2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校八年级（下）开学数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校八年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若函数满足a+c＝0，a＜c，则函数y＝ax+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．一辆货车从A地开往B地，一辆小汽车从B地开往A地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为s（千米），货车行驶的时间为t（小时），s与t之间的函数关系如图所示，下列说法：
①A、B两地相距60千米：
②出发1小时，货车与小汽车相遇；
③小汽车的速度是货车速度的2倍；
④出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了60千米；
⑤出发2小时，小货车离终点还有80千米，其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．如图，已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象相交于点P，则根据图象可得二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，AD平分∠CAB，BD平分∠ABF，DE⊥AC于E，BF∥AC交ED的延长线于点F．给出以下三个结论：①AB＝AC；②AD⊥BC；③DE＝DF，其中正确的结论共有（　　）
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
6．下列判断：①有两个内角分别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形，其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝108°，点D为AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，若AB＝6，则CE的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
9．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，等腰直角△OAB中，OA＝OB，过点A作AD⊥OA，若线段OA上一点C满足∠CDB＝∠OBD，则∠CBD的度数为（　　）
A．42° B．43° C．45° D．60°
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知一次函数y＝（m﹣1）x+4﹣3m（m为常数），若其图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围为 　 　．
12．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是　 　．
13．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，则△AEC的面积为　 　．
14．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　 　cm．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图，在平面直角坐标系中，P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，三角形ABC经平移后点P的对应点为P1（a+6，b+2）．
（1）请画出经过上述平移后得到的三角形A1B1C1；
（2）求线段AC扫过的面积．
16．如图，直线AB：y＝2x﹣k过点M（k，2），并且分别与x轴，y轴相交于点A和点B．
（1）求k的值．
（2）求点A和点B的坐标．
（3）将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC＝3，求点C的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
17．如图，直线l1的函数关系式为y1＝x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2的函数解析式y2＝kx+b经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C．
（1）求直线l2函数解析式；
（2）若在x轴上存在一点F，使得S△ACF﹣S△ADC＝3，求点F的坐标．
18．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
五、（本大题共1小题，每小题12分，满分12分）
19．如图所示，等腰△ABC，BA＝BC，AD⊥BC．
（1）过点B作∠ABD的平分线交AD于点E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，已知AD＝BD，求证：BE＝AC．
六、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
20．为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知A型消毒液7元/瓶，B型消毒液9元/瓶．学校准备购进这两种消毒液共90瓶．
（1）写出购买所需总费用w元与A瓶个数x之间的函数表达式；
（2）若B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计最省钱的购买方案，并求出最少费用．
21．如图1，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为AD（不与点A，D重合）上的一动点，EF⊥BC于点F．
（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度数．
（2）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEF．
（3）如图2，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为AD上一点，EF⊥AD交BC延长线于点F，∠ACB＝m°，∠B＝n°，直接写出∠F的度数（用含m，n的代数式表示）．
七、（本大题共1小题，满分12分）
