3.6直线和圆的位置关系 同步教案
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文档简介
6 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
教学目标
一、基本目标
1．理解直线和圆的三种位置关系——相交、相切、相离，掌握其判定方法和性质．
2．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握直线与圆的位置关系，运用切线的性质定理解决问题．
【教学难点】
运用圆的切线的性质进行相关的计算和证明．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P89～P91的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．
2．设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，则：
(1)当d＜r时，直线与圆恰好有两个不同的公共点，这时称直线与圆相交；
(2)当d＝r时，直线与圆只有一个公共点，这时称直线与圆相切；
(3)当d＞r时，直线与圆没有公共点，这时称直线与圆相离．
3．根据圆心O到直线l的距离d与圆的半径r的大小关系确定直线与圆的位置关系如下：
(1)直线l和⊙O相交，即d(2)直线l和⊙O相切，即d＝r；
(3)直线l和⊙O相离，即d>r .
4．圆的切线垂直于过切点的半径．
5．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离是4，则⊙O与直线l的关系是相离．
6．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝3 cm，PB＝4 cm，则BC＝cm.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
【互动探索】(引发学生思考)(1)要使AB与⊙C相切，则过点C作AB的垂线，垂足为D，求出CD的长即可；
(2)根据直线与圆的位置关系进行判断．
【解答】(1)解法1：参考教材P90例1解答过程．
解法2：如题图所示，过点C作AB的垂线，垂足为D.
∵AC＝4 cm，AB＝8 cm，
∴BC＝＝4 cm.
∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD，
∴CD＝＝2cm，
∴当半径长为2 cm时，AB与⊙C相切．
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，
当r＝2 cm时，d>r，⊙C与AB相离；
当r＝4 cm时，d＜r，⊙C与AB相交．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系可以根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断．
【例2】如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.若∠A＝34°，则∠C＝____.
【互动探索】(引发学生思考)已知切线，连结切点与圆心，能得到什么结论？要求∠C，观察发现在等腰△OCB中，利用三角形的哪些性质来求得∠C的度数？
【分析】连结OB，如图．
∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝90°－∠A＝90°－34°＝56°.
∵∠AOB＝∠C＋∠OBC，
∴∠C＋∠OBC＝56°.
又∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC，
∴∠C＝×56°＝28°.
【答案】28°
【互动总结】(学生总结，老师点评)运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连结圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．已知直径为10的圆，其圆心到直线的距离是10，此时直线和圆的位置关系是( A )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
2．已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为2或4 cm.
3．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10 cm，小圆半径为6 cm，则弦AB的长为16 cm.
4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝40°.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】设⊙O的圆心O到直线的距离为d，半径为r，且直线与⊙O相切．d、r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，求m的值．
【互动探索】题目中“直线与⊙O相切”→d＝r，再由“d、r是一元二次方程的两根”→Δ＝0→求出m的值．
【解答】∵⊙O的圆心O到直线的距离为d，半径为r，且直线与⊙O相切，
∴d＝r.
∵d、r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，
∴Δ＝0，
即[－(m＋6)]2－4(m＋9)·1＝0，
解得m＝0或－8.
当m＝－8时，x＝－1，不符合题意，舍去，
∴m＝0.
【互动总结】(学生总结，老师点评)将直线与圆的位置关系和一元二次方程根的判别式综合，由直线与圆相切可判定d＝r，再由两根相等，得到一元二次方程的判别式Δ＝0，进而得解．体现了数形结合的思想方法．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 切线的判定及内切圆
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握圆的切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．
2．探索作三角形内切圆的方法，用尺规作图作出三角形的内切圆．
二、重难点目标
【教学重点】
能判断一条直线是否为圆的切线．
【教学难点】
1．正确选择判定圆的切线的两种作辅助线的方法：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径．
2．会作三角形的内切圆．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P92～P93的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．切线的判定定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
3．下列直线能判定是圆的切线的是④.(填序号)
①和半径垂直的直线；
②和圆有公共点的直线；
③到圆心的距离等于直径的直线；
④经过半径的外端且垂直于半径的直线．
4．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连结圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，E是BC边上的中点，连结PE，证明：PE与⊙O相切．
【互动探索】(引发学生思考)要证PE与⊙O相切，结合图形→作辅助线：连结OP；AB是⊙O的直径，连结BP→证OP⊥PE，即PE是⊙O的切线．
【证明】连结OP、BP，则OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB.
∵AB为直径，
∴BP⊥AP.
在Rt△BCP中，∵E为斜边中点，
∴PE＝BC＝BE，
∴∠EBP＝∠EPB，
∴∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB，
即∠OBE＝∠OPE.
