3.9弧长及扇形的面积 同步教案
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文档简介
9 弧长及扇形的面积
教学目标
一、基本目标
1．探索n°的圆心角所对的弧长l＝，扇形面积S＝和S＝lR的计算公式．
2．掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题．
3．会求不规则图形的面积．
二、重难点目标
【教学重点】
弧长和扇形面积计算公式．
【教学难点】
求不规则图形的面积．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P100～P101的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是，n°的圆心角所对的弧长是.
2．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是，n°的圆心角所对应的扇形面积是.
3．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝lR.
4．已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的弧长的长是3π.
5．一个扇形所在圆的半径为3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为3π cm2.
6．在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm，那么这个圆的半径r＝18 cm.
环节2合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长．(结果精确到0.1 mm)
【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求解．
【解答】因为R＝40 mm，n＝110，
所以l＝πR＝×40π≈76.8(mm)．
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)运用弧长公式解决问题时，一定要找准弧所对的圆心角与半径．
【例2】扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2)．
【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求出的长，再直接运用扇形公式求解．
【解答】l＝π×12≈25.1(cm)，
S扇形＝π×122≈150.8(cm2)．
因此，的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.8 cm2.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．已知半径为2的扇形，面积为π，则它的圆心角的度数为120°.
2．已知半径为2 cm的扇形，其弧长为π，则这个扇形的面积S扇＝π cm2.
3．已知半径为2的扇形，面积为π，则这个扇形的弧长为π.
4．已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形的弧长为8 cm.
5．已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为336π.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长．(精确到0.1米)
【互动探索】要求弧长必须知道半径和圆心角，题目中已经给出了半径，即AB的长度，还给出了最低点和最高点离地面的距离，但根据这些条件并不能直接求出圆心角，所以本题还需要考虑作辅助线．
【解答】由题意，得BE＝2米，AC＝3米，CD＝0.5米．
过点B作BG⊥AC于点G，则AG＝AD－GD＝AC＋CD－BE＝1.5米．
∵AB＝2AG，
∴在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，∠BAG＝60°.
根据对称性，知∠BAF＝120°，
∴秋千所荡过的圆弧长是＝2π≈6.3(米)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)如果已知条件直接给出了半径和圆心角，弧长的计算只要直接代公式就可以解决；如果题目中没有直接给出半径和圆心角，需要结合已经学过的知识求出需要的条件．
【例4】如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连结AD，求图中阴影部分面积．
【互动探索】作DH⊥AE于点H，根据勾股定理求出AB，根据S阴影＝S△ADE＋S△EOF＋S扇形AOF－S扇形DEF求解．
【解答】作DH⊥AE于点H.
∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，
∴AB＝＝.
由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，△DHE≌△BOA，
∴DH＝OB＝2，
∴S阴影＝S△ADE＋S△EOF＋S扇形AOF－S扇形DEF
＝×5×2＋×2×3＋－
＝8－π.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式S＝和旋转的性质是解题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
教学目标
一、基本目标
1．探索n°的圆心角所对的弧长l＝，扇形面积S＝和S＝lR的计算公式．
2．掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题．
3．会求不规则图形的面积．
二、重难点目标
【教学重点】
弧长和扇形面积计算公式．
【教学难点】
求不规则图形的面积．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P100～P101的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是，n°的圆心角所对的弧长是.
2．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是，n°的圆心角所对应的扇形面积是.
3．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝lR.
4．已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的弧长的长是3π.
5．一个扇形所在圆的半径为3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为3π cm2.
6．在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm，那么这个圆的半径r＝18 cm.
环节2合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长．(结果精确到0.1 mm)
【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求解．
【解答】因为R＝40 mm，n＝110，
所以l＝πR＝×40π≈76.8(mm)．
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)运用弧长公式解决问题时，一定要找准弧所对的圆心角与半径．
【例2】扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2)．
【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求出的长，再直接运用扇形公式求解．
【解答】l＝π×12≈25.1(cm)，
S扇形＝π×122≈150.8(cm2)．
因此，的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.8 cm2.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．已知半径为2的扇形，面积为π，则它的圆心角的度数为120°.
2．已知半径为2 cm的扇形，其弧长为π，则这个扇形的面积S扇＝π cm2.
3．已知半径为2的扇形，面积为π，则这个扇形的弧长为π.
4．已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形的弧长为8 cm.
5．已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为336π.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长．(精确到0.1米)
【互动探索】要求弧长必须知道半径和圆心角，题目中已经给出了半径，即AB的长度，还给出了最低点和最高点离地面的距离，但根据这些条件并不能直接求出圆心角，所以本题还需要考虑作辅助线．
【解答】由题意，得BE＝2米，AC＝3米，CD＝0.5米．
过点B作BG⊥AC于点G，则AG＝AD－GD＝AC＋CD－BE＝1.5米．
∵AB＝2AG，
∴在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，∠BAG＝60°.
根据对称性，知∠BAF＝120°，
∴秋千所荡过的圆弧长是＝2π≈6.3(米)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)如果已知条件直接给出了半径和圆心角，弧长的计算只要直接代公式就可以解决；如果题目中没有直接给出半径和圆心角，需要结合已经学过的知识求出需要的条件．
【例4】如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连结AD，求图中阴影部分面积．
【互动探索】作DH⊥AE于点H，根据勾股定理求出AB，根据S阴影＝S△ADE＋S△EOF＋S扇形AOF－S扇形DEF求解．
【解答】作DH⊥AE于点H.
∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，
∴AB＝＝.
由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，△DHE≌△BOA，
∴DH＝OB＝2，
∴S阴影＝S△ADE＋S△EOF＋S扇形AOF－S扇形DEF
＝×5×2＋×2×3＋－
＝8－π.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式S＝和旋转的性质是解题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！