2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校七年级（下）开学数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校七年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．某县为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全县600名学生参加的“中华经典诵读”大赛．为了解本次大赛的选手成绩，随机抽取了其中50名选手的成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法中正确的是（　　）
A．这600名学生的“中华经典诵读”大赛成绩的全体是总体
B．50名学生是总体的一个样本
C．每个学生是个体
D．样本容量是50名
2．在中国共产党第十八次全国代表大会期间，新民网发起了有关发生的调查，截至2012年11月15日13时30分，共吸引了约262900人次参与．数据显示，社会民生问题位列网友最关心的问题首位．请将262900用科学记数法表示为（　　）
A．0.2629×106 B．2.629×106 C．2.629×105 D．26.29×104
3．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b|﹣|a﹣1|﹣|b﹣2|的结果是（　　）
A．1 B．2b﹣1 C．2a﹣3 D．﹣1
4．计算|﹣2|+2﹣1的结果是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．下列各式中，是同类项的是（　　）
A．2a2b与﹣3b2a B．πx2与x2
C．﹣m2n2与5tm2n2 D．﹣6xy与﹣6yz
6．永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万亩野生杜鹃花最为壮观，被誉为“天下第一杜鹃红”．今年“五一”期间举办了“阳明山杜鹃花旅游文化节”，吸引了众多游客前去观光赏花．在文化节开幕式当天，从早晨8：00开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约为600人，已知阳明山景区游客的饱和人数约为2000人，则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为（　　）
A．10：00 B．12：00 C．13：00 D．16：00
7．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则（x﹣y）m﹣n的值是（　　）
A．﹣27 B．﹣1 C．8 D．16
8．如果一个角α的度数为22°15′，那么关于x的方程3α﹣x＝180°﹣3x的解为（　　）
A．56°37′30″ B．57°7′5″ C．57°50′26″ D．112°37′30″
9．如图，将一块三角板60°角的顶点与另一块三角板的直角顶点重合，∠1＝27°20'，∠2的大小是（　　）
A．27°20' B．57°20' C．58°40' D．62°40'
10．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．4n B．4m C．2（m+n） D．4（m﹣n）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．一个关于x的二次三项式，一次项的系数是1，二次项的系数和常数项都是，则这个二次三项式为 　 　．
12．已知x＝5是方程ax﹣8＝22的解，则a＝　 　．
13．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律，则第 　 　个图形中面积为1的正方形的个数为2024．
14．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 　 　秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
三、（本大题共1小题，每小题10分，满分10分）
15．解方程：
（1）3x﹣6＝x+2；
（2）．
四、（本大题共1小题，每小题10分，满分10分）
16．计算题
（1）；
（2）．
五、（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
17．我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战不可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查中共抽取了　 　名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是　 　度．
（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？
18．已知：射线OC在∠AOB的内部，∠AOC：∠BOC＝8：1，∠COD＝2∠COB，OE平分∠AOD．
（1）如图，若点A、O、B在同一条直线上，OD是∠AOC内部的一条射线，求∠COE的度数；
（2）若∠BOC＝α（0°＜α＜18°），直接写出∠COE的度数（用含α的代数式表示）．
六、（本大题共1小题，满分12分）
19．已知A＝3x2y﹣xy2，B＝x2y﹣2xy2．
（1）求A﹣3B；
（2）当x＝，y＝﹣时，求A﹣3B的值．
