2.4二次函数的应用（2课时） 同步教案
文档属性
| 名称 | 2.4二次函数的应用（2课时） 同步教案 |  | |
| 格式 | DOC | ||
| 文件大小 | 92.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-17 09:45:34 | ||
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文档简介
4 二次函数的应用
第1课时 二次函数在几何中的应用
教学目标
一、基本目标
1．经历探究矩形和窗户透光的最大面积问题，能够运用二次函数的知识解决几何问题中的最大(小)值问题．
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，明确利用二次函数解决问题的基本思路和步骤，感受数学的应用价值．
二、重难点目标
【教学重点】
建立二次函数模型，解决实际问题中的最大(小)值问题．
【教学难点】
根据实际问题情境，建立合适的数学模型解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P46～P47的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．要求矩形的面积就需要知道矩形的相邻两条边的长，因此要把这两条边的长分别用含有x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题求解．
2．有关窗户透光的最大值问题，虽然图形比较复杂，但其函数类型还是二次函数，可用求二次函数最值的方法求解．窗户的面积越大，通过的光线就会越多，因此求“通过光线最多”或“最大采光面积”，实际都是在求窗户的最大面积．
3．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成的矩形ABCD的最大面积是( C )
A．60 m2 B．63 m2
C．64 m2 D．66 m2
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少(结果精确到0.01 m2)
【互动探索】(引发学生思考)要求窗户通过的光线最多，即求窗户面积的最大值，因此需要建立窗户的面积S与x的表达式，再利用二次函数的性质求解．
【解答】由题意可知4y＋×2πx＋7x＝15.
化简，得y＝.
∵0＜x＜15，0＜y＜15，
∴0＜x＜1.48.
设窗户的面积为S m2，则S＝πx2＋2x·＝－3.5x2＋7.5x.
∵a＝－3.5<0，∴S有最大值，
∴当x＝－＝≈1.07时，
S最大＝＝≈4.02.
即当x≈1.07时，窗户通过的光线最多，此时，窗户的面积大约是4.02 m2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题较复杂，特别要注意：中间线段用含x的代数式来表示时，要充分利用几何关系．要注意抛物线顶点的横坐标是否在自变量的实际取值范围内．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为( A )
A．6 cm B．12 cm
C．24 cm D．36 cm
2．用总长度为12 m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD、AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为4m2.
3．如图，用长为18 m的篱笆(3AB＋BC)围成矩形花圃，一面利用墙(墙足够长)，求围成的矩形花圃ABCD的最大占地面积．
解：设AB＝x m，则BC＝(18－3x)m.
由题意，得围成的矩形花圃ABCD的面积S＝x(18－3x)＝－3x2＋18x＝－3(x2－6x)＝－3(x－3)2＋27，则S最大＝27.
即围成的矩形花圃ABCD的最大占地面积为27 m2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆卡车能否通过该隧道？说明理由．
【互动探索】要求抛物线的解析式，需根据函数图象特点，设出顶点式进行求解．要判断这辆卡车能否通过该隧道，即求当x＝2.4时，该抛物线的值是否大于4.2.
【解答】(1)由题意，得E(0，6)、D(4，2)．
∵点E为顶点，
∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋6.
将点D的坐标代入，得16a＋6＝2，
解得a＝－.
∴y＝－x2＋6.
(2)这辆卡车能通过该隧道．理由如下：
∵x＝2.4时，y＝－×2.42＋6＝4.56>4.2，
∴这辆卡车能通过该隧道．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决这类问题的关键是根据已知条件在已建立的平面直角坐标系中求出各点坐标，再结合函数解析式，利用方程去解决问题．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次函数解几何问题的基本思路：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)求解；
(5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 二次函数在生活中的应用
教学目标
一、基本目标
1．体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．
2．能运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值．
二、重难点目标
【教学重点】
运用二次函数的知识求出销售问题中的最大(小)值．
【教学难点】
能根据实际问题建立二次函数的关系式，并能求出二次函数的最值．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P48～P49的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．利用二次函数的知识解决最大利润问题的一般步骤：
(1)寻找实际问题中的两个变量之间的等量关系，并用字母表示这两个变量；
(2)用含自变量的代数式表示相关的量；
(3)用关系式表示这个等量关系；
(4)利用二次函数的知识解决实际问题．
常用公式：利润＝销售量×单个商品的利润；利润率＝×100%.
