15.4.2因式分解公式法
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课件41张PPT。15.4.2因式分解公式法八年级数学（上册）课前小测：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
4X2+y2 B. 4 x- (-y)2 C. -4 X2-y3 D. - X2+ y2
-4a2 +1分解因式的结果应是 （ ）
-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)
-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b2 2) x4 –1 DD因式分解的基本方法2 运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式
特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法. (1) 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
(2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积a2 - b2 = (a+b)(a-b)
因式分解平方差公式：
(a+b)(a-b) = a2 - b2整式乘法将下面的多项式分解因式
1) m2 - 16 2) 4x2 - 9y2m2 - 16= m2 - 42 =( m + 4)( m - 4) a2 - b2 = ( a + b)( a - b )4x2 - 9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)例1.把下列各式分解因式
（1）16a2- 1
( 2 ) 4x2- m2n2
( 3 ) — x2 - — y2
925116( 4 ) –9x2 + 4
解：1）16a2-1=(4a)2 - 1
=(4a+1)(4a-1)解：2） 4x2- m2n2
=(2x)2 - (mn)2
=（2x+mn)(2x-mn)例2.把下列各式因式分解
( x + z )2- ( y + z )2
4( a + b)2 - 25(a - c)2
4a3 - 4a
(x + y + z)2 - (x – y – z )2
5)—a2 - 212巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
4X2+y2 B. 4 x- (-y)2 C. -4 X2-y3 D. - X2+ y2
-4a2 +1分解因式的结果应是 （ ）
-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)
-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b2 2) x4 –1 DD完全平方公式现在我们把这个公式反过来很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”我们把以上两个式子叫做完全平方式“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式是是是是完全平方式的特点：1、必须是三项式2、有两个平方的“项”3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍下列各式是不是完全平方式是是是否是否请补上一项，使下列多项式成为完全平方式我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平方公式分解因式例题：把下列式子分解因式4x2+12xy+9y2请运用完全平方公式把下列各式分解因式：练习题：1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2
C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2
2、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2
C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
DC3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2
C、 D、
4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
DD5、把 分解因式得
（ ）
A、 B、
6、把 分解因式得
（ ）
A、 B、BA7、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3 BB9、把 分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
10、计算 的结果是（ ）
A、 1 B、-1
C、 2 D、-2CA思考题:
1、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?
2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：
X4+4x2+( )小结：1、是一个二次三项式2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解完全平方式具有：1.利用因式分解计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +…
+(2+1)(2-1)
=199+195+191 +… +3
=50502.(2010·江西中考)因式分解:2a2－8＝___________.
【解析】 原式=
答案：3.(2010·珠海中考)因式分解: =______.【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式；
即a（x2－y2）=a（x+y）（x－y）
答案:a(x+y)(x－y) 4.（2010·东阳中考） 因式分解：x3-x=___.
【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)
答案: x(x+1)(x-1) 5.（2010·盐城中考）因式分解: =______.
【解析】 原式=（x+3）(x-3).答案:（x+3）(x-3).6.（2010·杭州中考）分解因式 m3 – 4m = . 7.（2010·黄冈中考）分解因式:x2-x=_____.【解析】m3 – 4m =m(m+2)(m-2). 答案：m(m+2)(m-2)8. 计算: 7652×17－2352 ×17
【解析】7652×17－2352 ×17
=17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235)
=17 ×1000 ×530=90100009.20102+2010能被2011整除吗? 【解析】∵20102+2010=2010(2010+1)=2010 ×2011
∴ 20102+2010能被2011整除.10.（2010·眉山中考）把代数式 分解因式，下列结果中正确的是（ ） A． B． C． D．11.（2010·黄冈中考）分解因式：2a2–4a+2【解析】选D . =m（x2－6x＋9)=m(x－3)2. 【解析】2a2–4a+2=2（a2–2a +1）=2（a–1）2
答案：2（a–1）2 12.（2010·杭州中考）因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____． 13.（2010·常德中考）分解因式：【解析】原式是一个完全平方式，所以x2+6x+9=
答案： 【解析】 9x2－y2－4y－4=9x2－（y2+4y+4）= 答案： 将一个正方形的一角剪去一个小正方形，观察剪剩下的部分，你能在只能剪一刀的情况下，将剩余部分重新拼接成一个特殊四边形吗？动手实践=a2-b2(a+b) (a-b)a2 - b2= (a+b)(a-b)a2 - b2= (a+b)(a-b)a2 - b2= (a+b)(a-b)14、用平方差公式进行简便计算:
（1）9992-9982
（2）2292-1712
（3）91×89（4）把9991分解成两个整数的积。应用性作业15、找规律 32-12=8×1， 52-32=8×2，
（1） 72-52=_________，
（2） 92-72=_________
（3）（ ）2-92=8×5;…
请归纳上述各式所反映的一般规律，并加以说明理由。延伸性作业8×38×411（2n+1)2-(2n-1)2=8n知识解密16、在日常生活中如上网等都需要密码，有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译。
例如用多项式x4-y4因式分解的结果
（x-y)(x+y)(x2+y2)来设置密码，当取x=9,y=9时，可得一个六位数的密码“018162”。你知道这是怎么来的吗?小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)应用性作业2、计算： 25 × 2652－1352 × 25选做题：1、分解因式：4、已知x+y=7,x-y=5,求代数式 x2-y2-2y+2x的值.5、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.课后作业:3、1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?6、英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
