2.3确定二次函数的表达式（2课时） 同步教案

3　确定二次函数的表达式
第1课时　确定含有两个未知数的二次函数的表达式
教学目标
一、基本目标
1．会用待定系数法求二次函数的表达式．
2．掌握用“顶点式”求二次函数表达式．
二、重难点目标
【教学重点】
用待定系数法求二次函数的表达式．
【教学难点】
根据已知条件选取适当的方法求二次函数的表达式．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P42～P43的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的表达式．
2．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c，顶点式：y＝a(x－h)2＋k.
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c可化成y＝a(x－h)2＋k，顶点是(h，k)．如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式．
4．已知二次函数y＝(m－2)x2＋(m＋3)x＋m＋2的图象过点(0，5)，求m的值，并写出二次函数的表达式．
解：把(0，5)代入y＝(m－2)x2＋(m＋3)x＋m＋2，得m＋2＝5，解得m＝3.
∴二次函数的表达式为y＝x2＋6x＋5.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．
【互动探索】(引发学生思考)用待定系数法求解．
【解答】将点(2，3)和(－1，－3)的坐标分别代入表达式y＝ax2＋c，
得 解得
即所求二次函数表达式y＝2x2－5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知函数表达式和该函数图象上两个点的坐标，一般用待定系数法求函数表达式．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．写出经过点(0，0)，(－2，0)的一个二次函数的表达式y＝x2＋2x(答案不唯一)．(写一个即可)
2．若抛物线的顶点为(－2，3)，且经过点(－1，5)，则其表达式为y＝2x2＋8x＋11.
3．二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)，求此抛物线的表达式．
解：设抛物线的表达式为y＝a(x－3)2＋5.
将A(1，3)代入上式，
得3＝a(1－3)2＋5，解得a＝－.
∴抛物线的表达式为y＝－(x－3)2＋5.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则这个二次函数的表达式为(　　)
A．y＝－x2＋2x＋3
B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝－x2＋2x－3
D．y＝－x2－2x＋3
【互动探索】根据对称轴设顶点式→将两个点的坐标代入即可求解．
【分析】由图象知抛物线的对称轴为直线x＝－1，且过点(－3，0)，(0，3)，设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2＋k.
将(－3，0)，(0，3)代入，得
解得
故抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查待定系数法求函数表达式，解题的关键是根据题意设出合适的二次函数表达式，已知对称轴一般设顶点式．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中一项的系数，再知道图象上两个点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时　确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式
教学目标
一、基本目标
1．掌握用“三点式”列方程组求二次函数表达式．
2．能根据已知点的特点，用“交点式”求二次函数的解析式．
3．通过探索和总结，让学生体会到学习数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．
二、重难点目标
【教学重点】
用待定系数法求二次函数的表达式．
【教学难点】
根据已知条件选取适当的方法求二次函数的表达式．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P44～P45的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．用待定系数法求二次函数的表达式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，需要求出a、b、c的值，由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，就可以写出二次函数的表达式．
2．若已知抛物线的顶点或对称轴，则一般设抛物线的表达式为顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h.
3．若已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则一般设抛物线的表达式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
4．若已知抛物线三个点的坐标，则一般设抛物线的表达式为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
5．已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，且经过点N(2，3)，求此二次函数的表达式．
解：∵抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，
∴可设此二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－2.
把点N(2，3)代入表达式，得a－2＝3，即a＝5.
∴此二次函数的表达式为y＝5(x－1)2－2.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
【互动探索】(引发学生思考)已知二次函数的图象经过任意三点的坐标，考虑设二次函数的一般式解决问题．
【解答】设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
将三点(－1，10)，(1，4)，(2，7)的坐标分别代入表达式，
得解得
即所求二次函数的表达式为y＝2x2－3x＋5.
∵y＝2x2－3x＋5＝2x－2＋，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝，顶点坐标为，.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，当已知抛物线过任意三点时，通常设二次函数的一般式，即设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，从而列三元一次方程组来求解．
【例2】已知抛物线经过点(－1，0)，(5，0)和(3，－4)，求该抛物线的解析式．
【互动探索】(引发学生思考)已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一点的坐标，应该怎样设函数解析式较为简便？
【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－5)．
将(3，－4)代入，得－4＝－8a，
解得a＝.
则该抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－5)，
即y＝x2－2x－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，若已知抛物线与x轴的两个交点分别为(x1，0)，(x2，0)，可选择设其解析式为交点式，即y＝a(x－x1)(x－x2)．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．已知一个二次函数的图象经过A(0，－3)、B(1，0)、C(m，2m＋3)、D(－1，－2)四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．
解：抛物线的解析式为y＝2x2＋x－3，
点C坐标为－，0或(2，7)．
2．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？
解：(1)此二次函数的解析式是y＝－x2－2x＋3.
(2)点P(－2，3)在此二次函数的图象上．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】已知二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是点C，求△ABC的面积．
【互动探索】(1)设顶点式y＝a(x－3)2＋5，然后把点A坐标代入求出a，即可得到抛物线的解析式；(2)利用抛物线的对称性得到B(5，3)，再确定出点C坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋5.
将A(1，3)代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，
解得a＝－ .
即抛物线的解析式为y＝－(x－3)2＋5.
(2)∵A(1，3)，且抛物线对称轴为直线x＝3，
∴B(5，3)．
令x＝0，则y＝－ (x－3)2＋5＝，
∴C0，，
∴S△ABC＝×(5－1)×3－＝5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
用待定系数法求二次函数解析式的三种常见设法(其中，a≠0，x1、x2分别是抛物线与x轴的交点的横坐标)：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．
练习设计
请完成本课时对应练习！