2．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y＝－4x＋440，要获得最大利润，该商品的售价应定为( C )
A．60元 B．70元
C．80元 D．90元
3．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋14n－24，则企业停产的月份为( D )
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例题】服装厂某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发价是多少元时可以获利最多？
【互动探索】(引发学生思考)根据“总利润＝单个商品的利润×销售量”可知，要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大．
【解答】设在13元的基础上降价x元，则批发价就是(13－x)元，单件的利润是(3－x)元，这时销量是(5000＋5000x)件．
设总利润为y元，则y＝(3－x)(5000＋5000x)＝－5000(x－1)2＋20 000，
∴当x＝1时，y取最大值20 000，此时批发价为13－1＝12(元)．
故厂家批发价是12元时可以获利最多．
【互动总结】(学生总结，老师点评)用二次函数解决实际问题的步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题中的变量与常量，分析它们之间的关系；(3)设适当的未知数，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；(4)根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解；(5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－2t2＋20t＋1.若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间是( C )
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
2．一件工艺品的进价为100元，以标价135元出售，每天可售出100件．根据销售统计，若一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价( B )
A．3.6元 B．5元
C．10元 D．12元
3．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间的关系式为y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，若要达到最强接受能力59.9，则需13min.
4．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
解：(1)由题意，得y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－27 500，即y＝－5x2＋800x－27 500(50≤x≤100)．
(2)y＝－5x2＋800x－27 500＝－5(x－80)2＋4500.
∵a＝－5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80时，y最大值＝4500.
(3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90.
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤：
(1)找出销售单价与利润之间的函数表达式(注明自变量的取值范围)；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标；
(3)由函数图象的顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”．
2．产量最大化与利润最大化类似，可以按上面思路求解．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第1课时 二次函数在几何中的应用
教学目标
一、基本目标
1．经历探究矩形和窗户透光的最大面积问题，能够运用二次函数的知识解决几何问题中的最大(小)值问题．
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，明确利用二次函数解决问题的基本思路和步骤，感受数学的应用价值．
二、重难点目标
【教学重点】
建立二次函数模型，解决实际问题中的最大(小)值问题．
【教学难点】
根据实际问题情境，建立合适的数学模型解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P46～P47的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．要求矩形的面积就需要知道矩形的相邻两条边的长，因此要把这两条边的长分别用含有x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题求解．
2．有关窗户透光的最大值问题，虽然图形比较复杂，但其函数类型还是二次函数，可用求二次函数最值的方法求解．窗户的面积越大，通过的光线就会越多，因此求“通过光线最多”或“最大采光面积”，实际都是在求窗户的最大面积．
3．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成的矩形ABCD的最大面积是( C )
A．60 m2 B．63 m2
C．64 m2 D．66 m2
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少(结果精确到0.01 m2)
【互动探索】(引发学生思考)要求窗户通过的光线最多，即求窗户面积的最大值，因此需要建立窗户的面积S与x的表达式，再利用二次函数的性质求解．
【解答】由题意可知4y＋×2πx＋7x＝15.
化简，得y＝.
∵0＜x＜15，0＜y＜15，
∴0＜x＜1.48.
设窗户的面积为S m2，则S＝πx2＋2x·＝－3.5x2＋7.5x.
∵a＝－3.5<0，∴S有最大值，
∴当x＝－＝≈1.07时，
S最大＝＝≈4.02.
即当x≈1.07时，窗户通过的光线最多，此时，窗户的面积大约是4.02 m2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题较复杂，特别要注意：中间线段用含x的代数式来表示时，要充分利用几何关系．要注意抛物线顶点的横坐标是否在自变量的实际取值范围内．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为( A )
A．6 cm B．12 cm
C．24 cm D．36 cm
2．用总长度为12 m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD、AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为4m2.