4X2+y2 B. 4 x- (-y)2 C. -4 X2-y3 D. - X2+ y2
-4a2 +1分解因式的结果应是 （ ）
-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)
-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b2 2) x4 –1 DD因式分解的基本方法2 运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式
特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法. (1) 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
(2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积a2 - b2 = (a+b)(a-b)
因式分解平方差公式：
(a+b)(a-b) = a2 - b2整式乘法将下面的多项式分解因式
1) m2 - 16 2) 4x2 - 9y2m2 - 16= m2 - 42 =( m + 4)( m - 4) a2 - b2 = ( a + b)( a - b )4x2 - 9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)例1.把下列各式分解因式
（1）16a2- 1
( 2 ) 4x2- m2n2
( 3 ) — x2 - — y2
925116( 4 ) –9x2 + 4
解：1）16a2-1=(4a)2 - 1
=(4a+1)(4a-1)解：2） 4x2- m2n2
=(2x)2 - (mn)2
=（2x+mn)(2x-mn)例2.把下列各式因式分解
( x + z )2- ( y + z )2
4( a + b)2 - 25(a - c)2
4a3 - 4a
(x + y + z)2 - (x – y – z )2
5)—a2 - 212巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
4X2+y2 B. 4 x- (-y)2 C. -4 X2-y3 D. - X2+ y2
-4a2 +1分解因式的结果应是 （ ）
-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)
-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b2 2) x4 –1 DD完全平方公式现在我们把这个公式反过来很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”我们把以上两个式子叫做完全平方式“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式是是是是完全平方式的特点：1、必须是三项式2、有两个平方的“项”3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍下列各式是不是完全平方式是是是否是否请补上一项，使下列多项式成为完全平方式我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平方公式分解因式例题：把下列式子分解因式4x2+12xy+9y2请运用完全平方公式把下列各式分解因式：练习题：1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2
C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2
2、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2
C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
DC3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2
C、 D、
4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
DD5、把 分解因式得
（ ）
A、 B、
6、把 分解因式得
（ ）
A、 B、BA7、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3 BB9、把 分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
10、计算 的结果是（ ）
A、 1 B、-1
C、 2 D、-2CA思考题:
1、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?
2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：
X4+4x2+( )小结：1、是一个二次三项式2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解完全平方式具有：1.利用因式分解计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +…
+(2+1)(2-1)
=199+195+191 +… +3
=50502.(2010·江西中考)因式分解:2a2－8＝___________.
【解析】 原式=
答案：3.(2010·珠海中考)因式分解: =______.【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式；
即a（x2－y2）=a（x+y）（x－y）
答案:a(x+y)(x－y) 4.（2010·东阳中考） 因式分解：x3-x=___.
【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)
答案: x(x+1)(x-1) 5.（2010·盐城中考）因式分解: =______.
【解析】 原式=（x+3）(x-3).答案:（x+3）(x-3).6.（2010·杭州中考）分解因式 m3 – 4m = . 7.（2010·黄冈中考）分解因式:x2-x=_____.【解析】m3 – 4m =m(m+2)(m-2). 答案：m(m+2)(m-2)8. 计算: 7652×17－2352 ×17
【解析】7652×17－2352 ×17
=17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235)
=17 ×1000 ×530=90100009.20102+2010能被2011整除吗? 【解析】∵20102+2010=2010(2010+1)=2010 ×2011
∴ 20102+2010能被2011整除.10.（2010·眉山中考）把代数式 分解因式，下列结果中正确的是（ ） A． B． C． D．11.（2010·黄冈中考）分解因式：2a2–4a+2【解析】选D . =m（x2－6x＋9)=m(x－3)2. 【解析】2a2–4a+2=2（a2–2a +1）=2（a–1）2
答案：2（a–1）2 12.（2010·杭州中考）因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____． 13.（2010·常德中考）分解因式：【解析】原式是一个完全平方式，所以x2+6x+9=
答案： 【解析】 9x2－y2－4y－4=9x2－（y2+4y+4）= 答案： 将一个正方形的一角剪去一个小正方形，观察剪剩下的部分，你能在只能剪一刀的情况下，将剩余部分重新拼接成一个特殊四边形吗？动手实践=a2-b2(a+b) (a-b)a2 - b2= (a+b)(a-b)a2 - b2= (a+b)(a-b)a2 - b2= (a+b)(a-b)14、用平方差公式进行简便计算:
（1）9992-9982
（2）2292-1712
（3）91×89（4）把9991分解成两个整数的积。应用性作业15、找规律 32-12=8×1， 52-32=8×2，
（1） 72-52=_________，
（2） 92-72=_________
（3）（ ）2-92=8×5;…
请归纳上述各式所反映的一般规律，并加以说明理由。延伸性作业8×38×411（2n+1)2-(2n-1)2=8n知识解密16、在日常生活中如上网等都需要密码，有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译。
例如用多项式x4-y4因式分解的结果
（x-y)(x+y)(x2+y2)来设置密码，当取x=9,y=9时，可得一个六位数的密码“018162”。你知道这是怎么来的吗?小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)应用性作业2、计算： 25 × 2652－1352 × 25选做题：1、分解因式：4、已知x+y=7,x-y=5,求代数式 x2-y2-2y+2x的值.5、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.课后作业:3、1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?6、英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？