22．小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数y＝|x+2|﹣2的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整．
（1）列表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k …
直接填空：k＝　 　；
（2）描点并正确地画出该函数图象；
（3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 　 　；
②观察函数y＝|x+2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质：　 　；
（4）如果将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标系中的一个点．再根据二元一次方程组与一次函数的关系，我们知道方程组的解对应一次函数y＝x与一次函数 　 　图象的交点坐标A．
（5）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线y＝2围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 　 　．
八、（本大题共1小题，满分16分）
23．（16分）如图1，AM为△ABC的BC边的中线，点P为AM上一点，连接PB．
（1）若P为线段AM的中点．
①设△ABP的面积为S1，△ABC的面积为S，求的值；
②已知AB＝5，AC＝3，设AP＝x，求x的取值范围．
（2）如图2，若AC＝BP，求证：∠BPM＝∠CAM．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．若函数满足a+c＝0，a＜c，则函数y＝ax+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．
解：∵a+c＝0，且a＜c，
∴a＜0，c＞0．
当a＜0时，函数y＝ax+c图象经过第二、四象限，
当c＞0时，函数y＝ax+c的图象与y轴正半轴相交，
纵观各选项，只有D选项符合．
故选：D．
3．一辆货车从A地开往B地，一辆小汽车从B地开往A地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为s（千米），货车行驶的时间为t（小时），s与t之间的函数关系如图所示，下列说法：
①A、B两地相距60千米：
②出发1小时，货车与小汽车相遇；
③小汽车的速度是货车速度的2倍；
④出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了60千米；
⑤出发2小时，小货车离终点还有80千米，其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
解：由图象可得，
A、B两地相距120千米，故①错误；
出发1小时，货车与小汽车相遇，故②正确；
小汽车的速度是120÷1.5＝80（千米/小时），货车的速度为：120÷3＝40（千米/小时），即小汽车的速度是货车速度的80÷40＝2倍，故③正确；
出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了（80﹣40）×1.5＝60（千米），故④正确；
出发2小时，小货车离终点还有120﹣40×2＝40（千米），故⑤错误；
故选：C．
4．如图，已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象相交于点P，则根据图象可得二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象可知，点P就是一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的交点，即二元一次方程组y＝ax+by＝kx的解．
解：根据题意可知，
二元一次方程组的解就是一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象的交点P的坐标，
由一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象，得
二元一次方程组的解是．
故选：A．
5．如图，AD平分∠CAB，BD平分∠ABF，DE⊥AC于E，BF∥AC交ED的延长线于点F．给出以下三个结论：①AB＝AC；②AD⊥BC；③DE＝DF，其中正确的结论共有（　　）
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①根据平行线性质和角平分线得结论；
②根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，可判断②③；
④通过△CDE≌△DBF，得到DE＝DF，可判断④．
解：①∵AC∥BF，
∴∠C＝∠CBF，
∵BD平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC；
故①正确；
②∵AB＝AC，AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC；
故②正确；
③∵AB＝AC，AD平分∠CAB，
∴BD＝CD，
在△CED和△BFD中，
∵，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DE＝DF，
故③正确，
本题正确的结论有：①②③；
故选：B．
6．下列判断：①有两个内角分别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形，其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的性质即可一一判断；
解：①有两个内角分别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；正确，符合题意，
②直角三角形中两锐角之和为90°；正确，符合题意；
③三角形的三个内角中至少有两个锐角；正确，符合题意；
④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形；正确，符合题意；
故选：D．
7．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝108°，点D为AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，若AB＝6，则CE的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠C＝∠A＝＝36°．由线段垂直平分线的性质得出EA＝EB，那么∠ABE＝∠A＝36°，再证明∠BEC＝∠EBC＝72°，得出BC＝EC，等量代换即可求出CE＝6．