七、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
20．某企业计划购买一些消毒液对厂区内进行消毒，有甲、乙两种型号的消毒液供选择，它们均按瓶销售，每瓶容量都相同．购买甲消毒液3瓶和乙消毒液2瓶，需85元；购买4瓶甲消毒液与购买3瓶乙消毒液所需钱数相同．
（1）求甲、乙两种消毒液的单价各是多少元？
（2）现在企业决定只购买甲、乙消毒液中的一种即可，且甲消毒液按原价九折销售，乙消毒液购买50瓶以上超出的部分按原价的六五折销售，设购买x瓶甲消毒液需要y1元，购买x瓶乙消毒液需要y2元，请分别表示出y1和y2；
（3）在（2）的条件下，已知企业购买消毒液的数量多于50瓶，问购买哪一种消毒液更省钱？
21．按下列要求画图：
（1）如图1，已知三点A，B，C，画直线AB，射线AC；
（2）如图2．已知线段a，b，作一条线段MN，使MN＝2a﹣b（尺规作图，保留作图痕迹）．
八、（本大题共1小题，满分14分）
22．观察下列等式：
①＝×（1﹣）；②＝×（﹣）；③＝×（﹣）…
根据上述等式的规律，解答下列问题：
（1）请写出第④个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．
（3）应用你发现的规律，计算：
+++…+．
九、（本大题共1小题，满分16分）
23．（16分）已知O是直线MN上一点，∠MOA＝40°，∠AOB＝90°，∠COD与∠AOB都在直线MN的上方，且射线OC在射线OD的左侧．
（1）如图1，射线OC在∠AOB的内部，如果∠COD＝90°，那么图中与∠AOC相等的角是 　 　，其依据是：　 　．
（2）如图2，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP，如果∠COD＝60°，且OC平分∠AOP，那么∠DON＝　 　°；（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）
（3）如果∠COD＝60°，设∠AOC＝m°（0＜m＜80，且m≠30），用含m的式子表示∠BOD的度数．（直接写出结论）
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．某县为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全县600名学生参加的“中华经典诵读”大赛．为了解本次大赛的选手成绩，随机抽取了其中50名选手的成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法中正确的是（　　）
A．这600名学生的“中华经典诵读”大赛成绩的全体是总体
B．50名学生是总体的一个样本
C．每个学生是个体
D．样本容量是50名
【分析】直接利用总体、个体、样本、样本容量的定义分别分析得出答案．
解：A、这600名学生的“中华经典诵读”大赛成绩的全体是总体，故本选项正确，符合题意；
B、50名学生的成绩是总体的一个样本，故本选项错误，不符合题意；
C、每个学生的成绩是个体，故本选项错误，不符合题意；
D、样本容量是50，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
2．在中国共产党第十八次全国代表大会期间，新民网发起了有关发生的调查，截至2012年11月15日13时30分，共吸引了约262900人次参与．数据显示，社会民生问题位列网友最关心的问题首位．请将262900用科学记数法表示为（　　）
A．0.2629×106 B．2.629×106 C．2.629×105 D．26.29×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于262900有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
解：262 900＝2.629×105．
故选：C．
3．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b|﹣|a﹣1|﹣|b﹣2|的结果是（　　）
A．1 B．2b﹣1 C．2a﹣3 D．﹣1
【分析】结合数轴可知a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，故a+b＞0，a﹣1＞0，b﹣2＜0，由绝对值的性质可化简．
解：由数轴可知：a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，
∴a+b＞0，a﹣1＞0，b﹣2＜0，
∴原式＝a+b﹣（a﹣1）+（b﹣2）＝a+b﹣a+1+b﹣2＝2b﹣1，
故选：B．
4．计算|﹣2|+2﹣1的结果是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简得出答案．
解：|﹣2|+2﹣1＝2+＝2．
故选：D．
5．下列各式中，是同类项的是（　　）
A．2a2b与﹣3b2a B．πx2与x2
C．﹣m2n2与5tm2n2 D．﹣6xy与﹣6yz
【分析】根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项可得答案．
解：A、2a2b与﹣3b2a不是同类项，故此选项错误；
B、πx2与x2是同类项，故此选项正确；
C、﹣m2n2与5tm2n2不是同类项，故此选项错误；
D、﹣6xy与﹣6yz不是同类项，故此选项错误；
故选：B．
