2021-2022学年四川省遂宁市安居区九年级（上）期末数学试卷(word解析版)

2021-2022学年四川省遂宁市安居区九年级（上）期末数学试卷
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
下列二次根式是最简二次根式的是
A. B. C. D.
若，则化简的正确结果是
A. B. C. D.
的同类二次根式是
A. B. C. D.
下列方程中，是关于的一元二次方程的是
A. B.
C. D.
现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是
A.
B.
C.
D.
下列说法正确的是
A. “购买张彩票就中奖”是不可能事件
B. “概率为的事件”是不可能事件
C. “任意画一个三角形，它的内角和等于”是必然事件
D. 任意掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的一定是次
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为
A. B. 且
C. 且 D.
如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形阴影部分与相似的是
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是
A. B.
C. 或 D. 或
如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形，，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长米，背水坡的坡度：，则背水坡的坡长为米．
A. B. C. D.
如图，在中，，，，则的值是
A. B. C. D.
如图，正方形的边长是，，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：；；；其中正确结论的个数
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
若代数式有意义，则的取值范围是______．
若方程是一元二次方程，则的值为______．
如图，，直线，与，，分别相交于点，，和点，，若，，则的长为______．
设、是一元二次方程的两个根，则______．
如图，小明为了测量高楼的高度，在离点米的点处放了一个平面镜，小明沿方向后退米到点，此时从镜子中恰好看到楼顶的点，已知小明的眼睛点到地面的高度是米，则高楼的高度是______．
若，则 ______ ．
如图，已知是的中线，是的重心，联结并延长交边于点，联结，那么：的值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）
计算：
；
．
解下列方程．
；
．
先化简，再求值：，其中．
如图，小明在处看见前面山上有个气象站，仰角为，当笔直向山的方向前进千米后，小明看气象站的仰角为，你能算出这个气象站离地面的高度吗？是多少？
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程可化为，解此方程得，．
当时，，所以；
当时，，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：
；
．
有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字，，；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字，，的三个完全相同的小球．小明先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字若指针指在分界线上则重转，小刚再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和是的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是的倍数，则小刚赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
如图，在中，，，动点从点开始沿运动，速度为；动点从点开始沿运动，速度为设，两点同时运动，运动时间为，当与相似时，求的值．
某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件．已知商品的进价为每件元，若该商品每件降价元．
该商品每星期可卖出______件用含的代数式表示；
销售该商品要想每星期盈利元，每件商品应降价多少元？
如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点．
求证：∽；
求证：；
若，，：：，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次根式的性质与化简及绝对值，熟练应用二次根式的性质与化简的计算方法进行求解是解决本题的关键．
由已知可得，，原式可化为，根据绝对值的定义进行计算即可得出答案．
【解答】
解：，
，，
，
即，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，
A、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
B、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
C、，与，是同类二次根式，故此选项正确；
D、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
故选：．
直接利用二次根式的性质化简，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：是二元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
5.【答案】
【解析】解：设小道的宽度为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
，
．
故选：．
设小道的宽度为，则剩余部分的面积与长、宽的矩形面积相等，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合为正值即可确定小道的宽度．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：“买张彩票就中奖”的可能性很小，但有可能，因此选项A不符合题意；
概率再小，有可能发生，是可能事件，因此选项B不符合题意；
任意一个三角形的内角和都是，因此选项C是正确的，
任意掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的不一定是次，可能是其它情况，因此选项D不符合题意；
故选：．
逐项进行判断，得出答案即可．
考查随机事件、不可能事件，必然事件的意义，理解随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．
7.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故选：．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】
解：根据题意得：，，，
：：：：：：，
A、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似；
