=0.9576
B.y=(0.9576)100x
C.y=x
D.y=1-0.0424
答案:A
解析:由题意可知y=(95.76%),即y=0.957 6.]
4.已知A,B两地相距150km,某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地.
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始),并画出函数的图象;
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数,并画出函数的图象.
解:(1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s=60t(0≤t≤2.5).
②汽车在B地停留1小时,则汽车到A地的距离s=150(2.5<t≤3.5).
③由B地返回A地,则汽车到A地的距离s=150-50(t-3.5)=325-50t(3.5<t≤6.5).
综上,s=
它的图象如图(1)所示.
(1) (2)
(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v=它的图象如图(2)所示.
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