6．永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万亩野生杜鹃花最为壮观，被誉为“天下第一杜鹃红”．今年“五一”期间举办了“阳明山杜鹃花旅游文化节”，吸引了众多游客前去观光赏花．在文化节开幕式当天，从早晨8：00开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约为600人，已知阳明山景区游客的饱和人数约为2000人，则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为（　　）
A．10：00 B．12：00 C．13：00 D．16：00
【分析】设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为x点，结合已知条件“从早晨8：00开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约为600人，已知阳明山景区游客的饱和人数约为2000人”列出方程并解答．
解：设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为x点，则
（x﹣8）×（1000﹣600）＝2000，
解得x＝13．
即开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为13：00．
故选：C．
7．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则（x﹣y）m﹣n的值是（　　）
A．﹣27 B．﹣1 C．8 D．16
【分析】根据：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可得：x+2＝y+（﹣1），m+（﹣1）＝n+2，据此分别求出x﹣y，m﹣n的值各是多少，即可求出（x﹣y）m﹣n的值是多少．
解：根据题意，可得：
x+2＝y+（﹣1），m+（﹣1）＝n+2，
∴x﹣y＝﹣3，m﹣n＝3，
∴（x﹣y）m﹣n
＝（﹣3）3
＝﹣27
故选：A．
8．如果一个角α的度数为22°15′，那么关于x的方程3α﹣x＝180°﹣3x的解为（　　）
A．56°37′30″ B．57°7′5″ C．57°50′26″ D．112°37′30″
【分析】把α代入方程计算即可求出x的值．
解：把α＝22°15′代入方程得：66°45′﹣x＝180°﹣3x，
解得：x＝56°37′30″．
故选：A．
9．如图，将一块三角板60°角的顶点与另一块三角板的直角顶点重合，∠1＝27°20'，∠2的大小是（　　）
A．27°20' B．57°20' C．58°40' D．62°40'
【分析】根据题目的已知并结合图形可得∠2＝∠DAE﹣∠CAE＝90°﹣（∠CAB﹣∠1），然后进行计算即可解答．
解：∵∠1＝27°20'，∠CAB＝60°，∠DAE＝90°，
∴∠2＝∠DAE﹣∠CAE
＝90°﹣（∠CAB﹣∠1）
＝90°﹣60°+∠1
＝30°+27°20'
＝57°20′，
故选：B．
10．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．4n B．4m C．2（m+n） D．4（m﹣n）
【分析】本题需先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案．
解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，
∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a），
L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b），
∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b），
又∵a+2b＝m，
∴4m+4n﹣4（a+2b），
＝4n．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．一个关于x的二次三项式，一次项的系数是1，二次项的系数和常数项都是，则这个二次三项式为 　﹣x2+x﹣　．
【分析】根据多项式中次数与系数的确定方法得出答案．
解：∵关于x的二次三项式，一次项的系数是1，二次项的系数和常数项都是﹣，
∴这个二次三项式是：﹣x2+x﹣．
故答案为：﹣x2+x﹣．
12．已知x＝5是方程ax﹣8＝22的解，则a＝　6　．
【分析】使方程左右两边相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于a的一元一次方程，从而可求出a的值．
解：把x＝5代入方程ax﹣8＝22，
得：5a﹣8＝22，
解得：a＝6．
故答案为：6．
13．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律，则第 　404　个图形中面积为1的正方形的个数为2024．
【分析】由第1个图形有9个面积为1的小正方形，第2个图形有9+5＝14个面积为1的小正方形，第3个图形有9+5×2＝19个面积为1的小正方形，…由此得出第n个图形有9+5×（n﹣1）＝5n+4个面积为1的小正方形，由此求得答案即可．
解：第1个图形面积为1的小正方形有9个，
第2个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，
第3个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，
…
