3.8圆内接正多边形 同步教案
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文档简介
8 圆内接正多边形
教学目标
一、基本目标
1．掌握正多边形和圆的关系．
2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．
3．会用尺规作图的方法作一个圆的内接正六边形和正方形．
4．会运用正多边和圆的有关知识画正多边形．
二、重难点目标
【教学重点】
正多边形的有关概念及正多边形和圆的关系．
【教学难点】
用尺规作图作圆内接正六边形和正五边形．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P97～P98的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆．
2．把一个圆分成几等份，连结分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于.
3．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
4．若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数为4.
5．已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为18 cm.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
【互动探索】(引发学生思考)连结OD，结合已知条件→∠COD＝60°，结合OC＝OD→△COD为等边三角形→CD＝OC.在Rt△COG中，由勾股定理即可求得边心距OG.
【解答】连结OD.
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COD＝＝60°，
∴△COD为等边三角形，
∴CD＝OC＝4.
在Rt△COG中，OC＝4，GC＝BC＝×4＝2，
∴OG＝＝＝2，
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决正多边形与圆的问题中，常通过作辅助线构造直角三角形求解．
【例2】已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
【互动探索】(引发学生思考)画正多边形有两类工具：量角器和尺规．(1)正三角形需要把圆三等分，所以它的中心角为120°，可以用量角器直接量出．(2)用尺规可以作出正六边形，那么用尺规可以作出正三角形吗？
【解答】(方法一)如图1，任取一点A，连结OA，用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO＝∠CAO＝30°，点B、C在圆周上，连结A、B、C三点，即得△ABC.
图1
图2
(方法二)如图2，用量角器度量，使∠AOB＝∠AOC＝120°，连结A、B、C三点，即得△ABC.
(方法三)如图3，用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，任意顺次连结不相邻的三个点，如点A、C、E，则△ACE即为所求的三角形．
图3
图4
(方法四)在圆上任取一条直径AD，以D为圆心，2 cm为半径画弧，交⊙O于B、C两点，连结A、B、C三点，即得△ABC.
【互动总结】(学生总结，老师点评)作圆内接正三角形的方法有很多种，还可以用量角器和尺规作图两者相结合的方法，如用量角器画圆心角∠BOC＝120°，OB、OC分别交⊙O于B、C两点，再在⊙O上用圆规截取AC＝BC，连结A、B、C三点，即得△ABC.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是( C )
A．60° B．45°
C．30° D．22.5°
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是( C )
A．36° B．60°
C．72° D．108°
3．下列用尺规等分圆周说法正确的个数有( A )
①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；
②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；
③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；
④按②的方法将圆四等分，再平分四条劣弧，就可以八等分圆周．
A．4 B．3
C．2 D．1
4．正八边形共有8条对称轴．
5．正n边形的一个外角的度数与它的中心角的度数相等．
6．观察下面的图形，说一说是怎么画出来的？
解：先画一个以O为圆心，OA长为半径的圆，取圆的三等分点，分别以三等分点为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于A、B、C三点，即得该图形．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆．
2．正多边形的画法：把一个圆n等分(n≥3)，依次连结各分点，就可以作出一个圆内接正多边形．
3．正多边形的相关概念：
(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
练习设计
请完成本课时对应练习！
教学目标
一、基本目标
1．掌握正多边形和圆的关系．
2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．
3．会用尺规作图的方法作一个圆的内接正六边形和正方形．
4．会运用正多边和圆的有关知识画正多边形．
二、重难点目标
【教学重点】
正多边形的有关概念及正多边形和圆的关系．
【教学难点】
用尺规作图作圆内接正六边形和正五边形．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P97～P98的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆．
2．把一个圆分成几等份，连结分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于.
3．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
4．若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数为4.
5．已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为18 cm.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
【互动探索】(引发学生思考)连结OD，结合已知条件→∠COD＝60°，结合OC＝OD→△COD为等边三角形→CD＝OC.在Rt△COG中，由勾股定理即可求得边心距OG.
【解答】连结OD.
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COD＝＝60°，
∴△COD为等边三角形，
∴CD＝OC＝4.
在Rt△COG中，OC＝4，GC＝BC＝×4＝2，
∴OG＝＝＝2，
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决正多边形与圆的问题中，常通过作辅助线构造直角三角形求解．
【例2】已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
【互动探索】(引发学生思考)画正多边形有两类工具：量角器和尺规．(1)正三角形需要把圆三等分，所以它的中心角为120°，可以用量角器直接量出．(2)用尺规可以作出正六边形，那么用尺规可以作出正三角形吗？
【解答】(方法一)如图1，任取一点A，连结OA，用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO＝∠CAO＝30°，点B、C在圆周上，连结A、B、C三点，即得△ABC.
图1
图2
(方法二)如图2，用量角器度量，使∠AOB＝∠AOC＝120°，连结A、B、C三点，即得△ABC.
(方法三)如图3，用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，任意顺次连结不相邻的三个点，如点A、C、E，则△ACE即为所求的三角形．
图3
图4
(方法四)在圆上任取一条直径AD，以D为圆心，2 cm为半径画弧，交⊙O于B、C两点，连结A、B、C三点，即得△ABC.
【互动总结】(学生总结，老师点评)作圆内接正三角形的方法有很多种，还可以用量角器和尺规作图两者相结合的方法，如用量角器画圆心角∠BOC＝120°，OB、OC分别交⊙O于B、C两点，再在⊙O上用圆规截取AC＝BC，连结A、B、C三点，即得△ABC.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是( C )
A．60° B．45°
C．30° D．22.5°
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是( C )
A．36° B．60°
C．72° D．108°
3．下列用尺规等分圆周说法正确的个数有( A )
①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；
②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；
③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；
④按②的方法将圆四等分，再平分四条劣弧，就可以八等分圆周．
A．4 B．3
C．2 D．1
4．正八边形共有8条对称轴．
5．正n边形的一个外角的度数与它的中心角的度数相等．
6．观察下面的图形，说一说是怎么画出来的？
解：先画一个以O为圆心，OA长为半径的圆，取圆的三等分点，分别以三等分点为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于A、B、C三点，即得该图形．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆．
2．正多边形的画法：把一个圆n等分(n≥3)，依次连结各分点，就可以作出一个圆内接正多边形．
3．正多边形的相关概念：
(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
练习设计
请完成本课时对应练习！