2.1二次函数 同步教案
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文档简介
1 二次函数
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数．
2．会根据二次函数的关系式计算一些函数值．
3．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
二、重难点目标
【教学重点】
二次函数的概念．
【教学难点】
能根据已知条件写出二次函数的表达式．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P29～P30的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．正比例函数的表达式为y＝kx(k为常数，且k≠0)；一次函数的表达式为y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)．
2．一般地，若两个变量x、y之间的对应关系可以表示为y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)的形式，那么称y是x的二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a、b、c.
3．下列函数中，是二次函数的有①②③.(填序号)
①y＝(x－3)2－1；②y＝1－x2；③y＝(x＋2)(x－2)；④y＝(x－1)2－x2.
4．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知关于x的函数y＝(m＋1)xm2－m是二次函数， 求m的值．
【互动探索】(引发学生思考)已知含参函数的表达式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？
【解答】由题意，得解得m＝2.
即m的值为2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)y＝ax2＋bx＋c为二次函数的前提条件是a≠0，且自变量x的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件．
【例2】一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1) cm的小长方形，剩余部分的面积为y cm2.
(1)写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？
(2)当小长方形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？
【互动探索】(引发学生思考)画出几何示意图，用含x的代数式表示出相关线段，根据题中的数量关系列出表达式．
【解答】(1)根据题意，得y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144.
∴y是x的二次函数．
(2)当x＝2时，y＝－2×22－2×2＋144＝132；当x＝4时，y＝－2×42－2×4＋144＝104.
∴相应的剩余部分的面积分别是132 cm2和104 cm2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题写出二次函数的表达式的一般步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，从而写出二次函数表达式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
解：根据题意，得解得k＝2.
即k的值为2.
【教师点拨】不要忽视k＋2≠0.
2．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数表达式是S＝－2x2＋10x.(不写自变量的取值范围)
3．已知函数y＝(m＋1)xm2－3m－2＋(m－1)x(m是常数)．
(1)m为何值时，它是二次函数？
(2)m为何值时，它是一次函数？
解：(1)m＝4.
(2)m＝－1或m＝或m＝.
【教师点拨】注意问题(2)要分情况讨论．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知关于x的二次函数，当x＝－1时，函数值为10；当x＝1时，函数值为4；当x＝2时，函数值为7，求这个二次函数的表达式．
【互动探索】我们学过了一次函数以及一次函数表达式的求法——待定系数法，这种方法对求二次函数的表达式同样适用吗？
【解答】设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
根据题意，得
解得
故所求二次函数的表达式为y＝2x2－3x＋5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求二次函数的表达式与求一次函数的表达式的方法相同，都是待定系数法，二次函数有三个未知数，所以求二次函数的表达式需要三个方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数．
2．会根据二次函数的关系式计算一些函数值．
3．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
二、重难点目标
【教学重点】
二次函数的概念．
【教学难点】
能根据已知条件写出二次函数的表达式．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P29～P30的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．正比例函数的表达式为y＝kx(k为常数，且k≠0)；一次函数的表达式为y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)．
2．一般地，若两个变量x、y之间的对应关系可以表示为y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)的形式，那么称y是x的二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a、b、c.
3．下列函数中，是二次函数的有①②③.(填序号)
①y＝(x－3)2－1；②y＝1－x2；③y＝(x＋2)(x－2)；④y＝(x－1)2－x2.
4．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知关于x的函数y＝(m＋1)xm2－m是二次函数， 求m的值．
【互动探索】(引发学生思考)已知含参函数的表达式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？
【解答】由题意，得解得m＝2.
即m的值为2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)y＝ax2＋bx＋c为二次函数的前提条件是a≠0，且自变量x的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件．
【例2】一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1) cm的小长方形，剩余部分的面积为y cm2.
(1)写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？
(2)当小长方形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？
【互动探索】(引发学生思考)画出几何示意图，用含x的代数式表示出相关线段，根据题中的数量关系列出表达式．
【解答】(1)根据题意，得y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144.
∴y是x的二次函数．
(2)当x＝2时，y＝－2×22－2×2＋144＝132；当x＝4时，y＝－2×42－2×4＋144＝104.
∴相应的剩余部分的面积分别是132 cm2和104 cm2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题写出二次函数的表达式的一般步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，从而写出二次函数表达式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
解：根据题意，得解得k＝2.
即k的值为2.
【教师点拨】不要忽视k＋2≠0.
2．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数表达式是S＝－2x2＋10x.(不写自变量的取值范围)
3．已知函数y＝(m＋1)xm2－3m－2＋(m－1)x(m是常数)．
(1)m为何值时，它是二次函数？
(2)m为何值时，它是一次函数？
解：(1)m＝4.
(2)m＝－1或m＝或m＝.
【教师点拨】注意问题(2)要分情况讨论．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知关于x的二次函数，当x＝－1时，函数值为10；当x＝1时，函数值为4；当x＝2时，函数值为7，求这个二次函数的表达式．
【互动探索】我们学过了一次函数以及一次函数表达式的求法——待定系数法，这种方法对求二次函数的表达式同样适用吗？
【解答】设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
根据题意，得
解得
故所求二次函数的表达式为y＝2x2－3x＋5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求二次函数的表达式与求一次函数的表达式的方法相同，都是待定系数法，二次函数有三个未知数，所以求二次函数的表达式需要三个方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！