第n个图形面积为1的小正方形有9+5×（n﹣1）＝（5n+4）个，
根据题意得：5n+4＝2024，
解得n＝404．
故答案为：404．
14．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 　或30　秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【分析】根据（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，可得B表示的数是9，C表示的数是15，由已知分四种情况讨论：①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30．
解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，
∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，
故答案为：或30．
三、（本大题共1小题，每小题10分，满分10分）
15．解方程：
（1）3x﹣6＝x+2；
（2）．
【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
解：（1）移项、合并得，2x＝8
系数化为1，x＝4；
（2）去分母得18+3（x﹣5）＝2（2+x），
去括号得18+3x﹣15＝4+2x，
移项、合并得x＝1．
四、（本大题共1小题，每小题10分，满分10分）
16．计算题
（1）；
（2）．
【分析】（1）逆用乘法分配律进行计算；
（2）先算乘方和括号内的运算，然后计算乘法，最后计算减法即可．
解：（1）原式＝﹣×（3.59+2.41+3）
＝﹣×9
＝﹣；
（2）原式＝﹣1﹣××（﹣7）
＝﹣1﹣×（﹣7）
＝﹣1+
＝．
五、（本大题共2小题，每小题6分，满分12分）
17．我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战不可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查中共抽取了　200　名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是　36　度．
（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）求得喜爱《挑战不可能》节目的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）用360°×喜爱《地理中国》节目的人数占总人数的百分数即可得到结论；
（4）直接利用样本估计总体的方法求解即可求得答案．
解：（1）30÷15%＝200名，
答：本次调查中共抽取了200名学生；
故答案为：200；
（2）喜爱《挑战不可能》节目的人数＝200﹣20﹣60﹣40﹣30＝50名，
补全条形统计图如图所示；
（3）喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是360°×＝36度；
故答案为：36；
（4）2000×＝600名，
答：该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是600人．
18．已知：射线OC在∠AOB的内部，∠AOC：∠BOC＝8：1，∠COD＝2∠COB，OE平分∠AOD．
（1）如图，若点A、O、B在同一条直线上，OD是∠AOC内部的一条射线，求∠COE的度数；
（2）若∠BOC＝α（0°＜α＜18°），直接写出∠COE的度数（用含α的代数式表示）．
【分析】（1）根据平角的定义，角平分线的定义，以及角的和差关系求得∠COE的度数；
（2）根据（1）的过程即可得出结论．
解：（1）如图所示：
∵点A、O、B在同一条直线上，
∴∠AOC+∠BOC＝180°（平角的定义）．
∵∠AOC：∠BOC＝8：1，
∴∠BOC＝20°，∠AOC＝160°．
∵∠COD＝2∠COB，
∴∠COD＝40°．
∴∠AOD＝180°﹣∠COB﹣∠COD＝120°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠AOD＝60°（角平分线的定义）．
∴∠COE＝∠EOD+∠DOC＝60°+40°＝100°；
（2）当射线OD在∠AOC的内部时，∠EOC＝5α；
当射线OD在∠AOC的外部时，∠EOC＝3α．
答：∠COE的度数为5α或3α．
六、（本大题共1小题，满分12分）
19．已知A＝3x2y﹣xy2，B＝x2y﹣2xy2．
（1）求A﹣3B；
（2）当x＝，y＝﹣时，求A﹣3B的值．
【分析】（1）将已知等式代入，然后去括号，合并同类项进行化简；
（2）将已知字母的值代入求值即可．
解：（1）原式＝（3x2y﹣xy2）﹣3（x2y﹣2xy2）
＝3x2y﹣xy2﹣3x2y+6xy2
＝5xy2；
（2）当x＝，y＝﹣时，
A﹣3B＝5xy2＝5××（﹣）2＝5××＝．
七、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
20．某企业计划购买一些消毒液对厂区内进行消毒，有甲、乙两种型号的消毒液供选择，它们均按瓶销售，每瓶容量都相同．购买甲消毒液3瓶和乙消毒液2瓶，需85元；购买4瓶甲消毒液与购买3瓶乙消毒液所需钱数相同．
（1）求甲、乙两种消毒液的单价各是多少元？
（2）现在企业决定只购买甲、乙消毒液中的一种即可，且甲消毒液按原价九折销售，乙消毒液购买50瓶以上超出的部分按原价的六五折销售，设购买x瓶甲消毒液需要y1元，购买x瓶乙消毒液需要y2元，请分别表示出y1和y2；