∵BE为切线，
∴AB⊥BC，
∴OP⊥PE，
即PE是⊙O的切线．
【互动总结】(学生总结，老师点评)一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．
【例2】如图所示，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切．
【互动探索】(引发学生思考)在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切，即作以三角形内角平分线的交点为圆心，圆心到三角形三边的距离为半径的圆．
【解答】(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如图所示)；
(2)过I作BC的垂线，垂足为D；
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切BA、BC、AC于点E、F、D，点P在弧DE上，如果∠EPF＝70°，那么∠B＝( A )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝110°.
3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过4或8秒后⊙P与直线CD相切．
4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D.
(1)若∠BAC＝70°，求∠CBD的度数；
(2)求证：DE＝DB.
(1)解：∵点E是△ABC的内心，∠BAC＝70°，
∴∠CAD＝∠BAC＝35°，
∴∠CBD＝∠CAD＝35°.
(2)证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD.
∵∠BAD＋∠ABE＝∠BED，∠CBE＋∠CBD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BED，
∴DE＝DB.
5．如图，AB是⊙O的直径，BC为弦，D为的中点，AC、BD相交于点E，AP交BD的延长线于点P，∠PAC＝2∠CBD.求证：AP是⊙O的切线．
证明：∵D为的中点，
∴∠CBA＝2∠CBD.
又∵∠PAC＝2∠CBD，
∴∠CBA＝∠PAC.
∵AB为直径，
∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∴∠CAB＋∠PAC＝90°，
即∠PAB＝90°，
∴PA⊥AB，
∴AP为⊙O的切线．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D、E、F.
(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求⊙O的半径r.
【互动探索】(1)根据切线的性质即可证明是一个矩形，再根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证得；(2)根据切线长定理即可列方程求解．
【解答】(1)证明：∵BC、AC与⊙O相切于D、E，
∴∠ODC＝∠OEC＝∠C＝90°，
∴四边形ODCE为矩形．
又∵OE＝OD，
∴矩形ODCE是正方形．
(2)由(1)，得CD＝CE＝r，
∴a＋b＝BD＋AE＋2r＝BF＋AF＋2r＝c＋2r，
∴r＝.
【教师点拨】这里(2)的结论可记住作为公式来用．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．切线的判定：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆即是三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
教学目标
一、基本目标
1．理解直线和圆的三种位置关系——相交、相切、相离，掌握其判定方法和性质．
2．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握直线与圆的位置关系，运用切线的性质定理解决问题．
【教学难点】
运用圆的切线的性质进行相关的计算和证明．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P89～P91的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．
2．设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，则：
(1)当d＜r时，直线与圆恰好有两个不同的公共点，这时称直线与圆相交；
(2)当d＝r时，直线与圆只有一个公共点，这时称直线与圆相切；
(3)当d＞r时，直线与圆没有公共点，这时称直线与圆相离．
3．根据圆心O到直线l的距离d与圆的半径r的大小关系确定直线与圆的位置关系如下：
(1)直线l和⊙O相交，即d
(3)直线l和⊙O相离，即d>r .
4．圆的切线垂直于过切点的半径．
5．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离是4，则⊙O与直线l的关系是相离．
6．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝3 cm，PB＝4 cm，则BC＝cm.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
【互动探索】(引发学生思考)(1)要使AB与⊙C相切，则过点C作AB的垂线，垂足为D，求出CD的长即可；
(2)根据直线与圆的位置关系进行判断．
【解答】(1)解法1：参考教材P90例1解答过程．
解法2：如题图所示，过点C作AB的垂线，垂足为D.
∵AC＝4 cm，AB＝8 cm，
∴BC＝＝4 cm.
∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD，
∴CD＝＝2cm，
∴当半径长为2 cm时，AB与⊙C相切．
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，
当r＝2 cm时，d>r，⊙C与AB相离；
当r＝4 cm时，d＜r，⊙C与AB相交．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系可以根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断．
【例2】如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.若∠A＝34°，则∠C＝____.
【互动探索】(引发学生思考)已知切线，连结切点与圆心，能得到什么结论？要求∠C，观察发现在等腰△OCB中，利用三角形的哪些性质来求得∠C的度数？
【分析】连结OB，如图．
∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝90°－∠A＝90°－34°＝56°.
∵∠AOB＝∠C＋∠OBC，
∴∠C＋∠OBC＝56°.
又∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC，
∴∠C＝×56°＝28°.
