1.1.4_等边三角形的判定 基础训练（含答案）

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《1.1.4等边二角形的判定》
知识点一 等边三角形的判定
1.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )
A.①②③④
B.①②④
C.①③
D.②③④
2.若△ABC的三条边长分别是，且=0，则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
3.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE是等边三角形.
4.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形.
知识点二 含30°角的直角三角形的性质
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，BD=1，则AB为
.
7.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF=2DC.
知识点三 应用含30°角的直角三角形的性质时忽视直角三角形致错
8.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.
琪琪给出以下解题过程，请判断琪琪的解题过程是否正确，如不正确，请写出正确的解题过程.
解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABC=30°，即在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BD=2CD=10 cm，∴AB=20 cm.
参考答案
1.答案：A
解析：①有两个角等于60°，则第三个角也是60°，则其是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；④由题意可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等，则其是等边三角形.所以都正确.故选A.
2.答案：B
解析：∵=0，∴=0且=0，∴，∴△ABC为等边三角形.故选B.
3.答案：【证明】在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠ADC=∠AEB=∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形.
解析：
4.答案：【证明】∵∠A=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∴∠BDE=∠CDF=60°，∴∠EDF=60°.∵D是BC的中点，∴BD=CD.在△BDE与△CDF中，∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF∴△DEF是等边三角形.
解析：
5.答案：D
解析：根据垂线段最短，可知AP的长不可能小于2.∵△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，∴AB=4，∴AP的长不可能大于4.故选D.
6.答案：4
解析：∵∠A=30°，∠BCA=90°，∴∠B=60°.∵CD⊥AB，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=2，∴AB=2BC=4.
7.答案：【证明】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°.∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°-∠EDC=30°.∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED=DC.∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=2DC.
解析：
8.答案：【解】琪琪的解题过程不正确.正确的解题过程如下：
∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABC=30°，即在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BD=2CD=10 cm（含30°角的直角三角形的性质）由勾股定理，得BC= cm.∵∠A=30°，∠C=90°，∴AB=2BC= cm.
解析：易错警示 含30°角的直角三角形的性质，前提条件是在直角三角形中，其次就是要找准30°角所对的直角边和斜边.
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