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2．1.1 倾斜角与斜率
灯倾斜角与斜率
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素 数学抽象
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式 直观想象
我们知道，经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线．
[问题] 如图所示，过同一点的直线l1，l2，l3，l4，它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？
知识点一 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？
提示：确定．
1．如图所示，直线l的倾斜角为________．
答案：135°
2．直线x＝1的倾斜角α＝________，直线y＝1的倾斜角α＝________．
答案：90° 0°
知识点二 直线的斜率
1．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α．
2．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
1．任何一条直线都有倾斜角吗？任何一条直线都有斜率吗？
提示：任何一条直线都有倾斜角．但倾斜角为90°的直线没有斜率．
2．直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？
提示：不是，如60°<120°，但斜率分别为和－，而>－.应分区间说明，当α∈[0°，90°)和α∈(90°，180°)时，上述结论在这两个区间分别成立．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)倾斜角为135°的直线的斜率为1.( )
(2)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.( )
(3)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．－45°
解析：选B 作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选A 由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝.
直线的倾斜角
[例1] 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α＋45°或α－135°
[解析] 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．
[答案] D
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角；
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
[跟踪训练]
如图，直线l的倾斜角为( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：选D 由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
直线的斜率
[例2] (链接教科书第54页例1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2，3)，B(4，5)；
(2)C(－2，3)，D(2，－1)；
(3)P(－3，1)，Q(－3，10)．
[解] (1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又 0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
1．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
2．在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 － －1 －
[跟踪训练]
1．直线经过点P(3，2)，Q(－3，3)，则k＝________．直线PQ的倾斜角为________角(填“钝”或“锐”)．
解析：k＝＝－＜0，直线PQ的倾斜角为钝角．
答案：－ 钝
2．过点P(－2，m)，Q(m，4)两点的直线的方向向量为(1，2)，则m的值为________．
解析：由斜率公式k＝＝2，得m＝0.
答案：0
直线的倾斜角、斜率的应用
[例3] 已知点A(2，1)，B(－2，2)，若直线l过点P且总与线段AB有交点，求直线l的斜率k的取值范围．
[解] 当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率逐渐变大直至当l垂直于x轴，当直线l垂直于x轴时，l无斜率，再转动时斜率为负值并逐渐变大直到PB的位置，所以直线l的斜率k≥kPA＝或k≤kPB＝－，即直线l的斜率k的取值范围为∪.
1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
3．涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
[跟踪训练]
1．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C ∵直线l的倾斜角为锐角，
∴斜率k＝>0，∴－12．已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，试用图示法比较，，的大小关系．
解：表示经过点O(0，0)和点A(x，f(x))的直线的斜率，所以我们可以赋予，，几何意义：表示3个斜率．作函数f(x)＝log2(x＋1)的图象如图所示．
因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与原点相连，可得>>.
利用斜率求解反射问题
[例4] 光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率．
[解] 法一：设Q(0，y)，则由题意得kQA＝－kQB.
∵kQA＝，kQB＝，∴＝－.
解得y＝，即点Q的坐标为，
∴k入＝kQA＝＝－.
法二：设Q(0，y)，如图，点B(4，3)关于y轴的对称点为B′(－4，3)，
kAB′＝＝－，由题意得，A、Q、B′三点共线．
从而入射光线的斜率为kAQ＝kAB′＝－.
即＝，解得y＝，点Q的坐标为.
光的反射问题中，反射角等于入射角，但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率．当镜面水平放置时，它们之间是互为相反数的关系．另外，在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解．
[跟踪训练]
一束光线从点A(－2，3)射入，经x轴上点P反射后，通过点B(5，7)，求点P的坐标．
解：法一：由光的反射原理，知kAP＝－kBP，
设P(x，0)，则＝－，解得x＝，即点P的坐标是.
法二：由题意，知x轴是镜面，入射点A(－2，3)关于x轴的对称点为A1(－2，－3)，则点A1应在反射光线所在的直线上，即A1，P，B三点共线，即kA1P＝kPB，即＝，解得x＝，即点P的坐标是.
1．若直线l经过第二、第四象限，则直线l的倾斜角范围是( )
A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°
C．90°<α<180° D．0°<α<180°
答案：C
2．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
解析：选A kAB＝＝＝1，
即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以直线的倾斜角为45°.
3．过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为( )
A．1或4 B．4
C．1或3 D．1
解析：选D 由k＝＝1，得m＝1.
4．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
解析：∵α∈∪，
当≤α＜时，≤tan α＜1，∴≤k＜1.
当≤α＜π时，－≤tan α＜0，∴－≤k＜0.
∴k∈[－，0)∪.
答案：[－，0)∪
5．光线从点A(－2，)射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，2)，则光线BC所在直线的倾斜角为________．
解析：点A(－2，)关于x轴的对称点为A′(－2，－)，由物理知识知kBC＝kA′C＝＝，即tan α＝，又0°≤α<180°，所以所求倾斜角为60°.
答案：60°
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