B、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似；
C、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与相似；
D、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是或，
故选：．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质．
10.【答案】
【解析】解：由题意得：四边形是矩形，
，
迎水坡的坡角，坡长米，
米，
背水坡的坡度：，
，
，
米，
故选：．
由的坡角，求出的长，再由背水坡的坡度：得出，然后由含角的直角三角形的性质即可求解．
此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题．熟练掌握坡度坡角的概念，由锐角三角函数定义求出的长是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：过点作，交的延长线于点，
，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：．
先求出的补角为，然后再把放在直角三角形中，所以过点作，交的延长线于点，在中可求出与的长，最后在中利用勾股定理求出即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
由四边形是正方形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到，故正确；根据相似三角形的性质得到，由，得到，故错误；根据全等三角形的性质得到，，进而证明≌，得出，于是得到，即，故正确．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，故结论正确；
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，故结论错误；
在与中，
，
≌，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
即，故结论正确．
13.【答案】
【解析】解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，，
解得；
故答案为：．
根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
16.【答案】
【解析】解：是一元二次方程的根，
，
，
，
、是一元二次方程的两个根，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
17.【答案】米
【解析】解：，，
，
，
∽，
，
即，
，
高楼的高度是米．
故答案为：米．
利用∽，根据对应边成比例即可解答．
本题主要考查了相似三角形的实际应用，利用相似三角形的性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：设，则，，，
所以．
故答案为．
设，利用比例性质得到，，，然后把它们代入原式进行分式的运算即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．
19.【答案】
【解析】解：是的中线，是的重心，
为的中线，，
，
，
点为的中点，
，
点为的中点，
，
即：．
故答案为：．
根据三角形重心的性质得到为的中线，，再利用三角形面积公式得到，接着利用点为的中点得到，然后利用点为的中点得到．
本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了三角形面积公式．
20.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；
原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】解：，
，
，即，
，
，．
，
，，
，
，
或，
，．
【解析】配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
22.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
23.【答案】解：能算出这个气象站离地面的高度，理由如下：
由题意得：，，千米，
，
千米，
在中，，
，
解得：千米，
即这个气象站离地面的高度为千米．
【解析】证，得 千米，然后在中，由锐角三角函数定义求出的长即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证出是解题的关键．
24.【答案】解：，
设，则原方程可化为，
解此方程得：，
当时，，即，
因式分解得：，
解得：，，
所以原方程的解是，；
，
设，则原方程化为，
因式分解，得，
解得：，，
当时，，解得：；
当时，，无实数根，
所以原方程的解是，．
【解析】设，原方程可化为，求出的值，再代入求出即可；
设，原方程化为，求出，再把的值代入求出即可．
本题考查了用换元法解一元二次方程和用因式分解法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
25.【答案】解：此游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有种等可能的结果，即；
得到的两数字之和是的倍数的有个，得到的两数字之和是的倍数有个，
则小刚赢的概率小明赢的概率，
所以这个游戏公平．
【解析】画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求出各自的概率，从而得出游戏的公平性．
本题考查了游戏公平性、列表法或树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
26.【答案】解：动点从点开始沿运动，速度为；动点从点开始沿运动，
，，，
，
当时，∽，即，解得；
当时，∽，即，解得；
即经过秒或秒时，与相似，
的值为或．
【解析】分两种情况讨论，列出比例式可求解．
本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
27.【答案】
【解析】解：每降价元，每星期可多卖出件，
当该商品每件降价元时，每星期可卖出件．
故答案为：．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每件商品应降价元或元．
利用每星期的销售量每件降低的价格，即可用含的代数式表示出该商品每星期的销售量；
利用销售该商品每星期获得的利润每件的销售利润每星期的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出销售量；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
28.【答案】证明，，是的高，
，
，，
，
又，
∽；
证明：∽，
，
，
，，
，
，，
∽，
，
；
解：，
，
，
，
∽∽，
，
，，
，
，
解得：或舍去，
，，，
，
，，
在中，
，
在与中，
，
，
解得：．
【解析】利用同角的余角相等可得，从而证明结论；
由相似得，从而证明∽，即可得出结论；
由∽∽，得，则，，由知，代入即可求出的长，从而解决问题．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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