（3）在（2）的条件下，已知企业购买消毒液的数量多于50瓶，问购买哪一种消毒液更省钱？
【分析】（1）设甲消毒液的单价为a元，乙消毒液的单价为b元，利用总价＝单价×数量，结合“购买甲消毒液3瓶和乙消毒液2瓶，需85元；购买4瓶甲消毒液与购买3瓶乙消毒液所需钱数相同”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，结合两种消毒液给出的优惠政策，即可用含x的代数式表示出y1和y2；
（3）分y1＜y2，y1＝y2及y1＞y2三种情况考虑，解不等式或方程可得出x的取值范围或x的值，进而可得出结论．
解：（1）设甲消毒液的单价为a元，乙消毒液的单价为b元，
依题意得：
解得：．
答：甲消毒液的单价为15元，乙消毒液的单价为20元．
（2）依题意得：y1＝15×0.9x＝13.5x；
当0≤x≤50时，y2＝20x；
当x＞50时，y2＝50×20+20×0.65×（x﹣50）＝13x+350．
∴y1＝13.5x，y2＝．
（3）由于x＞50，所以分三种情况：
当y1＜y2时，13.5x＜13x+350，
解得：x＜700，此时选择甲；
当y1＝y2时，13.5x＝13x+350，
解得：x＝700，此时选择甲、乙花费相同；
当y1＞y2时，13.5x＞13x+350，
解得x＞700，此时选择乙．
综上所述：当50＜x＜700时，选择购买甲消毒液更省钱；当x＝700时，选择购买甲、乙两种消毒液花费相同；当x＞700时，选择购买乙消毒液更省钱．
21．按下列要求画图：
（1）如图1，已知三点A，B，C，画直线AB，射线AC；
（2）如图2．已知线段a，b，作一条线段MN，使MN＝2a﹣b（尺规作图，保留作图痕迹）．
【分析】（1）根据直线，射线的定义画出图形即可；
（2）作射线MD，在射线MD上截取MC＝2a，在线段CM上截取CN，使得CN＝b，则线段MN即为所求．
解：（1）如图1中，直线AB，射线AC即为所求；
（2）如图2中，线段MN即为所求．
八、（本大题共1小题，满分14分）
22．观察下列等式：
①＝×（1﹣）；②＝×（﹣）；③＝×（﹣）…
根据上述等式的规律，解答下列问题：
（1）请写出第④个等式：　　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．
（3）应用你发现的规律，计算：
+++…+．
【分析】（1）根据题目中的例子写出第④个式子即可；
（2）由所给的例子不难看出第n个等式为：，把等式右边进行运算即可证明；
（3）所求的式子先提取一个2出来，再利用发现的规律进行运算即可．
解：（1）第④个等式为：；
故答案为：；
（2）∵①＝×（1﹣），整理得：；
②＝×（﹣），整理得；
③＝×（﹣），整理得：；
…
∴第n个等式为：，
证明：右边＝
＝
＝
＝，
∴左边＝右边．
（3）+…+
＝2×（++++…+）
＝2××（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝1﹣
＝．
九、（本大题共1小题，满分16分）
23．（16分）已知O是直线MN上一点，∠MOA＝40°，∠AOB＝90°，∠COD与∠AOB都在直线MN的上方，且射线OC在射线OD的左侧．
（1）如图1，射线OC在∠AOB的内部，如果∠COD＝90°，那么图中与∠AOC相等的角是 　∠BOD　，其依据是：　等角的余角相等　．
（2）如图2，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP，如果∠COD＝60°，且OC平分∠AOP，那么∠DON＝　57.5　°；（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）
（3）如果∠COD＝60°，设∠AOC＝m°（0＜m＜80，且m≠30），用含m的式子表示∠BOD的度数．（直接写出结论）
【分析】（1）根据等角的余角相等解决问题即可．
（2）根据∠DON＝∠BON+∠DOB，求出∠BON，∠DOB即可．
（3）分两种情形：当0＜m＜30时，根据∠BOD＝∠AOM+∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD求解，如图3﹣2中，当30＜m＜80时，根据∠BOD＝∠AOC+∠COD﹣∠AOB，求解即可．
解：（1）如图1中，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠COB＝∠COB+∠BOD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD（等角的余角相等），
故答案为：等角的余角相等．
（2）如图2中，如图，射线OP即为所求．
∵∠AOM＝40°，∠AOB＝90°，
∴∠NOB＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝×90°＝45°，
∵OC平分∠AOP，
∴∠AOC＝∠AOP＝22.5°，
∴∠BOD＝90°﹣22.5°﹣60°＝7.5°，
∴∠DON＝∠BON+∠DOB＝57.5°．
（3）如图3﹣1中，当0＜m＜30时，∠BOD＝∠AOM+∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝40°+90°﹣m°﹣60°＝70°﹣m°．
如图3﹣2中，当30＜m＜80时，∠BOD＝∠AOC+∠COD﹣∠AOB＝m°+60°﹣90°＝m°﹣30°．
综上所述，满足条件的m的值为70°﹣m°或m°﹣30°．