3．如图，用长为18 m的篱笆(3AB＋BC)围成矩形花圃，一面利用墙(墙足够长)，求围成的矩形花圃ABCD的最大占地面积．
解：设AB＝x m，则BC＝(18－3x)m.
由题意，得围成的矩形花圃ABCD的面积S＝x(18－3x)＝－3x2＋18x＝－3(x2－6x)＝－3(x－3)2＋27，则S最大＝27.
即围成的矩形花圃ABCD的最大占地面积为27 m2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆卡车能否通过该隧道？说明理由．
【互动探索】要求抛物线的解析式，需根据函数图象特点，设出顶点式进行求解．要判断这辆卡车能否通过该隧道，即求当x＝2.4时，该抛物线的值是否大于4.2.
【解答】(1)由题意，得E(0，6)、D(4，2)．
∵点E为顶点，
∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋6.
将点D的坐标代入，得16a＋6＝2，
解得a＝－.
∴y＝－x2＋6.
(2)这辆卡车能通过该隧道．理由如下：
∵x＝2.4时，y＝－×2.42＋6＝4.56>4.2，
∴这辆卡车能通过该隧道．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决这类问题的关键是根据已知条件在已建立的平面直角坐标系中求出各点坐标，再结合函数解析式，利用方程去解决问题．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次函数解几何问题的基本思路：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)求解；
(5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 二次函数在生活中的应用
教学目标
一、基本目标
1．体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．
2．能运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值．
二、重难点目标
【教学重点】
运用二次函数的知识求出销售问题中的最大(小)值．
【教学难点】
能根据实际问题建立二次函数的关系式，并能求出二次函数的最值．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P48～P49的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．利用二次函数的知识解决最大利润问题的一般步骤：
(1)寻找实际问题中的两个变量之间的等量关系，并用字母表示这两个变量；
(2)用含自变量的代数式表示相关的量；
(3)用关系式表示这个等量关系；
(4)利用二次函数的知识解决实际问题．
常用公式：利润＝销售量×单个商品的利润；利润率＝×100%.
2．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y＝－4x＋440，要获得最大利润，该商品的售价应定为( C )
A．60元 B．70元
C．80元 D．90元
3．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋14n－24，则企业停产的月份为( D )
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例题】服装厂某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发价是多少元时可以获利最多？
【互动探索】(引发学生思考)根据“总利润＝单个商品的利润×销售量”可知，要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大．
【解答】设在13元的基础上降价x元，则批发价就是(13－x)元，单件的利润是(3－x)元，这时销量是(5000＋5000x)件．
设总利润为y元，则y＝(3－x)(5000＋5000x)＝－5000(x－1)2＋20 000，
∴当x＝1时，y取最大值20 000，此时批发价为13－1＝12(元)．
故厂家批发价是12元时可以获利最多．
【互动总结】(学生总结，老师点评)用二次函数解决实际问题的步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题中的变量与常量，分析它们之间的关系；(3)设适当的未知数，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；(4)根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解；(5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－2t2＋20t＋1.若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间是( C )
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
2．一件工艺品的进价为100元，以标价135元出售，每天可售出100件．根据销售统计，若一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价( B )
A．3.6元 B．5元
C．10元 D．12元
3．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间的关系式为y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，若要达到最强接受能力59.9，则需13min.
4．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
解：(1)由题意，得y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－27 500，即y＝－5x2＋800x－27 500(50≤x≤100)．
(2)y＝－5x2＋800x－27 500＝－5(x－80)2＋4500.
∵a＝－5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80时，y最大值＝4500.
(3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90.
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤：
(1)找出销售单价与利润之间的函数表达式(注明自变量的取值范围)；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标；
(3)由函数图象的顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”．
2．产量最大化与利润最大化类似，可以按上面思路求解．
练习设计
请完成本课时对应练习！