1.1.3_等腰三角形的判定和反证法 基础训练（含答案）

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《1.1.3等腰三角形的判定和反证法》
知识点一 等腰三角形的判定
1.下列三角形不可能是等腰三角形的是（ ）
A.有两个内角分别为75°，75°的三角形
B.有两个内角分别为110°和40°的三角形
C.有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
D.有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形
2.关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB=AC；
②△ABC中，∠B=56°，∠A=68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC；
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（ ）
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
3.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是 .
4.如图，AB∥CD，直线交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G.求证：△EFG是等腰三角形.
5.从①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAD=∠CDA四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形.（写出一种即可）
知识点二 等腰三角形的判定的实际应用
6.嘉嘉和淇淇玩一个游戏，他们同时从点B出发，嘉嘉沿正西方向行走，淇淇沿北偏东30°方向行走，一段时间后，嘉嘉恰好在淇淇的南偏西60°方向上.若嘉嘉行走的速度为1 m/s，则淇淇行走的速度为（ ）
A.0.5 m/s
B.0.8 m/s
C.1 m/s
D.1.2 m/s
7.如图，一艘渔船位于小岛P的南偏东70°方向的M处.它以每时40千米的速度向正北方向航行，2时后到达位于小岛P的北偏东40°方向的N处，求N处与小岛
P的距离.
知识点三 反证法的应用
8.用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中( )
A.没有一个角是锐角
B.每一个角都是钝角或直角
C.至少有一个角是钝角或直角
D.所有角都是锐角
9.用反证法证明：等腰三角形的底角必为锐角.
参考答案
1.答案：B
解析：A选项，有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形；B选项，有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形；C选项，有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形；D选项，有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是40°，第三个角是40°，可以构成等腰三角形.故选B.
2.答案：D
解析：①∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故①正确.②∵△ABC中，∠B=56°，∠A=68°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-68°-56°=56°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形，故②正确.
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC.∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠C+∠CAD+∠ADC=180°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形，故③正确.
④∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故④正确.故选D.
3.答案：3
解析：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°.在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形.在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BDC是等腰三角形.综上，共有3个等腰三角形.
4.答案：∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFG.∵AB∥CD，∴∠EGF=∠GFD，∴∠EFG=∠EGF.∴△EFG是等腰三角形.
解析：
5.答案：选择的条件是③∠B=∠C，④∠BAD=∠CDA.（答案不唯一）
证明：∵在△BAD和△CDA中，∴△BAD≌△CDA（AAS），∴∠BDA=∠CAD，∴△AED是等腰三角形.
解析：
6.答案：C
解析：由题图可得∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠ACB=180°-120°-30°=30°，∴AB=BC，∴嘉嘉行走的速度和淇淇行走的速度相同，即1m/s.故选C.
7.答案：∵∠M=70°，∠N=40°，∴∠NPM=180°-∠M-∠N=180°-70°-40°=70°，∴∠NPM=∠M.∵MN=2×40=80（千米），∴NP=MN=80千米，即N处与小岛P的距离为80千米.
解析：
8.答案：D
解析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设四边形中所有角都是锐角.故选D.
9.答案：假设等腰三角形的底角不是锐角，则底角大于或等于90°.
根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°，所以该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立.所以等腰三角形的底角必为锐角.
解析：
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