解：在等腰△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝108°，
∴∠C＝∠A＝＝36°．
∵点D为AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠BEC＝∠ABE+∠A＝72°，
∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，
∴∠BEC＝∠EBC，
∴BC＝EC，
∵AB＝BC，AB＝6，
∴CE＝6．
故选：B．
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH＝DE＝2，根据三角形的面积公式得×2×AC+×2×4＝7，于是可求出AC的值．
解：作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DE＝2，
∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD，
∴×2×AC+×2×4＝7，
∴AC＝3．
故选：A．
9．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．
解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如右图所示，
由已知可得，OB＝x，OA＝1，∠AOB＝90°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点C的纵坐标是y，
∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOB＝180°，
∴∠DAO＝90°，
∴∠OAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠OAB＝∠DAC，
在△OAB和△DAC中，
，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB＝CD，
∴CD＝x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y＝x+1（x＞0）．
故选：A．
10．如图，等腰直角△OAB中，OA＝OB，过点A作AD⊥OA，若线段OA上一点C满足∠CDB＝∠OBD，则∠CBD的度数为（　　）
A．42° B．43° C．45° D．60°
【分析】过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于E，BF⊥CD于F，由“AAS”可证△BED≌△BFD，可得BE＝BF＝BO，∠EBD＝∠FBD，由“HL”可证Rt△BCF和Rt△BCO，可得∠OBC＝∠CBF，即可求解．
解：如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于E，BF⊥CD于F，
∵AD⊥AO，BO⊥AO，
∴AD∥BO，
∴∠EDB＝∠DBO，
又∵∠CDB＝∠OBD，
∴∠EDB＝∠BDC，
∵∠BAD＝45°，DA⊥AO，
∴∠DAB＝∠BAO＝45°，
又∵BE⊥AD，BO⊥AO，
∴BE＝BO，
在△BED和△BFD中，
，
∴△BED≌△BFD（AAS），
∴BE＝BF＝BO，∠EBD＝∠FBD，
在Rt△BCF和Rt△BCO中，
，
∴Rt△BCF和Rt△BCO（HL），
∴∠OBC＝∠CBF，
∵∠E+∠EAO+∠AOB+∠OBE＝360°，
∴∠OBE＝90°，
∴∠EBD+∠DBF+∠FBC+∠CBO＝90°，
∴∠DBC＝45°，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知一次函数y＝（m﹣1）x+4﹣3m（m为常数），若其图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围为 　m＞　．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到m﹣1＞0，4﹣3m＜0，然后求出不等式组的解集即可．
解：∵一次函数y＝（m﹣1）x+4﹣3m（m为常数）的图象经过第一、三、四象限，
∴，
解得m＞．
故答案为：m＞．
12．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是　　．
【分析】先利用直线y＝x+2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案．
解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2，
即P点坐标为（2，4），
所以二元一次方程组的解为．
故答案为：．
13．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，则△AEC的面积为　12cm2　．
【分析】由中线得CE＝BC，进而由三角形的面积公式得△AEC的面积是△ABC面积的一半，由直角三角形地面积公式求得△ABC的面积便可．
解：S△ABC＝AB AC＝×6×8＝24（cm2），
∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝CE＝BC，
∵AD是△ABC的高，
∴S△AEC＝CE AD＝BC AD＝S△ABC
＝，
故答案为12cm2．
14．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　30　cm．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，
∴DE＝DC+CE＝30（cm），
答：两堵木墙之间的距离为30cm．
故答案为：30．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图，在平面直角坐标系中，P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，三角形ABC经平移后点P的对应点为P1（a+6，b+2）．
（1）请画出经过上述平移后得到的三角形A1B1C1；
（2）求线段AC扫过的面积．
【分析】（1）利用点P和P1的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律得到A1（3，4）、B1（1，3），C1（4，2），然后描点即可；
（2）连接AA1、CC1，根据三角形面积公式，根据四边形ACC1A1的面积＝△ACC1的面积+△AA1C1的面积进行计算．