【答案】28°
【互动总结】(学生总结，老师点评)运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连结圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．已知直径为10的圆，其圆心到直线的距离是10，此时直线和圆的位置关系是( A )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
2．已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为2或4 cm.
3．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10 cm，小圆半径为6 cm，则弦AB的长为16 cm.
4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝40°.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】设⊙O的圆心O到直线的距离为d，半径为r，且直线与⊙O相切．d、r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，求m的值．
【互动探索】题目中“直线与⊙O相切”→d＝r，再由“d、r是一元二次方程的两根”→Δ＝0→求出m的值．
【解答】∵⊙O的圆心O到直线的距离为d，半径为r，且直线与⊙O相切，
∴d＝r.
∵d、r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，
∴Δ＝0，
即[－(m＋6)]2－4(m＋9)·1＝0，
解得m＝0或－8.
当m＝－8时，x＝－1，不符合题意，舍去，
∴m＝0.
【互动总结】(学生总结，老师点评)将直线与圆的位置关系和一元二次方程根的判别式综合，由直线与圆相切可判定d＝r，再由两根相等，得到一元二次方程的判别式Δ＝0，进而得解．体现了数形结合的思想方法．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 切线的判定及内切圆
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握圆的切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．
2．探索作三角形内切圆的方法，用尺规作图作出三角形的内切圆．
二、重难点目标
【教学重点】
能判断一条直线是否为圆的切线．
【教学难点】
1．正确选择判定圆的切线的两种作辅助线的方法：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径．
2．会作三角形的内切圆．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P92～P93的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．切线的判定定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
3．下列直线能判定是圆的切线的是④.(填序号)
①和半径垂直的直线；
②和圆有公共点的直线；
③到圆心的距离等于直径的直线；
④经过半径的外端且垂直于半径的直线．
4．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连结圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，E是BC边上的中点，连结PE，证明：PE与⊙O相切．
【互动探索】(引发学生思考)要证PE与⊙O相切，结合图形→作辅助线：连结OP；AB是⊙O的直径，连结BP→证OP⊥PE，即PE是⊙O的切线．
【证明】连结OP、BP，则OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB.
∵AB为直径，
∴BP⊥AP.
在Rt△BCP中，∵E为斜边中点，
∴PE＝BC＝BE，
∴∠EBP＝∠EPB，
∴∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB，
即∠OBE＝∠OPE.
∵BE为切线，
∴AB⊥BC，
∴OP⊥PE，
即PE是⊙O的切线．
【互动总结】(学生总结，老师点评)一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．
【例2】如图所示，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切．
【互动探索】(引发学生思考)在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切，即作以三角形内角平分线的交点为圆心，圆心到三角形三边的距离为半径的圆．
【解答】(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如图所示)；
(2)过I作BC的垂线，垂足为D；
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切BA、BC、AC于点E、F、D，点P在弧DE上，如果∠EPF＝70°，那么∠B＝( A )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝110°.
3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过4或8秒后⊙P与直线CD相切．
4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D.
(1)若∠BAC＝70°，求∠CBD的度数；
(2)求证：DE＝DB.
(1)解：∵点E是△ABC的内心，∠BAC＝70°，
∴∠CAD＝∠BAC＝35°，
∴∠CBD＝∠CAD＝35°.
(2)证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD.
∵∠BAD＋∠ABE＝∠BED，∠CBE＋∠CBD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BED，
∴DE＝DB.
5．如图，AB是⊙O的直径，BC为弦，D为的中点，AC、BD相交于点E，AP交BD的延长线于点P，∠PAC＝2∠CBD.求证：AP是⊙O的切线．
证明：∵D为的中点，
∴∠CBA＝2∠CBD.
又∵∠PAC＝2∠CBD，
∴∠CBA＝∠PAC.
∵AB为直径，
∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∴∠CAB＋∠PAC＝90°，
即∠PAB＝90°，
∴PA⊥AB，
∴AP为⊙O的切线．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D、E、F.
(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求⊙O的半径r.
【互动探索】(1)根据切线的性质即可证明是一个矩形，再根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证得；(2)根据切线长定理即可列方程求解．
【解答】(1)证明：∵BC、AC与⊙O相切于D、E，
∴∠ODC＝∠OEC＝∠C＝90°，
∴四边形ODCE为矩形．
又∵OE＝OD，
∴矩形ODCE是正方形．
(2)由(1)，得CD＝CE＝r，
∴a＋b＝BD＋AE＋2r＝BF＋AF＋2r＝c＋2r，
∴r＝.
【教师点拨】这里(2)的结论可记住作为公式来用．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．切线的判定：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆即是三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
练习设计
请完成本课时对应练习！