解：（1）如图，三角形A1B1C1为所作；
（2）如图，连接AA1、CC1，
四边形ACC1A1的面积＝△ACC1的面积+△AA1C1的面积＝×7×2+×7×2＝14．
答：线段AC扫过的面积为14．
16．如图，直线AB：y＝2x﹣k过点M（k，2），并且分别与x轴，y轴相交于点A和点B．
（1）求k的值．
（2）求点A和点B的坐标．
（3）将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC＝3，求点C的坐标．
【分析】（1）将点M（k，2）代入即可得k的值；
（2）根据直线AB：y＝2x﹣2，分别求出当y＝0时x的值．当x＝0，y的值即可求得A、B的坐标；
（3）根据平移的规律求得平移后的解析式，根据解析式设出C（m，2m+1），然后根据三角形面积公式得到|2m+1|＝3，解得m的值，从而求得C的坐标．
解：（1）∵直线AB：y＝2x﹣k过点M（k，2），
∴2＝2k﹣k，解得：k＝2，
∴k的值是2；
（2）∵k＝2，
∴直线AB：y＝2x﹣2，
当y＝0，则2x﹣2＝0，解得x＝1；
当x＝0时，y＝﹣2，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣2）；
（3）将直线AB：y＝2x﹣2向上平移3个单位得直线l：y＝2x+1，
设C的坐标为（m，2m+1），
∵S△AOC＝3，
∴|2m+1|＝3，
∴2m+1＝±6，解得m＝或﹣，
∴C（，6）或（﹣，﹣6）．
四、（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
17．如图，直线l1的函数关系式为y1＝x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2的函数解析式y2＝kx+b经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C．
（1）求直线l2函数解析式；
（2）若在x轴上存在一点F，使得S△ACF﹣S△ADC＝3，求点F的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；
（2）由两解析式组成的方程组求得C的坐标，求出S△ADC＝6，根据S△ACF﹣S△ADC＝3，利用三角形的面积公式即可求得F的纵坐标．
解：（1）根据题意得：，解得：，
则直线l2函数解析式是：y＝﹣x+4；
（2）由方程组，
解得：，
∴C的坐标是（2，2）．
由y＝x+1在中令y＝0，解得：x＝﹣2，则D的坐标是（﹣2，0）．
∵A（4，0），
∴AD＝6，
∴S△ADC＝×6×2＝6，
设F点的坐标为（x，0），
∵S△ACF﹣S△ADC＝3，
∴S△ACF＝9，
∴×2×|4﹣x|＝9，解得x＝﹣5或13，
∴F的坐标是（﹣5，0）或（13，0）．
18．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论．
【解答】（1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°；
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠E+∠ACE，
∴∠BAC＝∠E+∠ECD，
∵∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC＝2∠E+∠B．
五、（本大题共1小题，每小题12分，满分12分）
19．如图所示，等腰△ABC，BA＝BC，AD⊥BC．
（1）过点B作∠ABD的平分线交AD于点E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，已知AD＝BD，求证：BE＝AC．
【分析】（1）以B为圆心BD为半径画弧与AB交点为M，以D、M为圆心，大于的长为半径画弧交点为N，连接BN并延长与AD交点即为E；
（2）先利用等腰直角三角形的性质得到∠ABD＝∠BAD＝45°，则∠ABE＝∠EBD＝22.5°，再计算出∠DAC＝22.5°，则可利用“ASA”证明△BDE≌△ADC，从而得到结论．
【解答】（1）解：如图，BE为所作；
（2）证明：∵AD⊥BC，AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∵BE是∠B的平分线，
∴∠ABE＝∠EBD＝22.5°，
∵△ABC是等腰三角形，BA＝BC，
∴∠BAC＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝22.5°＝∠DBE，
在△BDE和△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（ASA），
∴BE＝AC．
六、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
20．为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知A型消毒液7元/瓶，B型消毒液9元/瓶．学校准备购进这两种消毒液共90瓶．
（1）写出购买所需总费用w元与A瓶个数x之间的函数表达式；
（2）若B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【分析】（1）根据A型消毒液7元/瓶，B型消毒液9元/瓶，直接可得w＝﹣2x+810；
（2）由B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，可得90﹣x≥x，解得x≤67.5，根据一次函数性质即得x＝67时，w最小值是﹣2×67+810＝676，即可得出答案．
解：（1）∵A型消毒液7元/瓶，B型消毒液9元/瓶，
∴w＝7x+9（90﹣x）＝﹣2x+810，
答：购买所需总费用w元与A瓶个数x之间的函数表达式为w＝﹣2x+810；
（2）∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，
∴90﹣x≥x，
解得x≤67.5，
∵在w＝﹣2x+810中，﹣2＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝67时，w最小，最小值是﹣2×67+810＝676（元），
此时购买B型消毒液90﹣x＝90﹣67＝23（瓶），
答：A型消毒液买67瓶，B型消毒液买23瓶最省钱，最少费用是676元．
21．如图1，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为AD（不与点A，D重合）上的一动点，EF⊥BC于点F．
（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度数．
（2）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEF．
（3）如图2，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为AD上一点，EF⊥AD交BC延长线于点F，∠ACB＝m°，∠B＝n°，直接写出∠F的度数（用含m，n的代数式表示）．
【分析】（1）首先求出∠EDF＝90°﹣∠DEF＝70°，得出∠BAD＝70°﹣40°＝30°，再利用三角形内角和定理可得答案；
（2）由（1）同理可知∠C﹣∠B＝∠ADB﹣∠ADF，而∠ADB＝∠EFD+∠DEF＝90°+∠DEF，∠ADF＝90°﹣∠DEF，代入即可；
（3）用m、n的代数式表示∠BAD＝＝，∠ADC＝∠B+∠BAD＝n°+，从而解决问题．
【解答】（1）解：∵EF⊥BC，
∴∠EFD＝90°，
∴∠DEF+∠EDF＝90°，
∵∠DEF＝20°，
∴∠EDF＝90°﹣∠DEF＝70°，
∵∠BAD＝∠EDF﹣∠B，∠B＝40°，
∴∠BAD＝70°﹣40°＝30°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC
＝180°﹣40°﹣60°
＝80°；
（2）证明：∵∠C＝∠ADB﹣∠DAC，∠B＝∠ADF﹣∠BAD，
∴∠C﹣∠B＝∠ADB﹣∠DAC﹣∠ADF+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD，
∴∠C﹣∠B＝∠ADB﹣∠ADF，
∵EF⊥BC，
∴∠EFD＝90°，
∵∠ADB＝∠EFD+∠DEF＝90°+∠DEF，∠ADF＝90°﹣∠DEF，
∴∠C﹣∠B＝90°+∠DEF﹣（90°﹣∠DEF）＝2∠DEF，
∴∠C﹣∠B＝2∠DEF；
（3）解：∵∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B，
∠ACB＝m°，∠B＝n°，
∴∠BAC＝180°﹣m°﹣n°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝＝，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝n°+，
即∠EDF＝n°+，
∵∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣[n°+]，
＝（）°．
七、（本大题共1小题，满分12分）
22．小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数y＝|x+2|﹣2的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整．
（1）列表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k …
直接填空：k＝　1　；
（2）描点并正确地画出该函数图象；
（3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 　﹣2　；
②观察函数y＝|x+2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质：　第一条：图象关于直线x＝﹣2对称，
第二条：当x＞﹣2时，y随着x的增大而增大　；
（4）如果将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标系中的一个点．再根据二元一次方程组与一次函数的关系，我们知道方程组的解对应一次函数y＝x与一次函数 　y＝x+1　图象的交点坐标A．
（5）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线y＝2围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 　9　．
【分析】（1）把x＝1代入函数关系式进行计算即可；
（2）描点、连线画出函数图象即可；
（3）①观察图形可知（﹣2，﹣2）是该函数图象的最低点，即可解答，
②观察图象可从该图象的对称性，增减性解答即可；
（4）根据一次函数和二元一次方程组的关系，把方程x﹣4y＝﹣4写成函数关系式的形式即可解答；
（5）画出直线y＝2的图象，观察图象即可解答．
解：（1）当x＝1时，y＝|1+2|﹣2＝1，
∴k＝1，
故答案为：1；
（2）描点、连线画出该函数图象如图：
（3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为：﹣2，
②观察函数y＝|x+2|﹣2的图象，写出该图象的两条性质：
第一条：该图形关于直线x＝﹣2对称，
第二条：当x＞﹣2时，y随着x的增大而增大，
故答案为：①﹣2，
②第一条：图象关于直线x＝﹣2对称，
第二条：当x＞﹣2时，y随着x的增大而增大；
（4）根据二元一次方程组与一次函数的关系，我们知道方程组的解对应一次函数y＝x与一次函数y＝x+1图象的交点坐标A，
故答案为：y＝x+1；
（5）如图：该函数图象与直线y＝2围成的区域内（不包括边界）整点的个数为9个，
故答案为：9．
八、（本大题共1小题，满分16分）
23．（16分）如图1，AM为△ABC的BC边的中线，点P为AM上一点，连接PB．
（1）若P为线段AM的中点．
①设△ABP的面积为S1，△ABC的面积为S，求的值；
②已知AB＝5，AC＝3，设AP＝x，求x的取值范围．
（2）如图2，若AC＝BP，求证：∠BPM＝∠CAM．
【分析】（1）①根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，可得结论；
②倍长中线构造全等三角形解决问题即可；
（2）延长PM到点D使PM＝DM，连接DC，利用全等三角形的性质解决问题即可．
解：（1）①∵AM为△ABC的BC边的中线，
∴
∵P为线段AM的中点，
∴
∴，
∴；
②过C点作AB平行线，过B点作AC平行线，相交于点N，连接ME．
∵AB//CE，
∴∠ABC＝∠BCE，∠BAE＝∠AEC，BM＝MC，
∴△ABM≌△CME（AAS），
∴AB＝CE，
在△AEC中有，CE﹣AC≤AE≤CE+AC，
即AB﹣AC≤AE≤AB+AC，
得2≤AE≤8，
∴1≤AM≤4，
∵P为线段AM的中点，
∴AM＝2AP，
∴≤x≤2；
（2）证明：延长PM到点D使PM＝DM，连接DC，
∵PM＝DM，∠BMP＝∠CMD，BM＝CM，
∴△BMP≌△CMD（SAS），
∴BP＝CD，∠BPM＝∠CDM，
又∵AC＝BP，
∴AC＝CD，
∴∠CAM＝∠CDM，
∴∠BPM＝∠CAM．